車橋耦合動力分析方法及驗證

張楠*，田園，夏禾

School of Civil Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China

Research Rail Transit—Article

車橋耦合動力分析方法及驗證

張楠*，田園，夏禾

School of Civil Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China

a r t i c l e i n f o

Article history:

Received 5 May 2016

Revised 25 May 2016

Accepted 26 November 2016

Available online 13 December 2016

車橋耦合系統(tǒng)

輪軌關(guān)系

全過程迭代法

現(xiàn)場試驗

驗證

本文系統(tǒng)研究了車橋耦合動力系統(tǒng)的分析方法。隨著鐵路技術(shù)的發(fā)展，車橋耦合動力分析日臻成熟，此類研究對評判橋梁設(shè)計方案、確保列車運行的安全性與平穩(wěn)性具有重要意義。車橋耦合動力研究中考慮軌道不平順、結(jié)構(gòu)變形、風(fēng)荷載、撞擊荷載、結(jié)構(gòu)損傷、基礎(chǔ)沖刷和地震等因素的影響，其研究方法主要包括解析法、數(shù)值模擬法以及試驗研究法三類。本文的車輛子系統(tǒng)模型以剛體動力學(xué)方法建立，橋梁子系統(tǒng)模型以有限元方法建立，豎向與橫向輪軌關(guān)系分別以輪軌密貼假定和Kalker線性蠕滑理論定義。車橋耦合動力方程以全過程迭代法求解。算例討論了CRH380BL高速列車通過我國標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計橋梁的動力響應(yīng)，計算了車速200～400 km·h–1范圍內(nèi)車輛與橋梁子系統(tǒng)的動力響應(yīng)，并分析了振動發(fā)生的機理。

? 2016 THE AUTHORS. Published by Elsevier LTD on behalf of Chinese Academy of Engineering and Higher Education Press Limited Company. This is an open access article under the CC BY-NC-ND license

(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).

1. 概述

1.1. 車橋耦合動力分析的研究背景

隨著行車速度的提高、荷載的加大，橋梁結(jié)構(gòu)的動力問題日益突出，列車過橋時由于橋梁振動導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)安全性、動力承載力和使用可靠性等正在成為人們廣泛關(guān)注的重要問題。車橋動力反應(yīng)的分析結(jié)果可直接用于橋梁動力性能評估、動力加固方法的確定和加固效果的評估。因此，對車輛-橋梁動力相互作用進(jìn)行綜合研究，保障橋梁動力性能及行駛車輛的走行性和安全性，是鐵路橋梁研究設(shè)計的工程需要，具有十分重要的意義。

早在19世紀(jì)40年代，國外就開始了鐵路橋梁動力響應(yīng)問題的研究工作。但是，由于車輛荷載作用下的橋梁振動是一個復(fù)雜的課題，要得到符合實際的結(jié)果，必須考慮很多因素，包括車體和轉(zhuǎn)向架的質(zhì)量，阻尼器和彈簧的作用，行車速度，梁跨和墩臺的質(zhì)量、剛度和阻尼，橋上軌道結(jié)構(gòu)的型式，軌道的動力特性，車輪和軌道、軌道和梁之間的動力相互作用關(guān)系等。此外，還有車輪的不平順、軌道的幾何不平順和動力不平順以及輪對的蛇行運動等很多隨機因素，使得體系的力學(xué)模型十分復(fù)雜。因此，以往的研究不得不采用種種近似方法，往往帶有較大的局限性。只是在近幾十年，隨著計算機的廣泛應(yīng)用和數(shù)值方法的發(fā)展，利用各種各樣的數(shù)值解法，才使這個問題的研究有了較大的進(jìn)展。

車橋耦合振動是一個涉及橋梁工程學(xué)、交通工程學(xué)、車輛動力學(xué)、軌道力學(xué)、風(fēng)工程學(xué)、地震工程學(xué)、碰撞工程學(xué)以及振動控制等多個工程科學(xué)領(lǐng)域的復(fù)雜的研究體系，如圖1所示。

圖1. 車橋耦合動力系統(tǒng)研究。

1.2. 車橋耦合動力分析的研究方法

車橋耦合振動的研究方法主要有三種，即解析法、數(shù)值模擬法、試驗研究法。

1.2.1.解析法

解析法就是對車輛-橋梁系統(tǒng)的每一個構(gòu)成部分都采用理論模型來描述。解析法主要憑借數(shù)學(xué)和力學(xué)上的理論推導(dǎo)，比較嚴(yán)謹(jǐn)，它不僅能使研究者從理論上更深層次地理解問題，而且能夠為數(shù)值模擬結(jié)果和經(jīng)驗預(yù)測結(jié)果的驗證提供強有力的參考。但是由于車橋耦合振動分析是一個相當(dāng)復(fù)雜的系統(tǒng)問題，在理論建模過程中必須對實際情況進(jìn)行必要的簡化，同時也必須對構(gòu)件的幾何特性和材料特性施加某些限制，或者直接選取理想狀態(tài)，所以到目前為止精確的解析結(jié)果實際上是不存在的。即使在某些理想狀態(tài)下，一些復(fù)雜情況的完全封閉形式的解也很難得到，只能采用一些諸如數(shù)值積分等方法對解析法得到的公式進(jìn)行計算。

1.2.2.數(shù)值模擬法

對車橋耦合振動問題，早期的大部分研究采用的都是解析法和試驗法。近30多年，隨著高性能計算機的問世，各種數(shù)值方法成為模擬車橋耦合振動問題的一個非常有效的工具，并且發(fā)揮著越來越重要的作用。比較常用的數(shù)值模擬法包括有限元方法、邊界元方法和混合方法。由于受到計算手段和參數(shù)條件的限制，數(shù)值模擬法也不得不采用各種程度的近似假設(shè)，建立簡單而易于計算的模型。這些簡化模型面臨的首要問題就是需要對建模的合理性進(jìn)行驗證，而這只能通過試驗才能解決。鑒于實際橋梁和車輛的復(fù)雜性、移動荷載的時變特性，數(shù)值模擬法是目前車橋耦合振動分析中采用最多的方法。

1.2.3.試驗研究法

試驗測試是研究車橋耦合振動的主要手段之一。有限元方法出現(xiàn)之前，試驗測試是研究的主體，通過對車輛及橋梁狀態(tài)進(jìn)行試驗測試，總結(jié)出經(jīng)驗公式或理論，用于指導(dǎo)橋梁設(shè)計；有限元方法出現(xiàn)以后，試驗與理論分析密切結(jié)合，可節(jié)省大量的試驗工作量。我們對一系列新型結(jié)構(gòu)或高速行車下的振動問題也進(jìn)行過一些試驗，在試驗的基礎(chǔ)上建立車橋耦合振動模擬模型，根據(jù)模擬計算與試驗結(jié)果的對比，尋找影響橋跨結(jié)構(gòu)振動的主要因素。

試驗方法通常被用于車橋耦合振動分析，由于小比例模型試驗難以模擬復(fù)雜的輪軌相互作用關(guān)系，車橋系統(tǒng)的振動試驗往往采用原型試驗或現(xiàn)場實測的方法，這樣得到的結(jié)果能客觀而綜合地反映橋梁在列車動載作用下的實際工作狀況。但如果僅停留在試驗階段，而不去進(jìn)一步揭露其內(nèi)在規(guī)律，結(jié)果往往是為了確定新的動態(tài)參數(shù)而不得不隨著橋梁結(jié)構(gòu)類型、跨度及車輛性能等的不斷變化而進(jìn)行大量的重復(fù)試驗，這樣不僅耗資巨大，而且周期較長。因此，單純的試驗方法往往受到許多限制。

另外，單純利用理論分析來解決這一問題也是很困難的。這是因為，車輛荷載作用下的橋梁振動是一個十分復(fù)雜的課題，要想通過理論分析得到符合實際的結(jié)果，必須考慮很多因素，包括車體和轉(zhuǎn)向架的質(zhì)量，阻尼器和彈簧的作用，行車速度，梁跨和墩臺的質(zhì)量、剛度和阻尼，橋上軌道結(jié)構(gòu)的型式，軌道的動力特性，車輪和軌道、軌道和梁之間的動力相互作用關(guān)系等，此外還有車輪的不平順、軌道的幾何和動力不平順以及輪對的蛇行運動等諸多隨機因素的影響，這使得體系的力學(xué)模型十分復(fù)雜。所以，不得不采用各種各樣的近似方法，建立較為簡單的橋梁和車輛系統(tǒng)分析模型。例如，把列車荷載簡化成移動的常力或確定性簡諧激勵。利用這些簡化模型時，面臨的首要問題就是需要對其建模的合理性進(jìn)行驗證，而這也只能通過試驗才能解決。

1.3. 車橋耦合動力系統(tǒng)方程

根據(jù)結(jié)構(gòu)動力學(xué)理論，車橋耦合系統(tǒng)可視為多自由度系統(tǒng)，其運動方程[1–3]可表示為

式中，Mv、Cv、Kv分別為車輛子系統(tǒng)的總體質(zhì)量矩陣、總體阻尼矩陣及總體剛度矩陣；Mb、Cb、Kb分別為橋梁子系統(tǒng)的總體質(zhì)量矩陣、總體阻尼矩陣及總體剛度矩陣；Xv、Xb分別為車輛、橋梁子系統(tǒng)的位移向量；Fv、Fb分別為車輛、橋梁子系統(tǒng)的荷載向量。

車橋耦合體系上的作用可分為幾大類，如圖2所示。本節(jié)將就考慮軌道不平順、結(jié)構(gòu)變形、基礎(chǔ)沉降、風(fēng)、撞擊、結(jié)構(gòu)損傷、基礎(chǔ)沖刷和地震等的車橋耦合振動分析數(shù)學(xué)表達(dá)式做簡單介紹。

1.3.1.軌道不平順

軌道不平順為車橋耦合體系的主要激勵源之一。由于車輛、橋梁之間存在耦合關(guān)系，因此車橋子系統(tǒng)之間的相互作用力既是軌道不平順的函數(shù)，也是車輛和橋梁子系統(tǒng)運動狀態(tài)Xv、Xb的函數(shù)，設(shè)軌道不平順為i，則車橋耦合系統(tǒng)的運動方程[4-5]可表示為

盡管在數(shù)學(xué)形式上式(1)中的車輛與橋梁之間是相互獨立的，但與式(2)聯(lián)立后，車輛與橋梁兩子系統(tǒng)之間即建立耦合關(guān)系。建立車輛子系統(tǒng)和橋梁子系統(tǒng)的動力學(xué)關(guān)系，即建立式(2)中Fvi及Fbi的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，為車橋動力耦合分析的關(guān)鍵。這些數(shù)學(xué)表達(dá)式取決于輪軌關(guān)系假定及軌道不平順i的數(shù)值。

圖2. 車橋耦合振動問題的研究內(nèi)容。

1.3.2.結(jié)構(gòu)變形

由于混凝土徐變、溫度作用及基礎(chǔ)沉降引起的橋梁、線路結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)靜態(tài)變形，將引起橋上線路的幾何形狀的改變，線路結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)靜態(tài)變形可視為附加的軌道不平順，與軌道不平順共同作為車橋耦合體系的激勵源[6–8]。設(shè)附加的軌道不平順為ia，則式(2)改寫為

1.3.3.風(fēng)荷載、撞擊荷載

在車橋動力分析中，當(dāng)忽略作用在列車和橋梁的風(fēng)荷載自激力，或者忽略在碰撞過程中撞擊物和橋梁的相互作用，可將風(fēng)荷載或撞擊荷載視為車輛子系統(tǒng)和橋梁子系統(tǒng)的外力時程。在計算條件確定后，這些外力時程是已知的，它們僅隨荷載作用位置、作用時間變化，而與車輛、橋梁子系統(tǒng)的運動狀態(tài)無關(guān)。設(shè)車橋子系統(tǒng)外力向量分別為Fve(t)和Fbe(t)，此時式(2)改寫[9–11]為

1.3.4.結(jié)構(gòu)損傷及基礎(chǔ)沖刷

橋梁結(jié)構(gòu)的損傷及基礎(chǔ)沖刷在數(shù)學(xué)上均體現(xiàn)為橋梁子系統(tǒng)總體剛度矩陣的降低。結(jié)構(gòu)損傷導(dǎo)致?lián)p傷部位單元截面或材料彈性模量的減小，基礎(chǔ)沖刷導(dǎo)致墩底或樁側(cè)約束剛度的下降?？紤]結(jié)構(gòu)損傷及基礎(chǔ)沖刷的車橋耦合系統(tǒng)的運動方程[12–13]可表示為式中，Kbd為發(fā)生劣化后橋梁子系統(tǒng)總體剛度矩陣的下降量。

1.3.5.地震

對車橋耦合系統(tǒng)而言，地震可視為對橋梁子系統(tǒng)各地震輸入點（指橋梁墩底、承臺底或基礎(chǔ)）施加一組已知時程[14–16]。一般情況下，各基礎(chǔ)位置的地震響應(yīng)并不完全一致，此為非一致地震激勵問題。

在數(shù)學(xué)上，可認(rèn)為是式(1)與這一組時程聯(lián)立，求解得到地震作用下車橋系統(tǒng)的動力響應(yīng)。地震作用下車橋耦合系統(tǒng)的運動方程可表示為式中，Xs、s、s分別為各地震輸入點的位移、速度、加速度；Tbs為從橋梁位移向量Xb到各地震輸入點位移向量Xs的轉(zhuǎn)換矩陣。

2. 車橋耦合系統(tǒng)分析方法

2.1. 車輛模型

每節(jié)車輛均為由車體、轉(zhuǎn)向架、輪對以及彈簧-阻尼器懸掛裝置組成的多自由度振動系統(tǒng)，見圖3。

車輛子系統(tǒng)模型中，各節(jié)車輛被視為無聯(lián)系的獨立體系。高速鐵路車輛采用兩組懸掛系統(tǒng)：輪對與轉(zhuǎn)向架之間的彈簧和阻尼器為一系懸掛系統(tǒng)，轉(zhuǎn)向架與車體之間的彈簧和阻尼器為二系懸掛系統(tǒng)。多數(shù)研究中均采用黏性阻尼，但由于車橋耦合系統(tǒng)采用時程積分方法求解，因此采用其他形式的阻尼也沒問題。車輛子系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼及剛度矩陣由剛體動力學(xué)方法求得，參見文獻(xiàn)[1–5]。

圖3. 車輛單元模型。

2.2. 橋梁模型

橋梁子系統(tǒng)方程由如下假定建立：

(1) 橋上軌道和梁之間沒有相對位移并忽略線路結(jié)構(gòu)的彈性變形；

(2) 橋面節(jié)點振型可由插值函數(shù)確定；

(3) 忽略梁橫截面的變形。

2.3. 輪軌相互作用力

輪軌關(guān)系假定為車橋動力耦合分析的關(guān)鍵所在。輪軌相互作用模型定義輪軌間相對運動、相互作用力之間的關(guān)系，是車輛子系統(tǒng)與橋梁子系統(tǒng)的聯(lián)系。輪軌相互作用模型可分為以下兩類：

(1) 定義輪軌作用力為車輪與鋼軌相對運動的函數(shù)，此類模型基于彈性力學(xué)或接觸力學(xué)原理，例如，基于Hertz接觸的輪軌法向彈性作用理論、基于Kalker線性蠕滑的輪軌切向蠕滑理論及其修正和簡化形式；

(2) 定義輪對運動為鋼軌運動的函數(shù)，例如，輪軌垂向密貼假定及輪軌蛇行波假定。

本文以輪軌垂向密貼假定和橫向Kalker蠕滑理論定義輪軌關(guān)系。輪軌垂向密貼假定即認(rèn)為輪對與鋼軌豎向上具有相同的運動狀態(tài)。

輪軌垂向密貼假定即假定輪軌間豎向無相對運動，因此輪軌間豎向相互作用力可由輪軌間該方向的相對運動狀態(tài)確定。由此，輪對與鋼軌具有相同的位移、速度和加速度。此時，軌道不平順引起的輪對附加速度及附加加速度可由微分形式求得

式中，V為列車運行速度；x為線路縱向坐標(biāo)；t為時間；zr為任一軌道不平順量值。作用于橋梁子系統(tǒng)的力包括一系懸掛系統(tǒng)中的彈簧力和阻尼力、輪對的慣性力、車輛的靜輪重三部分。

Kalker(1967)提出了著名的線性蠕滑理論，該理論解決了具有橢圓接觸區(qū)的三維穩(wěn)態(tài)滾動接觸問題。目前廣泛應(yīng)于橫向輪軌關(guān)系的模擬中[2,4]。由Kalker線性蠕滑理論，輪軌之間的蠕滑力可表示為

式中，F(xiàn)x、Fy分別為縱向及橫向蠕滑力；Fψ為繞豎向蠕滑力矩；f11、f22、f33分別為縱向、橫向及豎向蠕滑系數(shù)，均為輪軌相對運動關(guān)系、輪軌踏面形狀及材料彈性模量的函數(shù)；ξx、ξy、ξψ分別為x方向、y方向和繞豎向的蠕滑率。

2.4. 車橋耦合動力方程的求解方法

本文采用全過程迭代法求解車橋動力耦合方程。此方法的計算流程見圖4，簡述如下：

第一步，設(shè)橋梁子系統(tǒng)為剛性，使用軌道不平順系統(tǒng)作為激勵，求解車輛子系統(tǒng)，得到所有輪對的輪軌力時程；

第二步，將前一迭代過程(或第一步)得到的輪軌力時程施加于橋梁，求解橋梁子系統(tǒng)，得到橋面運動狀態(tài)時程；

第三步，將第二步中得到的橋面運動狀態(tài)與軌道不平順疊加作為系統(tǒng)激勵，求解車輛子系統(tǒng)，得到所有輪對新的輪軌力時程；

第四步，計算第三步中得到的輪軌力時程同前一迭代過程(或第一步)中輪軌力時程的誤差，若該誤差滿足收斂判斷，則全部計算完成，否則進(jìn)入下一迭代過程，重新進(jìn)行第二步至第四步的計算。

圖4. 全過程迭代法流程圖。

全過程迭代法的主要優(yōu)點是可采用任何一種商業(yè)有限元軟件求解橋梁子系統(tǒng)方程，這使得計算過程更簡便、準(zhǔn)確。對于多數(shù)情況，僅通過少數(shù)幾次收斂計算即可得到車橋耦合系統(tǒng)的收斂解。當(dāng)系統(tǒng)高頻振動成分較多、難以獲得收斂解時，此問題可部分地通過減小時間步長或增大收斂判斷閾值來解決，亦可采用數(shù)值耗散方法來抑制振動中的高頻成分。

3. 算例

本節(jié)研究CRH380BL高速列車通過按我國標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計的橋梁的動力響應(yīng)。橋梁考慮10跨連續(xù)布置的31.5 m雙線預(yù)應(yīng)力混凝土簡支梁，如圖5、圖6所示。每孔梁全長32.6 m、梁縫0.1 m，梁頂寬12 m、底寬5.5 m，梁高3.05 m。所研究區(qū)段橋墩均按直徑4 m、墩高15 m考慮。橋跨結(jié)構(gòu)的首階豎向、橫向及扭轉(zhuǎn)頻率依次為6.40 Hz、17.68 Hz及18.96 Hz。CRH380BL高速列車含16節(jié)車輛，兩組MTMTTMTM編組，動車、拖車軸重均為152 kN，輪位見圖7。計算中以德國低干擾譜轉(zhuǎn)換的時域樣本為系統(tǒng)激勵，其空間曲線如圖8所示。

由上述輸入信息，計算得到車速200～400 km·h–1范圍內(nèi)，車輛與橋梁子系統(tǒng)的動力響應(yīng)。第6跨跨中動位移時程、第6跨跨中加速度時程、第1輪對輪軌力時程、第1節(jié)車體加速度時程分別見圖9至圖12。

圖5. 算例橋梁示意圖(單位：m)。

圖6. 橋梁橫截面(單位：mm)。

圖7. CRH380BL列車編組(單位：m)。

圖8. 德國低干擾譜轉(zhuǎn)換的時域樣本平順。(a)高低不平順；(b)方向不平順。

圖9. 第6跨跨中動位移。(a)垂向動位移；(b)橫向動位移。

圖10. 第6跨跨中加速度。(a)豎向加速度；(b)橫向加速度。

圖11. 第1輪對輪軌力。(a)垂向輪軌力；(b)橫向輪軌力。

圖12. 第1節(jié)車輛車體加速度。(a)豎向加速度；(b)橫向加速度。

圖13至圖16為上述車速范圍內(nèi)的關(guān)鍵動力學(xué)指標(biāo)隨車速的變化規(guī)律，其中，圖15中實線表示最大輪軌力，虛線表示最小輪軌力。

由圖13至圖16可知，除垂向、橫向輪軌力車速單調(diào)變化外，其余各指標(biāo)均呈較為復(fù)雜的變化規(guī)律。車速介于200～250 km·h–1之間時，僅車輛與橋梁子系統(tǒng)的橫向加速度隨車速的增加而增加，其余各指標(biāo)則隨車速的增加而降低。然而，隨著車速的增加，車速稍高于250 km·h–1時出現(xiàn)車輛與橋梁子系統(tǒng)的垂向振動峰值，350 km·h–1時的橫向振動則普遍小于250 km·h–1時的指標(biāo)，此現(xiàn)象以車體橫向加速度指標(biāo)尤為顯著。綜上，列車運行速度介于200～250 km·h–1之間時，存在垂向、橫向振動峰值，應(yīng)加以關(guān)注。

圖13. 橋梁跨中動位移。(a)垂向動位移；(b)橫向動位移。

圖14. 橋梁跨中加速度。(a)豎向加速度；(b)橫向加速度。

圖15. 輪軌力。(a)垂向輪軌力；(b)橫向輪軌力。

圖16. 車體加速度。(a)豎向加速度；(b)橫向加速度。

4.結(jié)論

本文的車輛子系統(tǒng)模型以剛體動力學(xué)方法建立，橋梁子系統(tǒng)模型以有限元方法建立，豎向與橫向輪軌關(guān)系分別以輪軌密貼假定和Kalker線性蠕滑理論定義。車橋耦合動力方程以全過程迭代法求解。作為算例，計算了CRH380BL高速列車通過按我國標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計的橋梁的動力響應(yīng)。計算結(jié)果表明，由于車橋系統(tǒng)間共振現(xiàn)象的存在，各動力指標(biāo)均呈較為復(fù)雜的變化規(guī)律。列車運行速度介于200～250 km·h–1之間時，存在垂向、橫向振動峰值，應(yīng)加以關(guān)注。

致謝

本文研究得到“973計劃”項目(編號：2013CB036203)、“111”引智計劃項目(編號：B13002)、國家自然科學(xué)基金項目(編號：U1434205、51338001)資助，深表感謝。

Compliance with ethics guidelines

Nan Zhang, Yuan Tian, and He Xia declare that they have no conflict of interest or financial conflicts to disclose.

[1] Xia H, de Roeck G, Goicolea JM. Bridge vibration and controls: new research. New York: Nova Science Publishers Inc; 2012.

[2] Zhang N, Xia H. Dynamic analysis of coupled vehicle—bridge system based on inter-system iteration method. Comput Struct 2013;114–115(1):26–34.

[3] Yang Y, Yau J. An iterative interacting method for dynamic analysis of the maglev train–guideway/foundation–soil system. Eng Struct 2011;33(3):1013–24.

[4] Gao M. Studies on train-track-bridge coupling vibration and train performance on high-speed railway bridges. China Rail Sci 2002;23(2):135–8. Chinese.

[5] Zhang M, Zhang N, Xia H. Analysis on wind-vehicle-bridge dynamic interaction for lonf-span railway suspension bridge. China Rail Sci 2013;34(4):14–21. Chinese.

[6] Chen Z, Sun Y, Zhai W. Mapping relationship between pier settlement and rail deformation of high-speed railways—part (I): the unit slab track system. Sci Sinica Tech 2014;44(7):770–7. Chinese.

[7] Chen Z, Sun Y, Zhai W. Mapping relationship between pier settlement and rail deformation of high-speed railways—part (II): the longitudinal connected ballastless track system. Sci Sinica Tech 2014;44(7):778–85. Chinese.

[8] Wang K. Study on high speed train running safety under bridge additional deformation [dissertation]. Beijing: Beijing Jiaotong University; 2015. Chinese.

[9] Guo W, Xia H, Xu Y. Running safety analysis of a train on the Tsing Ma Bridge under turbulent winds. Earthquake Eng Eng Vib 2010;9(3):307–18.

[10] Li Y, Hu P, Xu Y, Zhang M, Liao H. Wind loads on a moving vehicle-bridge deck system by wind-tunnel model test. Wind Struct 2014;19(2):145–67.

[11] Xu Y, Zhang N, Xia H. Vibration of coupled train and cable-stayed bridge system in cross wind. Eng Struct 2004;26(10):1389–406.

[12] Li X, Liu X, Liu D. Coupled vibration analysis of a railway continuous rigidframe bridge and vehicles with soil-structure interaction. J Vib Shock 2011;30(12):54–8. Chinese.

[13] Li K, Zhang N, Fang X, Tian Y, Xia H. Dynamic analysis of a vehicle-bridge coupled system considering river scouring. J Vib Shock 2014;33(19):40–7. Chinese.

[14] Yau J, Fryba L. Response of suspended beams due to moving loads and vertical seismic ground excitations. Eng Struct 2007;29(12):3255–62.

[15] Du X, Xu Y, Xia H. Dynamic interaction of bridge-train system under non-uniform seismic ground motion. Earthquake Eng Struct 2012;41(1):139–57.

[16] Chen L, Zhang N, Jiang L, Zeng Z, Chen G, Guo W. Near-fault directivity pulselike ground motion effect on high-speed railway bridge. J Cent South Univ 2014;21(6): 2425–36.

* Corresponding author.

E-mail address: nanzhang@263.net

2095-8099/? 2016 THE AUTHORS. Published by Elsevier LTD on behalf of Chinese Academy of Engineering and Higher Education Press Limited Company.

This is an open access article under the CC BY-NC-ND license (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).

英文原文: Engineering 2016, 2(4):528–536

Nan Zhang, Yuan Tian, He Xia. A Train-Bridge Dynamic Interaction Analysis Method and Its Experimental Validation. Engineering, http://dx.doi. org/10.1016/J.ENG.2016.04.012