諧波阻抗估計的非光滑部分線性回歸方法

華回春，劉 哲，賈秀芳

（華北電力大學 新能源電力系統(tǒng)國家重點實驗室，河北 保定 071003）

0 引言

準確計算系統(tǒng)諧波阻抗是用戶諧波發(fā)射水平評估、電力系統(tǒng)仿真分析以及無功補償設備設計的關鍵［1］。根據(jù)是否會對系統(tǒng)產生干擾，諧波阻抗估計主要有干預式和非干預式2類方法。干預式方法通過向系統(tǒng)強迫注入諧波電流或間諧波電流，或通過開斷系統(tǒng)某一支路來測量諧波阻抗［2］。非干預式方法通過測量公共連接點處的諧波電壓和諧波源支路接入連接點處的諧波電流估計諧波阻抗。干預式方法中注入的諧波電流過小則諧波阻抗測量結果不準確，注入諧波電流過大則影響系統(tǒng)的穩(wěn)定運行。而非干預式方法不需要向系統(tǒng)注入諧波電流，不會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定運行，具有顯著優(yōu)勢［3-12］。

工程上應用較為廣泛的非干預式方法有解析法［13］、近似計算法［14-16］、波動量法［17-18］。解析法通過建立系統(tǒng)各元件的諧波阻抗模型，根據(jù)電路關系進行諧波阻抗的計算。但是，由于元件的諧波阻抗模型并不精確，計算結果的誤差很難控制。同時，解析法的計算量巨大，不適用于大系統(tǒng)的諧波阻抗計算。國際電工委員會（IEC）推薦的方法是近似計算法，某次的諧波阻抗等于諧波阻抗次數(shù)和基波電抗的乘積。該方法非常簡單，常用于實際工程的估算分析。但是，近似計算法要求各元件都是電感性的，并且忽略電阻，所以近似計算法的計算準確性較差。對于實際的電力系統(tǒng)，在用戶側諧波波動占主導的情況下，波動量法是非常簡單有效的一種方法。波動量法通過測量公共連接點處的諧波電壓和諧波源接入母線處的諧波電流進行諧波阻抗的估計，諧波阻抗等于諧波劇烈波動處的諧波電壓差和諧波電流差的比值。實際上，波動量法及其改進的方法都要求：與系統(tǒng)側相比，用戶側諧波占主導；在此前提下與背景諧波波動相比，關注諧波源的諧波波動也要占主導，即要求“雙主導”。由于電力系統(tǒng)諧波主要由非線性用戶產生，與系統(tǒng)側相比，用戶側諧波占主導的條件往往是滿足的，但是與背景諧波波動相比，關注諧波源的諧波波動占主導的條件卻不一定滿足。在背景諧波波動占主導的情況下，利用波動量法計算系統(tǒng)諧波阻抗是失效的。如果能計算出波動的背景諧波，則在背景諧波波動占主導的情況下也能準確計算系統(tǒng)諧波阻抗。由于在背景諧波波動占主導的情況下，系統(tǒng)諧波阻抗?jié)M足的數(shù)學模型實際上是部分線性回歸模型［19-20］，求解部分線性回歸模型可得到波動的背景諧波并準確計算系統(tǒng)諧波阻抗。文獻［21］采用部分線性核估計方法求解部分線性回歸模型，實現(xiàn)了系統(tǒng)諧波阻抗的計算。但是，該算法只適用于背景諧波電壓曲線光滑的情況。由于實際工程的背景諧波電壓曲線不可能是光滑的，并考慮到諧波阻抗?jié)M足的部分線性回歸模型是復數(shù)域的部分線性回歸模型，因此，本文將研究諧波阻抗估計的非光滑復數(shù)域部分線性回歸方法。

本文給出了傳統(tǒng)波動量法的適用范圍，分析了在背景諧波波動占主導情況下該方法失效的原因；然后構建了諧波阻抗計算滿足的復數(shù)域部分線性回歸模型，設計了模型的細分迭代算法，實現(xiàn)了非光滑復數(shù)域部分線性回歸模型的求解；最后給出了仿真和實測數(shù)據(jù)分析，驗證了所提算法的有效性。

1 波動量法適用范圍及其缺陷

針對系統(tǒng)諧波阻抗的估計，波動量法是在工程應用中最為常用的方法。以圖1為例，在某變電站母線X處接入了多個諧波源負荷，假設負荷A為煉鋼廠，負荷B、C和D是其余非線性負荷。

圖1 系統(tǒng)諧波阻抗測量示意圖Fig.1 Schematic diagram of harmonic impedance measuring

若要估計除負荷A以外其余部分的h次系統(tǒng)諧波阻抗，需要利用電能質量監(jiān)測儀在負荷A接入母線處采集h次諧波電壓和諧波電流數(shù)據(jù)。若母線X處監(jiān)測到h次諧波電壓記為UhX，負荷A接入母線X處的h次諧波電流記為IhA，ZhX，A為除負荷A以外其余部分等效的h次系統(tǒng)諧波阻抗，將除負荷A以外的其余諧波源在母線X處產生的諧波電壓都看作背景諧波電壓UhX，0，根據(jù)電路關系有：

因此，在2個相鄰的采樣時刻k和k+1，有：

式（3）與式（2）相減有：

當背景諧波波動很小或者背景諧波波動相對于關注諧波源的諧波波動很小時，式（4）中等號右端第2 項的分子 UhX，0（k+1）-UhX，0（k）可近似為 0，則式（4）可以近似為：

利用上式估計系統(tǒng)諧波阻抗即為波動量法。波動量法的缺陷是當背景諧波波動相對于關注諧波源的諧波波動較大時，UhX，0（k+1）-UhX，0（k）不能近似為0，因此系統(tǒng)諧波阻抗不能用式（5）近似。所以在背景諧波波動較大時，波動量法是失效的。

2 等效諧波阻抗計算的復數(shù)域部分線性回歸模型

考慮系統(tǒng)諧波阻抗?jié)M足式（1），希望通過采集到的諧波電壓和諧波電流數(shù)據(jù)計算系統(tǒng)諧波阻抗。若背景諧波電壓和系統(tǒng)等效諧波阻抗都是常數(shù)，則式（1）是一個復數(shù)域的線性回歸模型，可以用復線性最小二乘方法求解系統(tǒng)的等效諧波阻抗和背景諧波電壓。由于系統(tǒng)的運行方式往往不發(fā)生大的變化，因此系統(tǒng)諧波阻抗可以近似看作是不變的。但是，背景諧波源注入公共連接點處的諧波電流隨時間變化經常是波動的，因此背景諧波往往不是常數(shù)。此時，式（1）不再是傳統(tǒng)的復數(shù)域線性回歸模型。記：

其中，UXR、IAR、U0R分別為相量 UhX、IhA、UhX，0的實部；UXI、IAI、U0I分別為各相量的虛部；Zr、Zx分別為阻抗的電阻分量和電抗分量。則式（1）可以寫成：

因此，有：

寫成矩陣形式為：

其中，阻抗矩陣為常數(shù)矩陣，背景諧波電壓矩陣的數(shù)值隨時間發(fā)生改變，因此式（12）表示的模型是數(shù)理統(tǒng)計學領域中的實數(shù)域部分線性回歸模型。可通過核估計方法同時求解出該模型不變的系統(tǒng)諧波阻抗和變化的背景諧波電壓，但是要求背景諧波電壓隨時間變化而形成的曲線是光滑的，即曲線上每一點處都應具有切線，且切線隨切點的移動而連續(xù)轉動。對于工程應用而言，這幾乎是不可能的。因此目前數(shù)學中的實數(shù)域部分線性回歸模型對于工程中計算系統(tǒng)諧波阻抗問題并不適用。同時，式（1）中電壓、電流均為相量，有著自身特定的物理含義，不能拆分為實部與虛部分別進行參數(shù)的回歸?；谝陨显颍疚目紤]直接在復數(shù)域上定義部分線性回歸模型并設計算法進行求解更符合實際。目前，在數(shù)理統(tǒng)計學中未見有復數(shù)域部分線性回歸模型的研究，仿照實數(shù)域部分線性回歸模型的定義，給出系統(tǒng)等效諧波阻抗?jié)M足的復數(shù)域部分線性回歸模型表達如下：

其中，n為經FFT后得到的離散值個數(shù)；UhX（k）為在公共連接點處測量的電壓經FFT后得到的第k個h次諧波電壓；IhA（k）為負荷A接入母線處測量的電流經 FFT 后得到的第 k 個 h 次諧波電流；UhX，0（k）為與第k個h次諧波電壓和諧波電流同時刻發(fā)生的未知的背景諧波電壓相量值，在不同的時刻，背景諧波電壓的取值會不一樣。系統(tǒng)等效諧波阻抗ZhX，A也是未知的。式（13）中所有量都是復數(shù)形式的，因此，式（13）可定義為復數(shù)域部分線性回歸模型。

3 模型的細分迭代求解方法

由于背景諧波電壓的變化曲線是非光滑的，核光滑估計算法不適合于求解如式（13）所示的復數(shù)域部分線性回歸模型，設計迭代算法求解復數(shù)域部分線性回歸模型。算法描述如下。

a.設置初始值，令細分次數(shù)d=2，計算精度δ0、最小窗寬b0。

b.計算窗寬若b＜b0，求解失敗，算法終止，否則轉步驟c。

c.將UhX與IhA數(shù)據(jù)分成d段，每段窗寬為b。記第 p 段數(shù)據(jù)如下：諧波電壓為 UhX（b（p-1）+1），UhX（b（p-1）+2），…，UhX（b（p-1）+b）；諧波電流為IhA（b（p-1）+1），IhA（b（p-1）+2），…，IhA（b（p-1）+b）。用上述數(shù)據(jù)構造復數(shù)域部分線性回歸模型：

其中，l=b（p-1）+1，b（p-1）+2，…，b（p-1）+b。

將式（14）近似為復線性回歸模型：

表示成矩陣形式：

則第p段系統(tǒng)諧波阻抗和背景諧波電壓求解結果為：

令 ε=y-Ax，計算分別令 p=1，2，…，d，可以求得［ZhX，A（1）ZhX，A（2）…ZhX，A（d）］以及［e（1）e（2）… e（d）］。

d.對 e（1）、e（2）、…、e（d）從小到大進行排序，記結果為 e（s1）、e（s2）、…、e（sd），其中 s1、s2、…、sd為 1、2、…、d 的全排列。 若 e（s1）＞δ0，則 d=2d，轉步驟 b，否則，記：

則系統(tǒng)側諧波阻抗為：

系統(tǒng)側諧波阻抗估計的平均誤差eˉ為：

e.計算背景諧波電壓為：

4 仿真驗證

采用如圖2所示的多電壓等級仿真測試系統(tǒng)進行仿真驗證。等值系統(tǒng)與220 kV母線相連，經變電站2個主變壓器降壓為負荷側供電。其中主變壓器1所連110 kV母線所帶負載為電氣化鐵路模型和電弧爐模型；主變壓器2所連110 kV母線，經變壓器降壓為 35 kV 或 6 kV，為線性負載 A、B、C、D、E 供電。 其中電力機車［22］、電弧爐模型［23］電路示意圖分別如圖3、圖4所示，線性負載參數(shù)如表1所示。

圖2 多電壓等級仿真測試系統(tǒng)Fig.2 Multi-level simulation system

圖3 電力機車主電路圖Fig.3 Main circuit of electric locomotive

圖4 電弧爐供電系統(tǒng)示意圖Fig.4 Schematic diagram of power supply system for electric arc furnace

表1 線性負載參數(shù)Table 1 Parameters of linear loads

以5次諧波為例，在主變壓器1所連110 kV母線處接入典型的諧波源負荷電力機車和電弧爐。在圖2中所示的測量點1及圖4所示的測量點2處，對電力機車整流電路和電弧爐爐體等效模型注入系統(tǒng)的5次諧波電流進行測量，諧波電流波形分別如圖5和圖6所示。設置計算步長為1 s，取1 min數(shù)據(jù)的平均值作為一個樣本點，共取2100個點，模擬了實際系統(tǒng)中連續(xù)35 h的變化情況。

本文以電弧爐支路為例，進行等效諧波阻抗的計算。將除電弧爐支路以外的系統(tǒng)其余部分等效為系統(tǒng)側諧波阻抗，將除電弧爐以外的其余部分產生的諧波看成背景諧波。

圖5 電力機車注入的5次諧波電流Fig.5 5th harmonic current injected by electric locomotive

圖6 電弧爐注入的5次諧波電流Fig.6 5th harmonic current injected by electric arc furnace

以前6h為例，分別測量110kV母線1處的瞬時電壓值和電弧爐支路的瞬時電流值，測量點3如圖2所示。根據(jù)國家標準GB／T 14549—1993的要求，每3 s取一個有效值，經FFT后，得到一組母線處的5次諧波電壓相量值和電弧爐支路的5次諧波電流相量值，分別如圖7和圖8所示。當關注諧波源的諧波波動存在大的突變時，在這些劇烈波動處往往可以忽略背景諧波波動的影響。但是，從圖7和圖8可以發(fā)現(xiàn)，關注諧波源沒有顯著的諧波突變，因此背景諧波波動的影響可能存在。

圖7 母線1處5次諧波電壓測量值Fig.7 Measured 5th harmonic voltage of Bus 1

圖8 電弧爐接入母線處的5次諧波電流測量值Fig.8 Measured 5th harmonic current of electric arc furnace branch

為了判斷背景諧波波動的影響能否忽略，在圖2所示的測量點4處測量電力機車支路的5次諧波電流，如圖9所示。由圖8與圖9的對比可以看出，此時電力機車支路的諧波波動與關注的電弧爐支路相比幅值較大，因此背景諧波波動的影響不能忽略。

圖9 電力機車接入母線處的5次諧波電流測量值Fig.9 Measured 5th harmonic current of electric locomotive branch

分別采用主導波動量法、獨立隨機矢量協(xié)方差法、二元線性回歸法、穩(wěn)健回歸法以及本文提出的方法計算系統(tǒng)等效諧波阻抗，計算結果如表2所示。通過單位電流注入法求得系統(tǒng)等效諧波阻抗真實值為10.1247∠32.7853°Ω?？梢钥闯?，二元線性回歸法在背景諧波波動的情況下，完全無法對等效諧波阻抗進行計算；穩(wěn)健回歸法在背景諧波平穩(wěn)隨機的情況下，可以通過反復加權進行分析以得到理想的結果，但由圖5和圖9可見，此時背景諧波波動較大，導致穩(wěn)健回歸法對等效諧波阻抗的計算誤差較大，達74.72%；主導波動量法在用戶諧波占主導的情況下，可通過有效的篩選手段剔除不良數(shù)據(jù)，在一定程度上避免背景諧波波動的影響，但由圖8與圖9的對比可見，此時背景諧波波動占據(jù)主導地位，運用主導波動量法無法得到足夠的樣本點，會造成估計信息刪失，不能準確反映等效諧波阻抗；而本文所提方法可準確計算波動的背景諧波，在考慮了波動的背景諧波的前提下實現(xiàn)了系統(tǒng)等效諧波阻抗的計算，計算結果的相對誤差為1.89%，效果非常顯著。

表2 各方法計算等效諧波阻抗結果比較Table 2 Equivalent harmonic impedance calculated by different methods

5 實測數(shù)據(jù)計算分析

在實際工程中，準確的諧波阻抗是未知的。為了能夠實現(xiàn)比較和分析，采用能夠利用波動量法求解諧波阻抗的諧波電壓和諧波電流數(shù)據(jù)，否則在不能得到用于作為對比的諧波阻抗參考值的前提下，難以說明所提算法結果的準確性。同時，也要求數(shù)據(jù)存在背景諧波波動占主導的區(qū)間，否則難以說明所提方法較波動量法及其改進方法具有更廣的適用性。

實測數(shù)據(jù)來自江蘇省某縣某35 kV鑄鋼專線用戶，測試點為110 kV供電變電站35 kV側的用戶進線處，用戶接入系統(tǒng)的主接線示意圖如圖10所示。

利用Fluke 1760采集測試點的電能質量數(shù)據(jù)，采樣頻率 10.24 kHz，1 min記錄一個點，采樣時間為2011年6月 27日 16∶53至23∶53。 以 11次諧波為例進行分析，基波電流、11次諧波電壓和11次諧波電流的有效值分別見圖 11—13，11次諧波電壓與11次諧波電流的相角差見圖14。

圖10 測試系統(tǒng)主接線Fig.10 Schematic diagram of test system

（1）計算諧波阻抗參考值。

若測試數(shù)據(jù)有大擾動，并且這種擾動由用戶主導產生，用波動量法計算系統(tǒng)等效諧波阻抗非常有效。圖11中基波電流大小主要由用戶的工作情況決定，由圖11可以看出基波電流存在大的擾動，在這些大擾動處圖12與圖13有相應的變化趨勢，表明擾動是用戶主導的。選擇幾個大的擾動點，如圖中虛線框所示（從左至右記為擾動點1、2、3），利用波動量法計算諧波阻抗，結果如表3所示。

圖11 諧波負荷的基波電流Fig.11 Fundamental current of harmonic load

圖12 PCC處的11次諧波電壓Fig.12 11th harmonic voltage at PCC

圖13 諧波負荷的11次諧波電流Fig.13 11th harmonic current of harmonic load

圖14 11次諧波電壓超前諧波電流的角度Fig.14 Phase difference between 11th harmonic voltage and 11th harmonic current

利用本文方法計算得到的系統(tǒng)等效諧波阻抗為3.32+j44.53 Ω，與波動量法的計算結果相對誤差僅為1.6%。這一結果在充分驗證了本文方法正確性的同時，也表明可以將 3.32+j44.53 Ω 作為計算結果對比中的諧波阻抗參考值。

（2）諧波沒有大波動，即背景諧波波動占主導情況下，本文方法與傳統(tǒng)方法計算性能比較。

選擇17∶00至17∶50之間的數(shù)據(jù)段，這段時間內沒有大的擾動。波動量法是工程上應用成熟的方法，首先與波動量進行對比。對2個相鄰點使用波動量法計算諧波阻抗，諧波阻抗的幅值、實部和虛部分別如圖15和圖16所示。

將除關注負荷以外的其余部分并聯(lián)等效為系統(tǒng)等效諧波阻抗，其大小會隨著各支路負荷的投入與退出等情況的發(fā)生而改變。但由于實際系統(tǒng)側諧波阻抗遠小于各支路負荷，所以等效諧波阻抗應仍與實際系統(tǒng)側諧波阻抗相近。而實際系統(tǒng)側諧波阻抗并不隨各支路負荷的變化而變化，所以等效諧波阻抗只會在某一數(shù)值附近進行小范圍的波動。而從圖15和圖16可以看出，傳統(tǒng)波動量法估計值波動劇烈，因此，波動量法的估計結果很不合理。并且從圖16（a）還可以看出，在很多點處諧波阻抗估計結果的實部接近0，而諧波阻抗參考值為3.32+j44.53 Ω，波動量法諧波阻抗實部的估計結果誤差非常大。利用本文方法計算得到的諧波阻抗為2.56+j42.32 Ω，相對誤差為5.23%。因此，本文方法在波動量法失效的情況下具有顯著優(yōu)勢。

表3 波動量法計算諧波阻抗結果Table 3 Harmonic impedances calculated by fluctuation method

圖15 波動量法計算的諧波阻抗幅值Fig.15 Harmonic impedance calculated by fluctuation method

圖16 波動量法計算的諧波阻抗實部與虛部Fig.16 Real and imaginary parts of harmonic impedance calculated by fluctuation method

針對本段數(shù)據(jù)，分別利用主導波動量法、隨機矢量協(xié)方差法、二元線性回歸法、穩(wěn)健回歸法計算等效諧波阻抗，與本文所提方法進行比較，結果如表4所示?？梢?，與傳統(tǒng)方法相比，所提方法能在諧波波動不明顯的情況下得到更準確的諧波阻抗估計結果。

表4 各方法計算等效諧波阻抗結果比較Table 4 Comparison of calculated equivalent harmonic impedance among different methods

6 結論

a.本文提出了基于非光滑復數(shù)域部分線性回歸模型的諧波阻抗計算方法，解決了背景諧波波動占主導情況下的諧波阻抗計算問題，彌補了波動量法在背景諧波占主導情況下無法計算諧波阻抗的缺陷。

b.仿真算例表明基于非光滑復數(shù)域部分線性回歸模型的諧波阻抗計算結果是準確的，實測數(shù)據(jù)測試驗證了所提諧波責任定量評估方法在工程應用中是可行的。

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