含核函數(shù)切換的風(fēng)電功率短期預(yù)測(cè)新方法

歐陽庭輝，查曉明，秦 亮，熊 一，夏 添，黃鶴鳴

（武漢大學(xué) 電氣工程學(xué)院，湖北 武漢 430072）

0 引言

隨著化石能源的不斷消耗，能源危機(jī)日益嚴(yán)重，為此，全世界范圍內(nèi)都在大力發(fā)展可再生能源［1］。目前，風(fēng)電作為一種豐富的、可開發(fā)利用的資源，在電網(wǎng)中的滲透率逐步提高。然而，由于風(fēng)能具有隨機(jī)性和波動(dòng)性，特別是在大規(guī)模、高集中度的風(fēng)電發(fā)展模式下［2］，風(fēng)電帶來的挑戰(zhàn)大于機(jī)遇，如2008年美國(guó)德州發(fā)生了一場(chǎng)大規(guī)模、危害較大的大功率下坡事件［3］。如果能夠?qū)︼L(fēng)電功率進(jìn)行提前預(yù)測(cè)，不僅可以指導(dǎo)調(diào)度部門提前制定有效的發(fā)電計(jì)劃，而且可以通過分析未來風(fēng)電變化，有效預(yù)防爬坡等具有重大威脅的風(fēng)電事件，保證電力系統(tǒng)的安全、穩(wěn)定運(yùn)行，因此，對(duì)風(fēng)電功率進(jìn)行準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)意義重大。

目前針對(duì)風(fēng)電功率的預(yù)測(cè)方法主要分為2類：物理模型和統(tǒng)計(jì)模型［4］。其中，物理模型主要是利用數(shù)值天氣預(yù)報(bào)的結(jié)果預(yù)測(cè)風(fēng)速，然后通過實(shí)際風(fēng)電功率曲線求取未來風(fēng)電功率［5］，該方法可以預(yù)測(cè)較長(zhǎng)時(shí)間的功率變化，但預(yù)測(cè)精度較差。相對(duì)而言，統(tǒng)計(jì)模型在較短期的風(fēng)電功率預(yù)測(cè)時(shí)精度較高，它主要通過對(duì)大量歷史實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行模型訓(xùn)練，尋找歷史輸入與輸出的對(duì)應(yīng)關(guān)系［6］，如時(shí)間序列模型［7］、神經(jīng) 網(wǎng) 絡(luò) 模 型［8］、卡 爾 曼 濾 波 模 型［9］和 支 持 向 量 機(jī)（SVM）［10］等方法。這些方法都是基于歷史風(fēng)電功率時(shí)間序列進(jìn)行研究的，而時(shí)間序列通常是所研究系統(tǒng)的外在行為表現(xiàn)，包含了系統(tǒng)特征和運(yùn)動(dòng)規(guī)律，因此通過時(shí)間序列的研究可把握系統(tǒng)的本質(zhì)，從而實(shí)現(xiàn)預(yù)測(cè)。考慮到時(shí)間序列可以來自隨機(jī)系統(tǒng)或確定系統(tǒng)，確定系統(tǒng)又分為線性和非線性［11］。而風(fēng)作為大氣動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的一個(gè)重要組成因素［12］，且大氣動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)具有確定性，因此由風(fēng)產(chǎn)生的風(fēng)電功率時(shí)間序列也具有確定性，是可預(yù)測(cè)的。然而風(fēng)電不僅有確定性特性，也有隨機(jī)性特性，為了反映這種特性，文獻(xiàn)［13］中對(duì)實(shí)例風(fēng)電功率數(shù)據(jù)進(jìn)行了混沌性分析，提出采用混沌預(yù)測(cè)方法實(shí)現(xiàn)短期風(fēng)電功率預(yù)測(cè)。

在混沌時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法中，有基于一階局部預(yù)測(cè)法的線性模型、基于最大Lyapunov指數(shù)和Volterra方法的非線性模型［14-15］，其中局部預(yù)測(cè)法和Lyapunov法是基于歷史相似性進(jìn)行預(yù)測(cè)，但由于混沌系統(tǒng)對(duì)初值的敏感性，這種相似性是不完全的。同樣，低階的Volterra法在預(yù)測(cè)高階和時(shí)變混沌序列時(shí)也存在一定局限性［13］。為了彌補(bǔ)混沌時(shí)間序列非線性預(yù)測(cè)精度不高的缺點(diǎn)，文獻(xiàn)［16］引入核函數(shù)將低維非線性空間映射到高維線性空間，從而可使用高維線性模型提高預(yù)測(cè)精度。同樣，文獻(xiàn)［17］分析了不同的核函數(shù)會(huì)有不同的預(yù)測(cè)精度，從而提出采用組合核函數(shù)的預(yù)測(cè)法。另一方面，為了提高預(yù)測(cè)精度，文獻(xiàn)［18］在風(fēng)電功率預(yù)測(cè)時(shí)通過采用馬爾科夫鏈切換機(jī)制選取不同的預(yù)測(cè)模型來實(shí)現(xiàn)最優(yōu)預(yù)測(cè)。綜上所述，為了提高風(fēng)電功率時(shí)間序列的預(yù)測(cè)精度，本文提出基于核函數(shù)切換的風(fēng)電功率短期預(yù)測(cè)方法，一方面利用核函數(shù)將非線性預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)換成高維線性預(yù)測(cè)，另一方面在預(yù)測(cè)過程中采用有效的模型切換機(jī)制來選取最優(yōu)核函數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)含最優(yōu)核函數(shù)的風(fēng)電功率混沌時(shí)間序列預(yù)測(cè)新方法。

為此，本文以美國(guó)能源部BPA控制區(qū)域2013年的風(fēng)電功率數(shù)據(jù)為研究對(duì)象。首先，對(duì)該實(shí)例序列進(jìn)行混沌相空間重構(gòu)，并利用遞歸圖法檢驗(yàn)序列的確定性，根據(jù)小數(shù)據(jù)量法求取最大Lyapunov指數(shù)檢驗(yàn)該序列的混沌性。其次，分析含不同核函數(shù)的混沌時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法的性能，結(jié)合SVM，訓(xùn)練得到最優(yōu)核函數(shù)的切換機(jī)制，并按照該機(jī)制指導(dǎo)風(fēng)電功率時(shí)間序列預(yù)測(cè)。最后，給出3種誤差指標(biāo)，通過對(duì)算例數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證了本文所提方法的有效性，并為有效地捕獲爬坡特征的爬坡事件預(yù)測(cè)方法提供參考。

1 風(fēng)電功率序列混沌性分析

Pakard認(rèn)為［19］，確定任一系統(tǒng)的狀態(tài)所需要的全部動(dòng)力學(xué)信息可反映在該系統(tǒng)任一變量的時(shí)間序列中，因此把單變量時(shí)間序列嵌入新的坐標(biāo)空間，形成的軌跡可以保留原狀態(tài)空間軌道的主要特征。即重構(gòu)的相空間與原始系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為等價(jià)，2個(gè)狀態(tài)空間滿足微分同胚［20］，即通過混沌相空間重構(gòu)可以指導(dǎo)實(shí)現(xiàn)混沌時(shí)間序列的預(yù)測(cè)。根據(jù)Takens延遲嵌入定理［20］，在對(duì)風(fēng)電功率序列進(jìn)行相空間重構(gòu)時(shí)，假設(shè)實(shí)測(cè)風(fēng)電功率序列為若給定延遲時(shí)間τ和嵌入維數(shù)m這2個(gè)變量，則按照式（1）可重構(gòu)相空間。

其中，xn為重構(gòu)后的相空間相點(diǎn)；N0=N-（m-1）τ。 對(duì)無噪聲、無限長(zhǎng)的時(shí)間序列，可以任意選擇延遲時(shí)間τ，且嵌入維數(shù)m只需滿足m≥2d+1即可，其中d為系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)維數(shù)。然而實(shí)際的風(fēng)電功率時(shí)間序列必然會(huì)受噪聲影響，因此通常先對(duì)序列進(jìn)行去噪，然后根據(jù)具體方法選取延遲時(shí)間和嵌入維數(shù)。

1.1 相空間重構(gòu)參數(shù)選取

1.1.1 延遲時(shí)間選取

選取延遲時(shí)間τ的目標(biāo)是為了保證間隔τ的2個(gè)獨(dú)立又不完全無關(guān)的量作為重構(gòu)空間中的獨(dú)立坐標(biāo)時(shí)，可有效地實(shí)現(xiàn)吸引子的重構(gòu)。為了適應(yīng)風(fēng)電功率時(shí)間序列的分析，本文選用互信息法［21］選取合適的延遲時(shí)間τ。

假設(shè)風(fēng)電時(shí)間序列為｛xn｝，則相隔時(shí)間間隔τ的2個(gè)觀測(cè)量xn和xn+τ，它們之間的互信息值可表示為：

其中，P（xn）、P（xn+τ）分別為觀測(cè)量 xn、xn+τ的概率分布，P（xn，xn+τ）為這 2 個(gè)觀測(cè)量的聯(lián)合概率分布，可通過對(duì)風(fēng)電功率時(shí)間進(jìn)行概率統(tǒng)計(jì)獲得。通常用（xi為變量 X 中的每個(gè)取值元素）表示離散變量X的信息熵，則可將式（2）表示成各變量信息熵間的關(guān)系。τ的選擇既不能太大，也不能太小，當(dāng)τ太小時(shí)，重構(gòu)后吸引子十分靠近對(duì)角線，使相空間雜亂無章；當(dāng)τ太大時(shí)，吸引子可能投影到完全不相關(guān)的方向上，不能反映系統(tǒng)的演化規(guī)律。通常選擇I（xn，xn+τ）第一次達(dá)到局部極小值時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)延作為重構(gòu)相空間的延遲時(shí)間τ［22］，此時(shí)產(chǎn)生的冗余最小，具有最大的獨(dú)立性。本文按式（2）計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的互信息值，計(jì)算結(jié)果如圖 1 所示，可知 I（xn，xn+τ）第一次達(dá)到極小值時(shí)τ=9，即為所求延遲時(shí)間。

圖1 互信息法求相空間重構(gòu)延遲時(shí)間Fig.1 Delay time of phase-space reconstruction calculated by mutual information method

1.1.2 嵌入維數(shù)選取

在對(duì)風(fēng)電功率序列進(jìn)行相空間重構(gòu)時(shí)，嵌入維數(shù)的選取必須合適，如果m取得太小，吸引子可能因?yàn)檎郫B而造成自相交；如果m取得太大，在對(duì)實(shí)際受噪聲影響的序列進(jìn)行分析時(shí)，計(jì)算工作量將增大。因此本文采用虛假鄰近點(diǎn)法［23］確定嵌入維數(shù)m。若風(fēng)電功率時(shí)間序列重構(gòu)后如式（1）所示，假設(shè)xn的最近鄰點(diǎn)為 xη（n），當(dāng)嵌入維數(shù)從 m 增大到 m+1時(shí)，相點(diǎn) xn中增加分量xn+mτ，此時(shí)鄰近點(diǎn)間的距離變?yōu)椋?/p>

若滿足 m+1 維下鄰近點(diǎn)距離與m 維下鄰近點(diǎn)距離相差不大，則說明在Rm空間中吸引子完全打開，不再存在虛假鄰近點(diǎn)，此時(shí)m即為所求嵌入維數(shù)。對(duì)按式（1）重構(gòu)后的序列進(jìn)行嵌入維數(shù)分析，結(jié)果如圖2所示。

圖2 虛假鄰近點(diǎn)法求嵌入維數(shù)Fig.2 Embedding dimension calculated by false nearest neighbor method

圖2給出了隨著嵌入維數(shù)m增大，虛假鄰近點(diǎn)所占比例的變化趨勢(shì)。由圖可知，當(dāng)m=7時(shí)，虛假鄰點(diǎn)數(shù)不再隨維數(shù)m增加而減少，此時(shí)可認(rèn)為系統(tǒng)的幾何結(jié)構(gòu)被完全打開，因此m=7即為所求嵌入維數(shù)。根據(jù)上述求得的延遲時(shí)間和嵌入維數(shù)，結(jié)合式（1）可完成風(fēng)電功率時(shí)間序列的重構(gòu)。

1.2 混沌特性分析

對(duì)于上述分析給出的重構(gòu)風(fēng)電功率混沌時(shí)間序列，在進(jìn)行混沌特性分析時(shí)，主要考慮確定性和混沌性2個(gè)特性，其中確定性檢測(cè)是為了保證構(gòu)建可預(yù)測(cè)的模型，混沌性檢測(cè)是為了保證可使用混沌方法進(jìn)行預(yù)測(cè)。

1.2.1 確定性檢測(cè)

對(duì)于實(shí)例的風(fēng)電功率時(shí)間序列，本文采用遞歸圖法［11］來檢測(cè)風(fēng)電功率是否來自確定系統(tǒng)。假設(shè)按照式（1）重構(gòu)后的相空間序列為，設(shè) i和 j時(shí)刻的相點(diǎn)間的距離為dij=‖xi-xj‖，若時(shí)間序列以T為周期，則當(dāng)時(shí)，dij=0，利用這種性質(zhì)，以i為橫坐標(biāo)，j為縱坐標(biāo)，可畫出dij=0時(shí)的遞歸圖。由于考慮到實(shí)際序列中的噪聲影響，通常以dij＜r（r為人為設(shè)定的距離閾值）為標(biāo)準(zhǔn)畫遞歸圖，則可得如圖3所示的風(fēng)電功率序列重構(gòu)后相點(diǎn)的遞歸圖。

圖3 風(fēng)電功率序列重構(gòu)空間的遞歸圖Fig.3 Recurrence plot of reconstruction space of wind power series

從圖中可以看出，風(fēng)電功率時(shí)間序列重構(gòu)后相點(diǎn)的遞歸圖呈現(xiàn)復(fù)雜的軌跡跡象，但從一些與對(duì)角線平行的小帶中可以看出一些周期特性，因此可認(rèn)為風(fēng)電功率時(shí)間序列具有確定性特性，可構(gòu)建預(yù)測(cè)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。

1.2.2 混沌性檢測(cè)

在判斷風(fēng)電功率時(shí)間序列具有確定性后，需要進(jìn)一步檢測(cè)其是否具有混沌性，以便確定采用混沌方法進(jìn)行預(yù)測(cè)。由于最大Lyapunov指數(shù)是混沌系統(tǒng)的一個(gè)重要幾何不變量，因此，通常用它來判斷系統(tǒng)是否具有混沌性。當(dāng)Lyapunov指數(shù)值大于零時(shí)，說明系統(tǒng)具有混沌特性。為此，本文采用穩(wěn)定性較強(qiáng)、對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)要求較少的小數(shù)據(jù)量法［24］來求取重構(gòu)相空間的最大Lyapunov指數(shù)。

設(shè)重構(gòu)的時(shí)間序列為取一個(gè)相點(diǎn)作為初始點(diǎn) x（n1），在相空間中尋找其最鄰近點(diǎn)則距離L1為：

其中，p為時(shí)間序列的平均周期。按時(shí)間T演化后，上述 2 個(gè)相點(diǎn)演化成點(diǎn)，此時(shí)的距離為根據(jù)混沌相空間軌跡的指數(shù)分離規(guī)律則其指數(shù)增長(zhǎng)率為：

其中，λm為所求最大Lyapunov指數(shù)。本文以重構(gòu)后的風(fēng)電功率時(shí)間序列為例，按上述方法求最大Lyapunov指數(shù)。由于演化時(shí)間T太長(zhǎng)會(huì)造成吸引子結(jié)構(gòu)上的重疊、突變，從而造成最大Lyapunov指數(shù)錯(cuò)誤估計(jì)，為此，本文取T=20，并繪出最大Lyapunov指數(shù)隨著演化時(shí)間的變化規(guī)律，如圖4所示。

圖4 最大Lyapunov指數(shù)隨演化時(shí)間的變化規(guī)律Fig.4 Maximum Lyapunov value varying with evolution time

從圖中可見，最大 Lyapunov指數(shù) λm=0.00059＞0，可知風(fēng)電功率時(shí)間序列來自確定性的混沌系統(tǒng)，因此在對(duì)風(fēng)電功率進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，可選取合適的混沌時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法。

2 含核函數(shù)切換的預(yù)測(cè)模型

目前，混沌預(yù)測(cè)方法有局部線性預(yù)測(cè)法、基于最大Lyapunov指數(shù)的預(yù)測(cè)模型以及基于非線性的Volterra預(yù)測(cè)方法［14-15］。局部線性預(yù)測(cè)法和最大 Lyapunov指數(shù)預(yù)測(cè)模型都是建立在混沌相空間中吸引子短期內(nèi)的自相似性基礎(chǔ)上，但由于混沌系統(tǒng)具有初值敏感性、長(zhǎng)期不可預(yù)測(cè)性和分叉結(jié)構(gòu)，從而造成這些方法預(yù)測(cè)時(shí)間較短，預(yù)測(cè)精度不高。相對(duì)而言，Volterra預(yù)測(cè)方法是一種非線性模型，可以較好地提高短期內(nèi)的預(yù)測(cè)精度。為了進(jìn)一步提高混沌時(shí)間序列的預(yù)測(cè)精度，需要更高階的非線性預(yù)測(cè)模型，然而高階模型一般實(shí)現(xiàn)困難，例如Volterra預(yù)測(cè)方法常采用二階截?cái)嗄Ｐ停?3］。為了實(shí)現(xiàn)非線性高階預(yù)測(cè)模型，本文提出如下方法。首先假設(shè)混沌時(shí)間序列為｛xn｝，則其預(yù)測(cè)模型可以表述為：

其中，yn+1為所求預(yù)測(cè)量；q為歷史相關(guān)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)；e為誤差波動(dòng)項(xiàng)［25］； f（*）為預(yù)測(cè)模型，考慮到混沌時(shí)間序列的非線性，f通常為非線性函數(shù)，如Volterra函數(shù)。如果存在非線性函數(shù)Φ，可將序列｛xn｝映射到高維Hilbert空間H中，如式（8）所示。

通過合適的非線性變換，在高維空間H中，低維的非線性預(yù)測(cè)模型可變?yōu)楦呔S線性模型，即式（7）可變?yōu)槭剑?），此時(shí)通過線性預(yù)測(cè)模型即可實(shí)現(xiàn)較高精度的預(yù)測(cè)性能。

其中，ω為權(quán)重向量。然而考慮到非線性變換Φ的實(shí)現(xiàn)困難，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，借助SVM中核函數(shù)不僅可將低維非線性模型投射成高維的線性模型，同時(shí)能以內(nèi)積形式來代替非線性變換的實(shí)現(xiàn)。因此，本文提出利用核函數(shù)來實(shí)現(xiàn)非線性混沌時(shí)間序列的高維映射，然后通過求解線性預(yù)測(cè)模型實(shí)現(xiàn)高性能預(yù)測(cè)。

1）“楊梅采摘節(jié)”，楊梅成熟剛好和五一小長(zhǎng)假相遇。可以利用這個(gè)時(shí)間段在廬山西海及周邊的地區(qū)通過旅行社、旅游公司、相關(guān)媒體等進(jìn)行對(duì)該活動(dòng)宣傳。開展一系列的活動(dòng)（如“摘楊梅比賽”“吃楊梅比賽”等）以促進(jìn)當(dāng)?shù)芈糜问袌?chǎng)的發(fā)展，提高經(jīng)濟(jì)收益。

2.1 含核函數(shù)的預(yù)測(cè)模型

核函數(shù)的選取必須滿足Mercer條件［26］，目前在SVM中常用的核函數(shù)有3種：多項(xiàng)式核函數(shù)、徑向基（RBF）核函數(shù)和Sigmoid核函數(shù)，它們的表達(dá)式如式（10）所示。

假設(shè)給定混沌時(shí)間序列｛xn｝，可根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)xn預(yù)測(cè)未來的演化狀態(tài) xn+1，即 xn+1=f（xn）。 按照前文分析，核函數(shù)可利用內(nèi)積完成高維映射，因此式（9）中的非線性變換可通過核函數(shù)實(shí)現(xiàn)。然而在訓(xùn)練高維線性模型過程中，需要若干具有相同特性的訓(xùn)練樣本，根據(jù)混沌系統(tǒng)的幾何不變量可知，結(jié)構(gòu)完全打開的混沌系統(tǒng)，其鄰近點(diǎn)空間通過核函數(shù)映射到高維空間中仍是鄰近空間，同時(shí)考慮鄰近點(diǎn)具有近似的演化規(guī)律，因此可在相空間中取k個(gè)當(dāng)前狀態(tài)xn的最鄰近點(diǎn)用于訓(xùn)練預(yù)測(cè)模型。假設(shè)核函數(shù)為 K（x，y）=〈Φ（x），Φ（y）〉，則每個(gè)相點(diǎn)可分別與其 h 個(gè)歷史點(diǎn)構(gòu)成核函數(shù)矩陣 Ki，其中 Kij=K（xi，xi，j）（i=1，2，…，k；j=1，2，…，h）。 相應(yīng) H 空間中的線性預(yù)測(cè)模型可表述為，則其預(yù)測(cè)誤差為：

其中分別為觀測(cè)值和預(yù)測(cè)值；ω 為權(quán)重向量。在求解該線性預(yù)測(cè)模型時(shí)，由最小二乘法（LMS）可知，以均方誤差最小為目標(biāo)，其最優(yōu)解可由式（12）求得，即最優(yōu)解ω*=P-1Q。

根據(jù)式（12）求得的最優(yōu)參數(shù)ω*，即可完成預(yù)測(cè)模型的構(gòu)建。本文取k=5，h=3，對(duì)歷史樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練可得到含具體參數(shù)的預(yù)測(cè)模型，并由預(yù)測(cè)模型對(duì)歷史樣本進(jìn)行擬合，結(jié)果如圖5所示，圖中給出了歷史樣本中2013年5月18日至21日的1000組擬合結(jié)果。同時(shí)為了對(duì)比分析，可以以自回歸-滑動(dòng)平均模型 ARMA（1，2）作為參考標(biāo)準(zhǔn)。

圖5 核函數(shù)模型對(duì)歷史觀測(cè)值的擬合結(jié)果Fig.5 Results of historical data fitting by kernel function models

2.2 模型切換機(jī)制

根據(jù)圖5的仿真結(jié)果可知，各個(gè)模型在時(shí)間序列的不同時(shí)刻具有不同的表達(dá)能力，為了達(dá)到更好的預(yù)測(cè)效果，可以在不同時(shí)刻選擇最合適的核函數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。為了得到不同時(shí)刻核函數(shù)的切換機(jī)制，本文將3類核函數(shù)分別對(duì)應(yīng)為3個(gè)類別，考慮SVM的泛化能力較強(qiáng)，只需有限樣本數(shù)據(jù)即可較好地訓(xùn)練分類器［27］，因此，在尋找切換機(jī)制時(shí)本文采用支持向量分類機(jī)。

假設(shè)重構(gòu)后的混沌時(shí)間序列為并取 xn為輸入量，根據(jù)圖5的仿真結(jié)果，取誤差最小的核函數(shù)作為輸出量cn，因此得到訓(xùn)練集為：

其中，S=｛Kpoly，KRBF，KSigmoid｝。 由于 S 是包含 3 個(gè)元素的集合，而基本的支持向量機(jī)（BSVM）是基于二分類的模型，為了實(shí)現(xiàn)多類別的分類，本文采用分級(jí)分類方法［28］，即每次只區(qū)分一個(gè)最主要的類別，對(duì)該類別的樣本定義yn=1，余下的樣本定義yn=-1，為使模型適用性更好，通過引入松弛變量ξi≥0可構(gòu)造SVM如式（14）所示。

其中，ω、b為SVM模型參數(shù)；N0為訓(xùn)練樣本長(zhǎng)度。為了尋找模型最優(yōu)解，通過引入Lagrange乘子向量α和β，可得到Lagrange函數(shù)：

其中，C為懲罰因子，為常數(shù)。通過式（15）可構(gòu)造原問題的對(duì)偶問題如式（16）所示。

通過消去變量β求解該凸規(guī)劃模型，得到解則一個(gè) BSVM 分類器的最優(yōu)參數(shù)可通過式（17）給出。

根據(jù)前文分析，由 BSVM 的結(jié)果 y=〈ω*，x〉+b*可判斷出樣本屬于哪一類。而對(duì)于本文重構(gòu)的混沌時(shí)間序列，按照分級(jí)分類方法需構(gòu)造2個(gè)BSVM，根據(jù)式（14）—（17）的計(jì)算可得到 2個(gè)分類超平面，它們共同組成了風(fēng)電功率混沌預(yù)測(cè)模型的核函數(shù)切換機(jī)制。

3 算例分析

本文以美國(guó)BPA（Bonneville Power Administration）控制區(qū)域2013年采樣間隔為5 min的風(fēng)電功率數(shù)據(jù)為數(shù)據(jù)樣本集，取1—5月份共43476組數(shù)據(jù)為仿真算例，首先根據(jù)相空間重構(gòu)的基本思想重構(gòu)原始風(fēng)電功率序列，并通過最大Lyapunov指數(shù)驗(yàn)證了重構(gòu)的序列具有混沌性，如圖4所示。根據(jù)前文分析，取1—4月份的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)模型訓(xùn)練，取5月份的數(shù)據(jù)作為測(cè)試集用于預(yù)測(cè)和評(píng)估。為了評(píng)估本文基于核函數(shù)切換機(jī)制的風(fēng)電功率預(yù)測(cè)方法的性能，取測(cè)試集中5月27日到5月28日共500組數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)仿真，其預(yù)測(cè)結(jié)果如圖6所示。圖6中分別給出了使用3類核函數(shù)進(jìn)行單獨(dú)預(yù)測(cè)的結(jié)果和使用切換核函數(shù)機(jī)制的混沌時(shí)間序列預(yù)測(cè)結(jié)果。

圖6 風(fēng)電功率混沌時(shí)間序列預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.6 Results of chaotic time series prediction for wind power

為了說明本文提出的基于核函數(shù)切換機(jī)制的風(fēng)電功率預(yù)測(cè)方法的有效性，需引入誤差指標(biāo)對(duì)比分析該方法的預(yù)測(cè)性能。文獻(xiàn)［29］中將誤差指標(biāo)分為縱向和橫向2類，其中縱向誤差從宏觀角度描述預(yù)測(cè)系統(tǒng)的長(zhǎng)期運(yùn)行狀態(tài)，橫向誤差則從時(shí)間角度研究預(yù)測(cè)的變化。因此，在對(duì)短期風(fēng)電功率預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行分析時(shí)，本文取縱向誤差如絕對(duì)值平均誤差MAE（Mean Absolute Error）、均方根誤差 RMSE（Root Mean Squared Error）和橫向誤差相關(guān)系數(shù)CC（Correlation Coefficient）進(jìn)行分析，其表達(dá)式如式（18）所示。

其中，xi為實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)為預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)；s 為預(yù)測(cè)樣本數(shù)；Dxi表示求變量xi的方差。

首先，為了說明含核函數(shù)的模型對(duì)風(fēng)電功率時(shí)間序列的表達(dá)能力，對(duì)圖5中的仿真結(jié)果進(jìn)行分析，結(jié)果如表1所示。

表1 訓(xùn)練樣本的誤差指標(biāo)值Table 1 Error indexes of training samples

對(duì)比ARMA（1，2）模型可以看出，含核函數(shù)的混沌預(yù)測(cè)模型無論是從縱向幅值表達(dá)能力，還是橫向時(shí)間延遲，對(duì)歷史風(fēng)電功率時(shí)間序列均具有較好的表達(dá)效果，因此說明采用含核函數(shù)預(yù)測(cè)模型的可行性。同樣，為了進(jìn)一步說明含核函數(shù)切換模型在實(shí)際預(yù)測(cè)過程中的效果，圖6中還給出了ARMA（1，2）模型的預(yù)測(cè)結(jié)果，通過分析計(jì)算，表2中給出了含核函數(shù)切換機(jī)制和不含核函數(shù)切換的混沌序列預(yù)測(cè)，以及ARMA（1，2）模型的預(yù)測(cè)誤差指標(biāo)性能。

表2 含核函數(shù)預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)性能Table 2 Performances of prediction models with kernel functions

分析可知，MAE和RMSE的值越小，說明預(yù)測(cè)的幅值誤差越??；指標(biāo)CC的值越接近于1，說明預(yù)測(cè)值和實(shí)際觀測(cè)值的時(shí)間偏移越小。對(duì)比表2中幾種預(yù)測(cè)方法可知，含核函數(shù)的預(yù)測(cè)方法比ARMA模型性能更優(yōu)；當(dāng)核函數(shù)單獨(dú)預(yù)測(cè)時(shí)，使用Sigmoid核函數(shù)的預(yù)測(cè)性能較好；而通過加入了核函數(shù)切換機(jī)制，風(fēng)電功率短期預(yù)測(cè)性能整體得到提高，因此可說明基于核函數(shù)切換機(jī)制的混沌時(shí)間序列預(yù)測(cè)法不僅對(duì)風(fēng)電功率短期預(yù)測(cè)有效，同時(shí)可較好地提高預(yù)測(cè)性能。

4 結(jié)論

本文為了改善風(fēng)電功率短期預(yù)測(cè)性能，提出基于核函數(shù)切換機(jī)制的混沌時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法。一方面，通過遞歸圖和最大Lyapunov指數(shù)驗(yàn)證了重構(gòu)的風(fēng)電功率序列具有混沌性。其次，對(duì)比含核函數(shù)映射的混沌時(shí)間序列預(yù)測(cè)法與傳統(tǒng)Volterra預(yù)測(cè)法，說明了使用核函數(shù)預(yù)測(cè)的優(yōu)越性。最后，通過訓(xùn)練核函數(shù)切換機(jī)制，基于實(shí)例數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)誤差分析驗(yàn)證了本文所提方法的高預(yù)測(cè)性能。綜合上述結(jié)果可知，基于核函數(shù)切換機(jī)制的混沌預(yù)測(cè)方法對(duì)風(fēng)電功率短期預(yù)測(cè)有效，并可較好地提高混沌時(shí)間序列的預(yù)測(cè)性能。

參考文獻(xiàn)：

［1］李俊峰，蔡豐波，喬黎明，等.2013中國(guó)風(fēng)電發(fā)展報(bào)告［M］.北京：中國(guó)資源綜合利用專業(yè)委員會(huì)，2013：9-12.

［2］戚永志，劉玉田.風(fēng)電高風(fēng)險(xiǎn)爬坡有限度控制［J］.中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2013，33（13）：69-75.QI Yongzhi，LIU Yutian.Finite control of high risk wind power ramping［J］.Proceedings of the CSEE，2013，33（13）：69-75.

［3］FRANCIS N.Predicting sudden changes in wind power generation［J］.North American Wind Power，2008，5：58-60.

［4］張露，盧繼平，梅亦蕾，等.基于不同優(yōu)化準(zhǔn)則的風(fēng)電功率預(yù)測(cè)［J］.電力自動(dòng)化設(shè)備，2015，35（5）：139-145.ZHANG Lu，LU Jiping，MEI Yilei，et al.Wind power forecasting based on different optimization criterions［J］.Electric Power Automation Equipment，2015，35（5）：139-145.

［5］馮雙磊，王偉勝，劉純，等.風(fēng)電場(chǎng)功率預(yù)測(cè)物理方法研究［J］.中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2010，30（2）：1-6.FENG Shuanglei，WANG Weisheng，LIU Chun，et al.Study on the physical approach to wind power prediction［J］.Proceedings of the CSEE，2010，30（2）：1-6.

［6］ZHENG H，KUSIAK A.Prediction of wind farm power ramp rates：a data-mining approach［J］.Journal of Solar Energy Engineering，2009，131（3）：376-385.

［7］潘迪夫，劉輝，李燕飛.風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速短期多步預(yù)測(cè)改進(jìn)算法［J］.中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2008，28（26）：87-91.PAN Difu，LIU Hui，LI Yanfei.Optimization algorithm of shortterm multi-step wind speed forecast［J］.Proceedings of the CSEE，2008，28（26）：87-91.

［8］李文良，衛(wèi)志農(nóng)，孫國(guó)強(qiáng)，等.基于改進(jìn)空間相關(guān)法和徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的風(fēng)電場(chǎng)短期風(fēng)速分時(shí)預(yù)測(cè)模型［J］.電力自動(dòng)化設(shè)備，2009，29（6）：89-92.LI Wenliang，WEI Zhinong，SUN Guoqiang，et al.Multi-interval wind speed forecast model based on improved spatial correlation and RBF neural network［J］.Electric Power Automation Equipment，2009，29（6）：89-92.

［9］卿湘運(yùn)，楊富文，王行愚.采用貝葉斯-克里金-卡爾曼模型的多風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)速短期預(yù)測(cè)［J］.中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2012，32（35）：107-114.QING Xiangyun，YANG Fuwen，WANG Xingyu.Short-term wind speed forecasting for multiple wind farms using Bayesian Kriged Kalman mode［J］.Proceedings of the CSEE，2012，32（35）：107-114.

［10］凌武能，杭乃善，李如琦.基于云支持向量機(jī)模型的短期風(fēng)電功率預(yù)測(cè)［J］.電力自動(dòng)化設(shè)備，2013，33（7）：34-38.LING Wuneng，HANG Naishan，LI Ruqi.Short term wind power forecasting based on cloud SVM model［J］.Electric Power Automation Equipment，2013，33（7）：34-38.

［11］王海燕，盧山.非線性時(shí)間序列分析及其應(yīng)用［M］.北京：科學(xué)出版社，2006：40-44.

［12］CHEN N，QIAN Z，NABNEY I，et al.Wind power forecasts using Gaussian processes and numerical weather prediction［J］.IEEE Transactions on Power Systems，2014，29（2）：656-665.

［13］張學(xué)清，梁軍.風(fēng)電功率時(shí)間序列混沌特性分析及預(yù)測(cè)模型研究［J］.物理學(xué)報(bào)，2012，61（19）：70-81.ZHANG Xueqing，LIANG Jun.Chaotic characteristics analysis and prediction model study on wind power time series［J］.Acta Phys Sin，2012，61（19）：70-81.

［14］任麗佳，江秀臣，盛戈皞，等.輸電線路允許輸送容量的混沌預(yù)測(cè)［J］.中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2009，29（25）：86-91.REN Lijia，JIANG Xiuchen，SHENG Gehao，et al.Prediction of transmission line rating based on chaotic time series analysis［J］.Proceedings of the CSEE，2009，29（25）：86-91.

［15］彭春華.電力市場(chǎng)短期邊際電價(jià)的分時(shí)重構(gòu)混沌相空間預(yù)測(cè)［J］.中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2005，25（23）：80-85.PENG Chunhua.Electricity market short-term marginal price forecasting based on period clustering restructuring chaotic phase space［J］.Proceedings of the CSEE，2005，25（23）：80-85.

［16］郭創(chuàng)新，王揚(yáng)，沈勇，等.風(fēng)電場(chǎng)短期風(fēng)速的多變量局域預(yù)測(cè)法［J］.中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2012，32（1）：24-31.GUO Chuangxin，WANG Yang，SHEN Yong，et al.Multivariate local prediction method for short-term wind speed of wind farm［J］.Proceedings of the CSEE，2012，32（1）：24-31.

［17］田中大，高憲文，石彤.用于混沌時(shí)間序列預(yù)測(cè)的組合核函數(shù)最小二乘支持向量機(jī)［J］.物理學(xué)報(bào)，2014，63（16）：66-76.TIAN Zhongda，GAO Xianwen，SHI Tong.Combination kernel function least squares support vector machine for chaotic time series prediction［J］.Acta Phys Sin，2014，63（16）：66-76.

［18］PINSON P，MADSEN H.Adaptive modelling and forecasting of offshore wind power fluctuations with Markov-switching autoregressive models［J］.Journal of Forecasting，2012，31（4）：281-313.

［19］PAKARD H，CRUTCHFISLD J P，F(xiàn)ARMER J D，et al.Geometry from a time series［J］.Physical Review Letters，1980，45（9）：712-716.

［20］TAKENS F.Detecting strange attractors in turbulence，dynamical systems and turbulence，Warwick 1980［M］.Berlin，Germany：Springer Berlin Heidelberg，1981：366-381.

［21］安學(xué)利，蔣東翔.風(fēng)力發(fā)電機(jī)組運(yùn)行狀態(tài)的混沌特性識(shí)別及其趨勢(shì)預(yù)測(cè)［J］.電力自動(dòng)化設(shè)備，2010，30（3）：15-19.AN Xueli，JIANG Dongxiang.Identification of chaos characteristics and prediction of wind turbine state［J］.Electric Power Automation Equipment，2010，30（3）：15-19.

［22］冬雷，王麗婕，高爽，等.基于混沌時(shí)間序列的大型風(fēng)電場(chǎng)發(fā)電功率預(yù)測(cè)建模與研究［J］.電工技術(shù)學(xué)報(bào)，2008，23（12）：125-129.DONG Lei，WANG Lijie，GAO Shuang，etal.Modelingand analysis of prediction of wind power generation in the large wind farm based on chaotic time series［J］.Transactions of China Electrotechnical Society，2008，23（12）：125-129.

［23］KENNEL M B，BROWN R，ABARBANEL H D I.Determining embedding dimension for phase-space reconstruction using a geometrical construction［J］.Physical Review A，1992，45（6）：3403.

［24］ROSENSTEIN M T，COLLINS J J，LUCA C J D.A practical method for calculating largest Lyapunov exponents from small data sets［J］.Physica D-Nonlinear Phenomena，1993，65（1-2）：117-134.

［25］林衛(wèi)星，文勁宇，艾小猛，等.風(fēng)電功率波動(dòng)特性的概率分布研究［J］.中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2012，32（1）：38-46.LIN Weixing，WEN Jinyu，AI Xiaomeng，et al.Probability density function of wind power variations［J］.Proceedings of the CSEE，2012，32（1）：38-46.

［26］李慧杰，劉亞南，衛(wèi)志農(nóng)，等.基于相關(guān)向量機(jī)的短期風(fēng)速預(yù)測(cè)模型［J］.電力自動(dòng)化設(shè)備，2013，33（10）：28-32.LIHuijie，LIU Yanan，WEIZhinong，etal.Short-term wind speed forecasting modelbased on relevance vector machine［J］.Electric Power Automation Equipment，2013，33（10）：28-32.

［27］CRISTIANINI N，SHAWE-TAYLOR J.An introduction to support vector machines：and other kernel-based learning methods［M］.Cambridge，UK：Cambridge University Press，2000：103-112.

［28］HSU C W，LIN C J.A comparison of methods for multiclass support vector machines［J］.IEEE Transactions on Neural Networks，2002，13（2）：415-425.

［29］徐曼，喬穎，魯宗相.短期風(fēng)電功率預(yù)測(cè)誤差綜合評(píng)價(jià)方法［J］.電力系統(tǒng)自動(dòng)化，2011，35（12）：20-26.XU Man，QIAO Ying，LU Zongxiang.A comprehensive error evaluation method for short-term wind power prediction［J］.Automation of Electric Power Systems，2011，35（12）：20-26.