集值擬變分不等式的間隙函數(shù)和誤差界

楊 博, 夏福全

(四川師范大學 數(shù)學與軟件科學學院, 四川 成都 610066)

集值擬變分不等式的間隙函數(shù)和誤差界

楊 博, 夏福全*

(四川師范大學 數(shù)學與軟件科學學院, 四川 成都 610066)

首先研究集值擬變分不等式的間隙函數(shù),然后利用該間隙函數(shù)建立集值擬變分不等式與優(yōu)化問題間的等價關系,利用這一等價關系討論集值擬變分不等式的誤差界問題,這些結論是文獻(Fan H J, Wang G X. Comput Appl Math,2010,233:2956-2965和Tang G J, Huang N J. Taiwanese J Math,2013,17:1267-1286.)中相關結果的推廣.

集值擬變分不等式; 間隙函數(shù); 誤差界

變分不等式在最優(yōu)控制、非線性規(guī)劃、物理學、經濟學、工程學等諸多領域都有廣泛的應用,許多學者在變分不等式問題上作了深入研究,獲得了豐富結果[1-12].擬變分不等式問題出現(xiàn)相對較晚,但經過幾十年的發(fā)展,擬變分不等式的研究已較深入,并應用在力學及經濟學等問題中.

〈u*,y-x*〉≥0, ?y∈S(x*).

(1)

本文記集值映射S的不動點集、圖像、有效域分別為FP(S){x∈Rn|x∈S(x)}、Graph(S){(x,y)|x∈Dom(S),y∈S(x)}、Dom(S)={x∈X|S(x)≠?}.

如果F是一個單值映射,那么SQVI(F,S)退化為:求x*∈S(x*)滿足

〈F(x*),y-x*〉≥0, ?y∈S(x*).

(2)

對于單值擬變分不等式(2),文獻[13]首先定義了間隙函數(shù)f0(x):Rn→Rn∪{+∞}為

f0(x)=

-inf{〈F(x),y-x〉|y∈S(x)}.

(3)

在給定的條件下研究上述間隙函數(shù)f0(x)的連續(xù)性和可微性,同時也獲得關于間隙函數(shù)f0(x)的最優(yōu)化問題與擬變分不等式(2)之間的等價性.文獻[14]定義單值擬變分不等式問題(2)的間隙函數(shù)fα(x):Rn→Rn為

fα(x)=max{-〈F(x),y-x〉-

αφ(x,y)|y∈S(x)}.

(4)

利用新定義的間隙函數(shù),文獻[14]對文獻[13]的相關結果進行了推廣.

另一方面,若對任意的x∈Rn,S(x)≡S,其中S?Rn為非空子集,則SQVI(F,S)退化為求x*∈S,u*∈F(x*)滿足

〈u*,y-x*〉≥0, ?y∈S.

(5)

若F是一個單值映射,對任意的x∈Rn,S(x)≡S,其中S?Rn為非空子集,則SQVI(F,S)退化為下面的變分不等式問題:求x*∈S滿足

〈F(x*),y-x*〉≥0, ?y∈S.

(6)

文獻[15-16]定義(5)式的間隙函數(shù)fα(x):Rn→R為

fα(x)=

(7)

并獲得間隙函數(shù)的相關性質.

在此之后,文獻[11]利用(7)式定義問題(6)的新間隙函數(shù)

‖x-z‖}2,

證明關于φf(x,α,λ)的極小化問題與變分不等式問題(6)等價,并且研究φf(x,α,λ)的可微性,給出一些與誤差界相關的結果.

在(6)和(7)式的基礎上,文獻[1]定義了集值變分不等式問題(5)的間隙函數(shù)f:Rn×(0,+∞)→Rn為

f(x;α)=

(8)

利用間隙函數(shù)(8),文獻[1]推廣了文獻[11]中相應的結論.除此之外,文獻[2]也將文獻[11]的變分不等式問題推廣為集值混合變分不等式,在給定的條件下,推廣文獻[11]中相應的結論.

受上述研究工作的啟發(fā),本文研究了集值擬變分不等式間隙函數(shù)的性質以及與誤差界相關的結果,給出集值擬變分不等式新的間隙函數(shù)的定義,在給定的條件下,研究集值擬變分不等式間隙函數(shù)的相關性質以及與誤差界相關的結果,推廣了文獻[1-2]的相應結論.

1 預備知識

1) 強單調的,如果存在μ>0使得?x,y∈Rn,u∈F(x),v∈F(y)有

〈u-v,x-y〉≥μ‖x-y‖2;

2) 單調的,如果對?x,y∈Rn,u∈F(x),v∈F(y)有

〈u-v,y-x〉≥0;

3) 偽單調的,如果對?x,y∈Rn,u∈F(x),v∈F(y)有

〈u,y-x〉≥0?〈v,y-x〉≥0;

4) 關于x*強單調的,如果存在γ>0,對?x∈S(x*),u∈F(x)有

〈u,x-x*〉≥γ‖x-x*‖2,

其中x*是SQVI(F,S)的解.

注 1.1 若F是關于x*強單調的,則SQVI(F,S)的解x*是唯一的[17].此外,如果x*是SQVI(F,S)的解,F是強單調的,則F是關于x*強單調的,其中強單調系數(shù)γ∈(0,μ).事實上,因為x*是SQVI(F,S)的解,則存在u*∈F(x*)使得下列不等式成立

〈u*,x-x*〉≥0, ?x∈S(x*),

則對?x∈S(x*),u∈F(x)有

〈u,x-x*〉≥μ‖x-x*‖2+〈u*,x-x*〉

≥μ‖x-x*‖2≥γ‖x-x*‖2.

1)M(x)≥0,?x∈S(x);

2)M(x)=0,當且僅當x∈S(x)是問題(1)的解.

(y,x)?Graph(S),

則稱映射S具有不動點對稱性,顯然,這種性質可表示為

?x∈FP(S), ?y∈S(x)?x∈S(y).

下面的引理1.1參看文獻[18]的命題1.4.16.

).

1) 若f和F是下半連續(xù)函數(shù),則g(x)也是下半連續(xù)函數(shù);

2) 若f是上半連續(xù)函數(shù),F是上半連續(xù)函數(shù)并且是緊值的,則g(x)也是上半連續(xù)函數(shù).

引理 1.2[19]令X是拓撲空間,φi:X→[-∞,+∞](i∈I)是下半連續(xù)函數(shù),這里I是任意的指標集,則函數(shù)

下半連續(xù).

2 間隙函數(shù)

(9)

(10)

其中φ(x,y):Rn×Rn→R滿足下列條件:

(C1)φ在Rn×Rn上連續(xù)可微;

(C2)φ在Rn×Rn上非負且φ(x,y)=0,當且僅當x=y;

(C3)φ(x,·)關于x是一致強凸的,即存在常數(shù)μ>0,對?x∈Rn滿足

φ(x,y1)-φ(x,y2)≥〈yφ(x,y2),y1-y2〉+

μ‖y1-y2‖2, ?y1,y2∈Rn,

(C4)yφ(x,·)是Rn上具有模κ≥2μ的一致Lipschitz連續(xù)函數(shù),也就是說,存在正數(shù)κ≥2μ使得對?x∈Rn有

‖y(x,y1)-y(x,y2)‖≤κ‖y1-y2‖,

?y1,y2∈Rn;

(C5) 對任意的x,y∈Rn,xφ(x,y)=-yφ(x,y).

注 2.1 易知,若φ(x,y)=‖x-y‖2,則φ(x,y)滿足(C1)～(C5).在這種情況下,(9)式退化為

‖x-y‖2}.

特別地,當S(x)=K,?x∈Rn,其中K?Rn為非空子集,則(9)式退化為參考文獻[1]中所定義的函數(shù)

‖x-y‖2}.

參看文獻[20]的引理2.1和引理4.2得引理2.1.

引理 2.1 令φ(x,y)滿足(C1)～(C5),則有:

2) 對所有的x,y∈S(x),

μ‖x-y‖2≤φ(x,y)≤(κ-μ)‖x-y‖2,

其中μ和κ分別為(C3)和(C4)中的常數(shù).

首先研究本文所定義的函數(shù)(9)和(10)式所具有的一些性質.

1) 對任意的α>0和x∈S(x),有fα(x)≥0;

2) 對任意的α>0和x∈Rn,存在u0∈F(x),使得fα(x)=gα(x,u0);

3) 如果F上半連續(xù),則對任意α>0,fα是下半連續(xù)函數(shù).

證明 1) 若x∈S(x),則y=x∈S(x),有0∈{〈u,x-y〉-αφ(x,y)},故由gα(x,u)的定義得gα(x,y)≥0,因此

2) 因為〈u,x-y〉-αφ(x,y)關于u是連續(xù)的,且S是下半連續(xù)映射,由引理1.1的1)知gα(x,u)關于u是下半連續(xù)的.又因F是緊值的,故存在u0∈F(x)使得fα(x)=gα(x,u0).

是下半連續(xù)函數(shù).

證明 若fα(x*)=0,由fα(x)的定義,可得

因為S是下半連續(xù)的,由引理1.1的1)可知gα(x*,u)關于u是下半連續(xù)的,又因F(x*)是緊值的,則存在u*∈F(x*)使得

gα(x*,u*)=0.

因為〈u*,x*-y〉-αφ(x*,y)關于y是連續(xù)函數(shù)且S(x*)是緊值的,則由引理2.2,存在yα(x*)∈S(x*)滿足

gα(x*,u*)=〈u*,x*-yα(x*)〉-

αφ(x*,yα(x*))=0，

因此,

〈u*,yα(x*)-x*〉=

-αφ(x*,yα(x*))≤0.

(11)

因為yα(x*)∈S(x*)是

gα(x*,u*)=

的解,則由最優(yōu)性條件得

〈u*+αyφ(x*,yα(x*)),y-yα(x*)〉≥0,

?y∈S(x*),

(12)

(12)式等價為

〈u*,yα(x*)-y〉≤

〈αyφ(x*,yα(x*)),y-yα(x*)〉,

?y∈S(x*).

因為x*∈FP(S),故x*∈S(x*).取x*=y,可得

〈u*,yα(x*)-x*〉≤

〈αyφ(x*,yα(x*)),x*-yα(x*)〉.

(13)

另一方面,由條件(C3)得

φ(x*,x*)-φ(x*,yα(x*))≥

μ‖x*-yα(x*)‖2,

由于φ(x*,x*)=0,由(13)式可得

〈αyφ(x*,yα(x*)),x*-yα(x*)〉≤

-αμ‖x*-yα(x*)‖2-

αφ(x*,yα(x*)).

(14)

結合(13)和(14)式得

〈u*,yα(x*)-x*〉≤

-αμ‖x*-yα(x*)‖2-αφ(x*,yα(x*)).

根據(jù)(11)式可得

αμ‖x*-yα(x*)‖2≤0.

故x*=yα(x*),x*是SQVI(F,S)的解.事實上,因為x*=yα(x*)結合(12)式,可得

〈u*+αyφ(x*,x*),y-x*〉≥0,

?y∈S(x*).

反之,如果x*是SQVI(F,S)的解,則x*∈S(x*)且存在u*∈F(x*)使得

〈u*,y-x*〉≥0, ?y∈S(x*),

則

gα(x*,u*)=

由此可得

gα(x*,u*)≤0.

對任意的x*∈S(x*),由引理2.2的1)可得:fα(x*)≥0,fα(x*)=0.

注 2.2 1) 如果對任意的x∈Rn,S(x)=S是一個非空的閉集,φ(x,y)=‖x-y‖2,則引理2.3退化成文獻[1]的引理3.3;

2) 如果F是一個單值映射,則引理2.3退化為文獻[14]的引理2.2.此外,如果φ(x,y)=0,則引理2.3等價為文獻[13]的定理2.

定義函數(shù)hβ:Rn→R∪{+∞}為

hβ(x)=

(15)

其中β≥0.顯然,如果x∈S(x),則hβ(x)≥0.

證明 1) 如果x*是SQVI(F,S)的解,則x*∈S(x*)且存在u*∈F(x*),使得

〈u*,y-x*〉≥0, ?y∈S(x*).

因為F是偽單調的,則有

〈v,y-x*〉≥0, ?y∈S(x*),v∈F(y),

可得

因為對?x*∈S(x*)和β≥0有hβ(x*)≥0,從而h0(x*)=0.

反之,如果h0(x*)=0,則有

〈v,x*-y〉≤0,

?y∈S(x*),v∈F(y).

本文斷言x*是SQVI(F,S)的解.若不然,因為x*∈S(x*),則存在y0∈S(x*),使得

〈u*,y0-x*〉<0, ?u*∈F(x*).

令A={u*∈Rn:〈u*,y0-x〉<0},則A是F(x*)的鄰域.因為x*,y0∈S(x*)且S(x*)是凸值的,則令xt=ty0+(1-t)x*∈S(x*),其中t∈(0,1].令t→0+,可得xt→x*,故存在x*的鄰域U,使得對充分小的t>0,xt∈U.因為A是F(x*)的鄰域,U是x*的鄰域,且xt∈U,由F是上半連續(xù)函數(shù),可知F(xt)?A.由此可知,對每一個ut∈F(xt)有

〈ut,y0-x*〉<0.

對ut∈F(xt),xt∈S(x*),有下面的不等式

〈ut,xt-x*〉=t〈ut,y0-x*〉<0,

這與任意的y∈S(x*),v∈F(y)有〈v,y-x*〉≥0相矛盾.

2) 若β>0且hβ(x*)=0,由hβ(x*)的定義可得

〈v,x*-y〉+βφ(x*,y)≤0,

?y∈S(x*),v∈F(y).

因為φ(x*,y)≥0,則對所有y∈S(x*),v∈F(y),有〈v,x*-y〉≤0,后面的證明過程與引理2.4的1)的充分性證明相類似,由此可知x*是SQVI(F,S)的解.

反之,因為F關于SQVI(F,S)的解x*強單調的,故有

〈v,y-x*〉≥γ‖y-x*‖2,

?y∈S(x*),v∈F(y).

(16)

(16)式等價于

〈v,x*-y〉≤-γ‖y-x*‖2,

?y∈S(x*),v∈F(y).

由引理2.1的2)可得

〈v,x*-y〉+βφ(x*,y)≤

[β(κ-μ)-γ]‖x*-y‖2.

hβ(x*)=

又因為對x*∈S(x*)都有hβ(x*)≥0,從而hβ(x*)=0.

考慮下面2個函數(shù)

(17)

和

(18)

其中,λ>0,fα(·)、hβ(·)分別定義為(10)和(15)式,因此(17)和(18)式可寫作

αφ(z,y)}}+λφ(x,z)}

(19)

和

βφ(z,y)}}+λφ(x,z)}.

(20)

下面將在不假設集值映射F可微的條件下,研究τf,α,λ(x)和τh,β,λ(x)的可微性.為了方便,對任意的α>0,β≥0,λ>0,分別定義ψf,α,λ(x,z):Rn×S(x)→(-∞,+∞]和ψh,β,λ(x,z):Rn×S(x)→(-∞,+∞]為

ψf,α,λ(x,z)=fα(z)+λφ(x,z),

ψh,β,λ(x,z)=hβ(z)+λφ(x,z).

因此,由(17)和(18)式所定義的τf,α,λ(x)、τh,β,λ(x)可改寫為

定理 2.1 若對任意α,λ>0及x∈Rn,函數(shù)ψf,α,λ(x,·)在S(x)上取得唯一的最小值zf,α,λ(x)且zf,α,λ(x)連續(xù),則τf,α,λ(x)在Rn上可微且

證明 由τf,α,λ(·)、ψf,α,λ(·,·)、zf,α,λ(·)的定義,對每一個d∈Rn和ξ>0有

τf,α,λ(x+ξd)-τf,α,λ(x)≤

ψf,α,λ(x+ξd,zf,α,λ(x))-ψf,α,λ(x,zf,α,λ(x))=

λφ(x+ξd,zf,α,λ(x))-λφ(x,zf,α,λ(x)).

因此,在不等式的最左端和最右端同時除以ξ且讓ξ→0,可得

(21)

此外,對每一個d∈Rn和ξ>0,令xξ=x+ξd.由τf,α,λ(·)、ψf,α,λ(·,·)、zf,α,λ(·)的定義得

τf,α,λ(x+ξd)-τf,α,λ(x)=

τf,α,λ(xξ)-τf,α,λ(x)≥

ψf,α,λ(xξ,zf,α,λ(xξ))-

ψf,α,λ(x,zf,α,λ(xξ))=

λφ(x+ξd,zf,α,λ(x+ξd))-

λφ(x,zf,α,λ(x+ξd)).

因此,在不等式的最左端和最右端同時除以ξ且讓ξ→0,結合zf,α,λ(·)的連續(xù)性有

(22)

注意到(16)和(17)式對每一個d∈Rn有

λ〈xφ(x,zf,α,λ(x)),d〉,

定理 2.2 若對任意β≥0,λ>0及x∈Rn,函數(shù)ψh,β,λ(x,·)在S(x)上取得最小值zh,β,λ(x),且zh,β,λ(x)連續(xù),則τh,β,λ(x)在Rn是可微的,且

證明 證明過程與定理2.1相類似.

3 誤差界

利用fα(·)、hβ(·)、τf,α,λ(·)、τh,β,λ(·)研究集值擬變分不等式問題(1)的誤差界.

fα(x)≥[γ-α(κ-μ)]‖x-x*‖2,

?x∈S(x*).

證明 因為F(x)是緊值的,且S是下半連續(xù)的,由引理2.2的2),對任何的x∈Rn,存在vx∈F(x),使得

fα(x)=gα(x,vx).

因為F是關于x*強單調的,則有

〈vx,x-x*〉≥γ‖x-x*‖2.

另一方面,因為S具有不動點對稱性,對任意的x∈S(x*),顯然有x*∈S(x).由引理2.1的2)可得

fα(x)=gα(x,vx)=

〈vx,x-x*〉-αφ(x,x*)≥

γ‖x-x*‖2-α(κ-μ)φ(x,x*)≥

[γ-α(κ-μ)]‖x-x*‖2.

hβ(x)≥μβ‖x-x*‖2, ?x∈S(x*).

證明 因為x*是SQVI(F,S)的解,則x*∈S(x*)且存在u*∈F(x*)使得

〈u*,x-x*〉≥0, ?x∈S(x*).

因為S具有不動點對稱性,故對任意x∈S(x*)都有x*∈S(x).由引理2.1的2)可得

〈u*,x-x*〉+βφ(x,x*)≥

βφ(x,x*)≥μβ‖x-x*‖2.

‖x-x*‖2≤

τf,α,λ(x)≤λ(κ-μ)‖x-x*‖2,

?x∈S(x*).

證明 因為x*是SQVI(F,S)的解,則x*∈S(x*).由引理2.3有

fα(x*)=0.

對任意的x∈S(x*),因為S是不動點對稱的,則有x*∈S(x),結合引理2.1的2)可得

fα(x*)+λφ(x,x*)≤λφ(x,x*)≤

λ(κ-μ)‖x-x*‖2.

根據(jù)引理3.1可得

由不等式

?a,b∈Rn,

則

‖z-x*‖2+‖x-z‖2}≥

從而

τf,α,λ(x)≥

‖x-x*‖2≤

τh,β,λ(x)≤λ(κ-μ)‖x-x*‖2,

?x∈S(x*).

證明 對任意的x∈S(x*),因為S是不動點對稱的,則x*∈S(x).由x*是SQVI(F,S)的解,由引理2.4,可知hβ(x*)=0,右邊的不等式證明類似于定理3.1的證明.此外,結合引理3.2,左邊的不等式證明跟定理3.1最后一部分證明類似.

1) 若F、S是緊值的且S下半連續(xù)的,對任意的λ>0和x∈S(x*),則x*是SQVI(F,S)的解當且僅當τf,α,λ(x*)=0;

2) 若F是上半連續(xù)的且S是凸值的,對任意的λ>0和x∈S(x*),則x*是SQVI(F,S)的解當且僅當τh,β,λ(x*)=0.

證明 1) 如果x*是SQVI(F,S)的解,則x*∈S(x*).對任意x∈S(x*),讓x=x*,由定理3.1可得τf,α,λ(x*)=0.

反之,若τf,α,λ(x*)=0,由τf,α,λ(·)的定義可知,對任意的z∈S(x*)有

fα(z)+λφ(x*,z)≥0.

因為fα(z)+λφ(x,z)關于z是下半連續(xù)的且S是緊值的,則存在極小化序列{zn}∈S(x*)使得對任意的正整數(shù)n有

fα(zn)+λφ(x*,zn)≤

即存在序列{zn}∈S(x*),使得fα(zn)→0和φ(x*,zn)→0,則zn→x*.因為集合S(x*)是閉的,且zn∈S(x*),從而x*∈S(x*).由引理2.2可知fα(·)是下半連續(xù)和非負的,則有

0≤fα(x*)≤

因此,fα(x*)=0,從而,由引理2.3可知x*是SQVI(F,S)的解.

2) 如果x*是SQVI(F,S)的解,則x*∈S(x*).對任意的x∈S(x*),讓x=x*.又因為F是上半連續(xù)的且S是凸值的,由定理3.2可得τh,β,λ(x*)=0.反之,如果τh,β,λ(x*)=0,證明過程與定理3.3的1)的充分性證明相似.

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2010 MSC：47H05; 47H04; 49J40; 49J30

(編輯 鄭月蓉)

Gap Functions and Error Bounds for Set-valued Quasi-variational Inequalities

YANG Bo, XIA Fuquan

(College of Mathematics and Software Science, Sichuan Normal University, Chengdu 610066, Sichuan)

In this paper, we consider the gap functions for set-valued quasi-variational inequalities. Using these gap functions, we show the equivalence between optimization problem and the set-valued quasi-variational inequalities. With the obtained equivalence results, we study error bounds for the solutions of set-valued quasi-variational inequalities(Fan H J, Wang G X. Comput Appl Math,2010,233:2956-2965, and Tang G J, Huang N J. Taiwanese J Math,2013,17:1267-1286.).

gap function; set-valued map; quasivariational inequality; error bound

2016-03-27

教育部科學技術重點項目(212147)

O176; O178

A

1001-8395(2016)06-0801-08

10.3969/j.issn.1001-8395.2016.06.004

*通信作者簡介：夏福全(1973—),男,教授,主要從事分拆理論與優(yōu)化算法設計的研究,E-mail::fuquanxia@163.com