旋轉(zhuǎn)中心在直線上運動的問題

周東

旋轉(zhuǎn)變換是三大變換中的難點，也是近年來中考命題的熱點.通過整理發(fā)現(xiàn)，旋轉(zhuǎn)相關(guān)的中考題中，有一部分是旋轉(zhuǎn)中心在直線上運動的.本文以此為切入口，通過讓學(xué)生動手畫圖，探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)中心在直線上運動時，旋轉(zhuǎn)的方向和角度保持不變，旋轉(zhuǎn)后的圖形呈直線平移這一規(guī)律.并將這一規(guī)律加以運用，提高旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用能力.

一、在操作中梳理知識，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

問題1：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的。

分析：（1）旋轉(zhuǎn)的三要素是什么？（旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度）（2）畫圖時，運用了旋轉(zhuǎn)的哪些性質(zhì)？

設(shè)計意圖：通過問題1的操作，梳理旋轉(zhuǎn)的相關(guān)性質(zhì)，找到旋轉(zhuǎn)后不變的量，即圖形全等，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，旋轉(zhuǎn)角度相等.

變式：在上題坐標(biāo)平面中分別以（0，2），（0，4）為旋轉(zhuǎn)中心按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°.畫出，旋轉(zhuǎn)后的這些三角形有什么關(guān)系？

分析：（1）這題和前面問題1什么是相同的，什么是不同的？（2）旋轉(zhuǎn)后的圖形有什么關(guān)系，你可以提出什么猜想？

小結(jié)：當(dāng)旋轉(zhuǎn)中心在直線上移動時，旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度保持不變，所得的圖形之間可以通過平移得到.

設(shè)計意圖：通過畫圖，比較分析，提出猜想：當(dāng)旋轉(zhuǎn)中心在直線上移動時，旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度保持不變，旋轉(zhuǎn)后的圖形呈直線平移.通過幾何畫板的操作可以驗證這一規(guī)律.

二、在解題中鞏固知識，提高能力

問題2：已知二次函數(shù)y=x-4交x軸于點A、B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，D點坐標(biāo)（0，2），動點P在線段DO上從D到O運動，若線段PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，求點A的對應(yīng)點A′移動的路徑長.

分析：（1）當(dāng)點P在點D時，點A′在哪里？（在點B處）當(dāng)點P在點O時，點A′又在哪里？（0，-2）（2）點A′移動的路徑是什么圖形？（線段）

設(shè)計意圖：通過確定旋轉(zhuǎn)中心的起點和終點確定A的路徑，即線段的兩個端點.從而概括出利用起點和終點確定路徑的方法.

變式：若點P在y軸上，線段PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，點A的對應(yīng)點A′恰好也落在此拋物線上，求點A和點P的坐標(biāo).

分析：（1）當(dāng)點P在y軸上運動時，點A′是怎樣運動的？（呈直線平移）（2）求A所經(jīng)過的直線可以用兩個特殊點（2，0）（0，-2）求得，求出直線與拋物線的另一交點（1，-3）后，求點P的坐標(biāo)可以先求AA的解析式，再求AA中垂線的解析式，最后求中垂線與y軸的交點即可.

設(shè)計意圖：（1）旋轉(zhuǎn)中心由在線段上變成在直線上，從而確定點A的運動路線也由線段變成直線，這樣就可以非常準(zhǔn)確地畫出圖形確定點，然后用解析法求點的坐標(biāo).（2）問題一發(fā)現(xiàn)的規(guī)律加以運用，讓學(xué)生感受發(fā)現(xiàn)規(guī)律的價值.

問題3：已知二次函數(shù)y=x-3交x軸于點A、B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C.若點P在線段AC上，從點C到點A移動，移動速度為1，時間為t.將△OBC繞點P順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△OBC.

（1）若點P在點C上，求點O的坐標(biāo).

（2）當(dāng)t為何值時點O落在線段BC上？

（3）若OBC與△ABC重疊部分面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式.

分析：（1）如圖（1），當(dāng)點P在C點時，借助圓規(guī)和三角板畫出圖像.當(dāng)點P在A點時，O又在什么位置？（AC的中點）△OBC隨著點P的運動是怎樣運動的？（從右向左平移至點B與點C重合為止.）

（2）當(dāng)t為何值時，O落在BC上？方法一：如圖（2），O的縱坐標(biāo)為-，代入BC的解析式可求得O的坐標(biāo)，再求OO中垂線與AC的交點，即可求出t的值.方法二：如圖（3）易得△OCB為等邊三角形，可得O為BC的中點.方法三：如圖（3），也可證△OPO為等邊三角形.方法四：如圖（1），從勻速平移的路徑來看，點O落在BC上時，剛好為平移總路徑的一半，因此點P平移的時間也是總時間的一半.

（3）在P點運動過程中，OBC與△ABC重疊部分是怎樣變化的？（從三角形到梯形）重疊部分的面積S關(guān)于t的函數(shù)解析式要分段討論.

當(dāng)0≤t≤時，如圖（4），易知△DCE為直角三角形，S=×t·t=t；

當(dāng)≤t≤2時，如圖（5），重疊部分為梯形，S=-t+3t-.

設(shè)計意圖：（1）讓學(xué)生認清圖形旋轉(zhuǎn)是由點的旋轉(zhuǎn)組成的，即圖形旋轉(zhuǎn)之根本是點的旋轉(zhuǎn).（2）通過旋轉(zhuǎn)中心在線段上運動，找到O的平移路徑.從而可以判斷OBC的平移方向和路徑.（3）發(fā)現(xiàn)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角等于60°時，對應(yīng)點連接旋轉(zhuǎn)中心后可以得到等邊三角形.（4）在旋轉(zhuǎn)特殊角度時，要充分運用三角板、圓規(guī)作出圖形.（5）運用整體思想，引導(dǎo)學(xué)生認清旋轉(zhuǎn)后圖形的運動路徑，然后根據(jù)路徑求解一些特殊情況的值.

本文由旋轉(zhuǎn)的操作入手，在規(guī)定旋轉(zhuǎn)中心在直線上運動，旋轉(zhuǎn)方向和角度不變的情況下，發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)后的圖形呈直線平移的規(guī)律.然后從點的旋轉(zhuǎn)出發(fā)，到三角形的旋轉(zhuǎn)，并且把三角形的旋轉(zhuǎn)歸結(jié)為點的旋轉(zhuǎn)，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想.旨在激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律的熱情，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.