關(guān)注數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)性　開發(fā)學(xué)習(xí)可能性
——例析二、三年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)“平方差”的可能性

浙江農(nóng)林大學(xué)附屬小學(xué)（311300）許向榮

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關(guān)注數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)性開發(fā)學(xué)習(xí)可能性
——例析二、三年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)“平方差”的可能性

浙江農(nóng)林大學(xué)附屬小學(xué)（311300）許向榮

［摘要］可能性是學(xué)生的最偉大之處，把人引向更高的可能性是教育的本質(zhì)所在。在傳統(tǒng)教學(xué)觀念里，二、三年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)平方差公式簡(jiǎn)直是不可能的事。實(shí)際教學(xué)證明，只要學(xué)習(xí)材料組織恰當(dāng)，探索過程引導(dǎo)得當(dāng)，低年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)這一內(nèi)容完全是可能的。數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要關(guān)注學(xué)生的現(xiàn)實(shí)性，更要走向開發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的可能性。

［關(guān)鍵詞］可能性現(xiàn)實(shí)性平方差

古希臘教育家普羅塔弋說：“教育的最終目的是要把作為人的獨(dú)特本質(zhì)的創(chuàng)新精神釋放出來，使其成為能夠自覺、自由創(chuàng)造的人?！币训谌龑W(xué)段（七年級(jí)）的平方差公式“a2-b2=（a+b）（a-b）”的教學(xué)內(nèi)容下放到小學(xué)二、三年級(jí)中來學(xué)習(xí)，在傳統(tǒng)教學(xué)觀念上來看是“天方夜譚”。當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)“四依四重”（即依照大綱重在要求，依賴課本重要例題，依靠傳統(tǒng)重視講解，依托習(xí)題重復(fù)訓(xùn)練）的現(xiàn)實(shí)性遮蔽了學(xué)習(xí)可能性的光輝。因此，在教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)，我也曾猶豫彷徨，不敢接受任務(wù)。在特級(jí)教師張?zhí)煨⒗蠋煹闹笇?dǎo)下，我學(xué)習(xí)了成尚榮的《從關(guān)注學(xué)生現(xiàn)實(shí)性走向開發(fā)可能性》的理論文獻(xiàn)后，明確了“不可能的事往往是可能的”。因此懷著忐忑不安的心情設(shè)計(jì)并執(zhí)教了平方差公式這個(gè)內(nèi)容。實(shí)踐告訴我：平方差公式在二、三年級(jí)學(xué)習(xí)是完全可能的，且效果令人滿意。

【教學(xué)過程】

一、認(rèn)識(shí)一個(gè)數(shù)的平方

師（課件出示）：說說下面各圖分別由多少個(gè)小正方形組成。用什么方法可以比較快地知道小正方形的個(gè)數(shù)？

（教師利用學(xué)生介紹的方法逐圖計(jì)算小正方形的個(gè)數(shù)：①3×3=9；②2×3=6；③4×3=12；④4×4=16；⑤6×6=36；⑥2×2=4；⑦5×5=25；⑧1×1=1。）

師：觀察這些圖形與算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

師（揭示）：3×3可以表示為32，讀作3的平方，表示兩個(gè)3相乘。你能用這個(gè)方法表示另外的算式嗎？（請(qǐng)學(xué)生回答后再讀一讀，并說說32的意思）

（教師給出題目“想一想：72=□92=□102=□”）

【評(píng)析：通過對(duì)比，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到只有乘數(shù)相同，才能用平方數(shù)來表示，從而理解平方的含義?！?/p>

二、探究平方差計(jì)算規(guī)律

1.情境引入，初步感知

師（課件演示：從5×5的正方形左上角移走一個(gè)3×3的正方形）：請(qǐng)說一說，你看到了什么？誰能提個(gè)問題？

生1：還剩下多少個(gè)小正方形？

師：你會(huì)解答嗎？請(qǐng)?jiān)诒咀由纤阋凰?。你是怎么算的？有不同的方法嗎?/p>

師（課件演示：將剩下圖形分割成上下兩個(gè)長(zhǎng)方形。將上面部分旋轉(zhuǎn)90度，再向右平移，向下平移，變成一個(gè)長(zhǎng)方形）：你們有什么想法嗎？

生2：變成長(zhǎng)方形后，用8×2來計(jì)算小正方形的個(gè)數(shù)比較方便。

師：如果從5×5的大正方形中移走一個(gè)2×2的小正方形，剩下的圖形還能變成長(zhǎng)方形嗎？（學(xué)生猜測(cè)后，教師用課件演示驗(yàn)證過程）

師：如果從6×6的正方形中移走一個(gè)4×4的小正方形呢？（學(xué)生猜測(cè)后，教師再次用課件演示驗(yàn)證過程）

師：現(xiàn)在你有什么想法？

生3：從一個(gè)大正方形中移走一個(gè)小正方形后，剩下的圖形能變成長(zhǎng)方形。

【評(píng)析：利用直觀演示，讓學(xué)生感知從一個(gè)大正方形中移走一個(gè)小正方形后，剩下的圖形通過分割、平移和旋轉(zhuǎn)，都能得到一個(gè)長(zhǎng)方形。由于是不完全歸納法，所以進(jìn)行了三次不同圖形的變換，使結(jié)論更為可靠。】

2.再次感知，探究規(guī)律

師：如果從7×7的大正方形中移走一個(gè)3×3的小正方形后，會(huì)怎樣？

生1：會(huì)變成一個(gè)長(zhǎng)方形。

師：現(xiàn)在的問題不是能不能變成長(zhǎng)方形，而是會(huì)變成一個(gè)什么樣的長(zhǎng)方形？

（學(xué)生沉默）

生2：做一個(gè)看看。

師：如果不需要做就能知道它會(huì)變成什么樣的，那才叫厲害呢!要不先回到前面幾個(gè)例子中去找找規(guī)律，好嗎？

（課件再次集中呈現(xiàn)前幾個(gè)圖形的變化）

師：為什么第一次變出的是8×2的長(zhǎng)方形，第二次變出的是7×3的長(zhǎng)方形，而第三次變出的卻是10×2的長(zhǎng)方形呢？請(qǐng)結(jié)合圖形看看“8”是怎么來的，“2”又是怎么得到的？

生3：第一個(gè)剩下圖形的下面部分每層有5個(gè)，上面部分旋轉(zhuǎn)后每層有3個(gè)，拼在一起是5+3=8（個(gè)）。大正方形原來有5層，移走3層后，剩下就是5-3=2（層）。

師：第二個(gè)圖形中的7和3以及第三個(gè)圖形中的10 和2又是怎么得到的？

（根據(jù)學(xué)生回答進(jìn)行板書）

師：從7×7的正方形中移走一個(gè)3×3的正方形，會(huì)得到一個(gè)怎樣的長(zhǎng)方形呢？（學(xué)生想象、猜測(cè)并說明理由。課件演示驗(yàn)證過程）

師：如果從6×6的正方形中移走一個(gè)2×2的正方形呢？8×8中移走5×5呢？9×9中移走7×7呢？

【評(píng)析：這一環(huán)節(jié)主要讓學(xué)生探尋圖形變化的規(guī)律，即從一個(gè)大正方形中移走一個(gè)小正方形后，剩下的圖形會(huì)變成一個(gè)什么樣長(zhǎng)方形。引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)圖形變化前后的觀察、比較，尋找長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬與原來正方形邊長(zhǎng)的關(guān)系?！?/p>

3.溝通聯(lián)系，揭示規(guī)律

師：觀察上面這些圖形，它們的形狀發(fā)生了變化，但是什么沒有變？

生：小正方形的個(gè)數(shù)沒有變。

師：逐圖計(jì)算變化前后小正方形的個(gè)數(shù)。第一幅圖變化前小正方形的個(gè)數(shù)是5×5-3×3=25-9=16（個(gè)），變化后8×2=16（個(gè)），所以5×5-3×3=8×2。計(jì)算第2～4幅圖，分別得到5×5-2×2=7×3、6×6-4×4=10×2、7×7-3×3=10×4。整理算式后得到：

（1）第一個(gè)式子左邊5×5可以寫作52，3×3可以寫作32，右邊8是由（5+3）得來，2是由（5-3）得到的，整理這個(gè)算式得到52-32=（5+3）×（5-3）；

（2）5×5-2×2=7×3、6×6-4×4=10×2、7×7-3×3=10×4。這幾個(gè)算式你會(huì)整理嗎？

（教師出示題目“想一想：82-52=□×□”）

三、練習(xí)

（1）42-22=□×□82-72=□×□102-92=□×□

（2）計(jì)算20152-20142

四、課堂小結(jié)

【感悟與反思】

本節(jié)課教學(xué)的全過程均借助了“數(shù)”與“形”的結(jié)合，把抽象的計(jì)算轉(zhuǎn)化為形象的思考。在七年級(jí)的教材中，公式的推導(dǎo)主要是利用乘法分配律進(jìn)行演繹推理。對(duì)低年級(jí)學(xué)生來說，這個(gè)過程無疑是艱辛而困難的。以形象直觀思維為主的二、三年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)這一內(nèi)容時(shí)，必須借助圖形的直觀，通過觀察、比較、想象、猜測(cè)、驗(yàn)證等活動(dòng)，在充分感知的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律。在探究活動(dòng)中，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)所變出的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬與原來正方形邊長(zhǎng)的關(guān)系后，一切都變得簡(jiǎn)單且自然了。

錢學(xué)森把創(chuàng)造性思維理解為人類智力的核心，是形象與抽象思維的綜合應(yīng)用，其中形象思維是關(guān)鍵。這一觀點(diǎn)我非常贊同。這樣具有探索性的教材說明了一個(gè)問題，即只要學(xué)習(xí)材料組織恰當(dāng)，探索過程得當(dāng)，啟發(fā)引導(dǎo)適當(dāng)，二、三年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)平方差公式是完全可能的。

從另一個(gè)角度看平方差公式，由兩個(gè)正方形的差“a2-b2”可以得到一個(gè)指定的長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是（a+b），寬是（a-b）。要讓低年級(jí)的學(xué)生感悟這一規(guī)律是有一定難度的，因此，我分三個(gè)層次進(jìn)行教學(xué)。第一步，通過直觀展示，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)從一個(gè)大正方形中移走一個(gè)小正方形，剩下的圖形一定能變成一個(gè)長(zhǎng)方形；第二步，通過讓學(xué)生猜測(cè)從大正方形中移走一個(gè)小正方形，剩下的圖形會(huì)變成一個(gè)怎樣的長(zhǎng)方形，激發(fā)學(xué)生的探究興趣，繼而引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較、想象和驗(yàn)證，直觀發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)的和，長(zhǎng)方形的寬是兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)的差。第三步，溝通聯(lián)系，形成規(guī)律。

在練習(xí)部分，我設(shè)計(jì)了一道計(jì)算“20152-20142”的題目，把年份編進(jìn)題目里，是為了增加練習(xí)的趣味性，更重要的是讓學(xué)生體會(huì)平方差公式的作用，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的意義和價(jià)值，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到這個(gè)知識(shí)是非常有用的。

（責(zé)編金鈴）

［中圖分類號(hào)］G623.5

［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］A

［文章編號(hào)］1007-9068（2016）11-068