復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)下保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資–再保–混合分紅策略?

孫宗岐,陳志平

(1-西安思源學(xué)院高數(shù)教研室，西安 710038;2-西安交通大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，西安 710049)

1 引言

經(jīng)典的風(fēng)險(xiǎn)模型通常將索賠事件等價(jià)于風(fēng)險(xiǎn)事件，即風(fēng)險(xiǎn)事件一旦發(fā)生就會(huì)賠付．然而現(xiàn)實(shí)中，在賠付政策里存在無(wú)賠款折扣優(yōu)待制度，甚至免賠額制度．這樣一來(lái)當(dāng)索賠成本與賠付額相差不大時(shí)，投保人會(huì)放棄索賠．另一方面，根據(jù)保險(xiǎn)公司的歷史數(shù)據(jù)不難檢驗(yàn)出索賠次數(shù)的方差并不等于其期望[1]，這顯然與齊次Poisson過(guò)程的性質(zhì)不一致．毛澤春和劉錦萼[1,2]首次對(duì)保單免賠和無(wú)賠款折扣優(yōu)待制度下的索賠次數(shù)進(jìn)行了分析，提出了復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程，并利用它來(lái)刻畫(huà)存在這種賠償限額約束的索賠次數(shù)，進(jìn)而導(dǎo)出了該過(guò)程下保險(xiǎn)公司破產(chǎn)概率應(yīng)滿(mǎn)足的更新方程．自此，不斷有學(xué)者將這一過(guò)程引入到保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型中來(lái)，林祥和李娜[3]運(yùn)用隨機(jī)最優(yōu)控制原理研究了索賠次數(shù)為復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程的最優(yōu)投資與比例再保險(xiǎn)問(wèn)題，得到了最優(yōu)投資–再保策略和最小破產(chǎn)概率的顯式解；楊鵬等[4]研究了索賠過(guò)程為復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程的均值–方差模型，得到了最優(yōu)投資與超額損失再保險(xiǎn)策略的解析解及有效邊界．賀麗娟等[5]研究了保費(fèi)率為時(shí)間的函數(shù)的復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)下，保險(xiǎn)盈余的Gerber-Shiu懲罰函數(shù)所應(yīng)滿(mǎn)足的更新方程．Huang等[6]研究了帶干擾的雙復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程的保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型．然而迄今為止，我們并未看到關(guān)于復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程下保險(xiǎn)公司分紅問(wèn)題的研究．

在保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中，當(dāng)盈余達(dá)到一定水平后，保險(xiǎn)公司一般會(huì)采取給投保者分紅的策略來(lái)提高自身在保險(xiǎn)行業(yè)的競(jìng)爭(zhēng)力．1957年，F(xiàn)inetti首次研究了分紅問(wèn)題，到目前為止，已有許多研究將分紅策略引入到金融決策中來(lái)[7-10]．目前流行的基本分紅策略有閥值分紅和有界分紅．然而采用單一的閥值分紅策略不僅不夠靈活，由于保險(xiǎn)的盈余增長(zhǎng)不可能無(wú)限，出于激發(fā)投保熱情的目的，我們還可以考慮邊界分紅策略．這種同時(shí)考慮兩種基本分紅策略的所謂混合分紅策略最早由Ng[11]提出，它是對(duì)單一分紅策略的推廣．為了提高分紅水平，除了增加常規(guī)的投保，風(fēng)險(xiǎn)資本投資也是一種十分有效的手段．楊鵬[12,13]在跳–擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)模型下分別研究了具有投資行為的保險(xiǎn)公司最優(yōu)閥值分紅問(wèn)題和有界分紅問(wèn)題．溫玉珍和尹傳存[14]則研究了一類(lèi)混合分紅策略下，索賠到來(lái)的時(shí)間間隔服從廣義Erlang(n)分布的更新風(fēng)險(xiǎn)模型．

上述研究要么沒(méi)有考慮風(fēng)險(xiǎn)投資，要么雖考慮風(fēng)險(xiǎn)投資，但未考慮風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)對(duì)保險(xiǎn)收益的影響．一個(gè)顯然的事實(shí)是：保險(xiǎn)公司承保的失業(yè)保險(xiǎn)，在經(jīng)濟(jì)低迷時(shí)由于資本市場(chǎng)回報(bào)慘淡，加之社會(huì)上出現(xiàn)大量失業(yè)，從而導(dǎo)致理賠的加劇．因此，考慮與資本市場(chǎng)收益波動(dòng)相關(guān)的保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資組合及分紅策略不僅有重要的理論意義而且有較大的實(shí)用價(jià)值．

鑒于以上情況，本文擬在索賠次數(shù)服從復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程的假設(shè)下，考慮與資本市場(chǎng)收益波動(dòng)相關(guān)的保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資–比例再保險(xiǎn)策略和最大混合分紅問(wèn)題．文章的具體結(jié)構(gòu)如下：第2節(jié)首先從數(shù)學(xué)上給出風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程和分紅機(jī)制的描述，然后利用隨機(jī)最優(yōu)控制原理導(dǎo)出相應(yīng)的最優(yōu)控制問(wèn)題．第3節(jié)將最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為HJB方程，并得到HJB方程的解析解，最后在一種特殊情形下，給出了最優(yōu)金融策略的完全顯式解．第4節(jié)給出數(shù)值實(shí)例，并分析偏離系數(shù)和相關(guān)系數(shù)對(duì)最優(yōu)金融策略的影響，給出其經(jīng)濟(jì)上的解釋?zhuān)?節(jié)則是全文總結(jié)．

2 建立模型

本文假設(shè)所有隨機(jī)過(guò)程和隨機(jī)變量都定義在完備概率空間(?,F,P)上，其產(chǎn)生的σ-域流{Ft:t>0}完備且右連續(xù)．類(lèi)似已有文獻(xiàn)中的假設(shè)，我們?cè)试S連續(xù)交易且資產(chǎn)可任意分割，市場(chǎng)不存在摩擦，整個(gè)投資過(guò)程是自融資的且無(wú)套利．

本節(jié)先給出索賠次數(shù)、盈余過(guò)程和混合分紅機(jī)制的數(shù)學(xué)描述，然后再導(dǎo)保險(xiǎn)公司的最優(yōu)控制問(wèn)題．

2.1 索賠次數(shù)、盈余過(guò)程和混合分紅機(jī)制的刻畫(huà)

2.1.1 索賠次數(shù)的刻畫(huà)

通過(guò)分析保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中索賠事件與風(fēng)險(xiǎn)事件到來(lái)的差異，并基于免賠額和無(wú)賠款折扣優(yōu)待制度，毛澤春和劉錦萼[1,2]提出了如下的復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程．

定義1 設(shè)λ>0,0< γ<1，稱(chēng)非負(fù)整值隨機(jī)變量N服從參數(shù)為λ,γ的復(fù)合Poisson-Geometric分布，如果滿(mǎn)足

由已有文獻(xiàn)[1,2]中的結(jié)論，我們有：

引理1 若隨機(jī)變量N服從參數(shù)為λ,γ的復(fù)合Poisson-Geometric分布，則隨機(jī)變量N的矩母函數(shù)為

當(dāng)γ=0時(shí)

可見(jiàn)，此時(shí)復(fù)合Poisson-Geometric分布退化成一般的Poisson分布．

注1 復(fù)合Poisson-Geometric分布可以看作是以下兩種獨(dú)立分布的復(fù)合．如果隨機(jī)變量N1服從參數(shù)為的Poisson分布，隨機(jī)變量序列獨(dú)立且同分布于參數(shù)為1?γ的Geometric分布，那么N=服從參數(shù)為λ,γ的復(fù)合Poisson-Geometric分布．

將上述定義推廣到隨機(jī)過(guò)程則有如下定義．

定義2 設(shè)λ>0,0≤γ<1，稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程{N(t)}服從參數(shù)為λ,γ的復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程，如果滿(mǎn)足：

1)N(0)=0；

2) N(t)有獨(dú)立平穩(wěn)增量；

3) 對(duì)任意t≥0,N(t)服從參數(shù)為λ,γ的復(fù)合Poisson-Geometric分布，且

注2 當(dāng)γ=0時(shí)，復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程退化為一般的Poisson過(guò)程，這里的γ常稱(chēng)為偏離系數(shù)．

2.1.2 盈余過(guò)程的刻畫(huà)

保險(xiǎn)公司經(jīng)典的盈余過(guò)程是

這里x表示初始盈余，c表示保費(fèi)率，表示保險(xiǎn)公司到時(shí)刻t為止的累積索賠，Yi表示第i次索賠時(shí)的索賠額，N1(t)服從參數(shù)為λ的Poisson過(guò)程，表示到時(shí)刻t為止索賠發(fā)生的次數(shù)．

基于復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程，我們將N1(t)拓廣為參數(shù)是λ,γ的復(fù)合Poisson-Geometric過(guò)程N(yùn)(t)．{N(t)},{B1(t)},{Yi}相互獨(dú)立．假設(shè)Yi服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則由文獻(xiàn)[2]的引理4可知

其中p1=E[Yi]=m,p2=E[Yi2]=2m2．根據(jù)Taksar和Markussen[15]的研究，經(jīng)典的盈余過(guò)程可以近似地用擴(kuò)散過(guò)程

來(lái)描述，其中是一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)．為了安全起見(jiàn)，保費(fèi)率須滿(mǎn)足

稱(chēng)為安全負(fù)載系數(shù)，則不難得到保險(xiǎn)公司的盈余滿(mǎn)足擴(kuò)散過(guò)程

如果保險(xiǎn)公司在破產(chǎn)前將部分盈余投資于其價(jià)格過(guò)程滿(mǎn)足如下方程

的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，這里μ0是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望收益率，σ0是波動(dòng)率，是一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)．設(shè)與的相關(guān)系數(shù)為ρ，而投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(比如：股票)的額度為π(t,x)，則保險(xiǎn)公司的盈余過(guò)程滿(mǎn)足

進(jìn)而，若我們還考慮再保險(xiǎn)業(yè)務(wù)，并假設(shè)再保險(xiǎn)的自留比例為q(t,x)，再保險(xiǎn)的保費(fèi)安全負(fù)載系數(shù)為η(>θ)，則盈余過(guò)程的描述可進(jìn)一步表示為

即

下文中，我們記所有滿(mǎn)足以下條件的控制策略(π(t,x),q(t,x))的集合為可行集Π：

2.1.3 混合分紅機(jī)制的描述

為使結(jié)果具有普適性，本文假設(shè)保險(xiǎn)公司對(duì)股東或投保人按以下混合分紅機(jī)制進(jìn)行紅利分配．設(shè)b2>b1>0，當(dāng)修正盈余低于b1時(shí)，保險(xiǎn)公司不分紅；當(dāng)修正盈余大于等于b1而小于b2時(shí)，依常數(shù)速率α(

對(duì)于t≥0，令D(t)=D1(t)+D2(t)表示到時(shí)刻t為止的累積分紅總量，D1(t),D2(t)分別表示上述兩種分紅方式下的累積分紅．令?R(t)(t)?D(t)表示修正盈余，

表示破產(chǎn)時(shí)間，則對(duì)于t≤T，我們有

最后，若用D表示破產(chǎn)前的累積分紅的現(xiàn)值，則有

2.2 最優(yōu)控制問(wèn)題

有了以上的準(zhǔn)備工作，我們即可建立保險(xiǎn)公司為尋求最優(yōu)投資–再保策略與混合分紅函數(shù)而應(yīng)求解的隨機(jī)最優(yōu)控制問(wèn)題．為此，對(duì)任意的x≥0，用J(x;b1,b2)=E[D|?R(0)=x]表示破產(chǎn)前累積分紅現(xiàn)值的期望．保險(xiǎn)公司進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)投資和再保險(xiǎn)的目的是通過(guò)選擇最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資額度和再保險(xiǎn)比例，使得最終的折現(xiàn)累積紅利的期望達(dá)到最大，即

亦即

以下稱(chēng)其為最優(yōu)混合分紅函數(shù)．由此，我們可構(gòu)建如下的最優(yōu)控制問(wèn)題

為了便于處理值函數(shù)V(x;b1,b2)在x=0時(shí)的狀態(tài)，我們假設(shè)初始財(cái)富可以小于零，且只有當(dāng)|x|充分小時(shí)，保險(xiǎn)公司可適當(dāng)注入一定的資金來(lái)避免一開(kāi)始就出現(xiàn)理論意義上的破產(chǎn)．具體地，選定一個(gè)適當(dāng)?shù)膽土P因子?>1，它表示如果發(fā)生破產(chǎn)，保險(xiǎn)公司就需要注入損失額?倍的資金以作為懲罰．因此，當(dāng)x<0時(shí)，我們有

3 求解模型

這一節(jié)，我們首先利用最優(yōu)控制原理將本文的隨機(jī)最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化Ham ilton-Jacobi-Bellman方程，并求解該方程在不同情形下得到最優(yōu)控制策略．

3.1 Ham ilton-Jacobi-Bellman方程

設(shè)

為定義在[0,+∞)上的二次連續(xù)可微函數(shù)，且

則由文獻(xiàn)[16]中2.5.1節(jié)的結(jié)論可知，依照x的不同取值，我們可以具體給出以下三種情形下最優(yōu)混合分紅函數(shù)V(x;b1,b2)所應(yīng)滿(mǎn)足的相應(yīng)HJB方程：

1) 當(dāng)0≤x≤b1時(shí)

HJB方程滿(mǎn)足如下邊界條件

進(jìn)而，我們有下面的檢驗(yàn)性定理[16]：

引理2 設(shè)W(x;b1,b2)為定義在[0,+∞)上的二次連續(xù)可微的函數(shù)，且

如果W(x;b1,b2)是上述方程(3),(4),(5)的經(jīng)典解，那么W(x;b1,b2)與V(x;b1,b2)一致，且滿(mǎn)足HJB方程的(π?(x),q?(x))是最優(yōu)投資策略，即

3.2 最優(yōu)投資–再保策略與最優(yōu)混合分紅函數(shù)

對(duì)應(yīng)于上述三種情形下所得到的HJB方程，本節(jié)具體探討并導(dǎo)出最優(yōu)投資–再保策略，最后得到最優(yōu)混合分紅函數(shù)．

3.2.1 b1

定理1 當(dāng)b1

最優(yōu)混合分紅函數(shù)為

證明 由于b1

代入HJB方程(4)有

其中

不難得到形如

的解，則最優(yōu)金融策略為

將其代入方程(4)可解得L=，于是V2(x;b1,b2)得以確定，且

3.2.2 x>b2時(shí)的最優(yōu)投資–再保策略與最優(yōu)混合分紅函數(shù)

不難得到，當(dāng)x>b2時(shí)，最優(yōu)金融策略與定理1一致，相應(yīng)的最優(yōu)混合分紅函數(shù)為

3.2.3 0≤x≤b1時(shí)的最優(yōu)投資–再保策略、最優(yōu)混合分紅函數(shù)

定理2 當(dāng)0≤x≤b1時(shí)，最優(yōu)金融策略為

最優(yōu)混合分紅函數(shù)為

其中

證明 由于0≤x≤b1,V(x;b1,b2)滿(mǎn)足的HJB方程(3)，由一階最優(yōu)性條件

可解得

將其代入方程(3)有

式(7)是一個(gè)二階非線(xiàn)性微分方程，根據(jù)Hojgaard和Taksar[17]可知：對(duì)形如(7)的方程，V′′(x;b1,b2)<0意味存在一個(gè)函數(shù)X:R→[0,∞)，使得

亦即

且

將式(8)代入到方程(9)中，可得

兩邊關(guān)于z求導(dǎo)可得

不難得到其通解為

由式(8)反解后得值函數(shù)可表示為

以后為方便計(jì)，分別將C1(b1,b2)簡(jiǎn)記為C1，C2(b1,b2)簡(jiǎn)記為C2．

定理3 在定理2中

證明 由于最優(yōu)混合分紅函數(shù)滿(mǎn)足邊界條件

因此，由=?有z=?ln?，從而

同樣，由第二個(gè)邊界條件可得

聯(lián)立并解之，可得

3.3 一種特殊情形下最優(yōu)混合分紅函數(shù)的完全顯式解

由定理1和定理3雖然可以得到

但要求解其反函數(shù)X?1(y)卻并非易事，從而函數(shù)

的顯示表達(dá)也不易獲得．的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義是再保險(xiǎn)保費(fèi)的繳納導(dǎo)致的保費(fèi)損失率等于紅利的貼現(xiàn)率．本小節(jié)將在δ=的特殊條件下，完全地給出值函數(shù)顯式解．

定理4 在δ=的條件下，當(dāng)0≤x≤b1時(shí)，最優(yōu)金融策略為

最優(yōu)混合分紅函數(shù)為

4 數(shù)值算例及經(jīng)濟(jì)分析

本節(jié)在 δ=的條件下，考慮復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)中的偏離系數(shù)γ和保險(xiǎn)收益與風(fēng)險(xiǎn)資本收益的相關(guān)系數(shù)ρ的變化對(duì)最優(yōu)投資策略、最優(yōu)再保險(xiǎn)策略、最優(yōu)混合分紅函數(shù)的影響，并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)學(xué)意義．

4.1 γ和ρ對(duì)最優(yōu)混合分紅函數(shù)V(x)的影響

算例1 設(shè)

我們分別在γ取0、0.2、0.3的情況下利用matlab軟件得到最優(yōu)混合分紅V(x)的圖像，如圖1所示．

從圖1可以看出：最優(yōu)混合分紅函數(shù)V(x)是初始財(cái)富x的增函數(shù)．這是因?yàn)槌跏紲?zhǔn)備金越充分，將來(lái)的盈余水平就越高，分紅自然越多．其次，復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)的偏離系數(shù)γ越大，平均索賠額就越大，索賠風(fēng)險(xiǎn)加劇，盈余下降，分紅減少．

圖1: 最優(yōu)混合分紅函數(shù)V(x)與偏離系數(shù)γ之間的關(guān)系

算例2 設(shè)

我們分別在ρ取0、0.8、0.9的情況下利用matlab軟件得到最優(yōu)分紅V(x)的圖像，如圖2所示．

圖2: 最優(yōu)混合分紅函數(shù)V(x)與相關(guān)系數(shù)ρ之間的關(guān)系

從圖2可以看出：最優(yōu)分紅V(x)是初始財(cái)富x的增函數(shù)．其次，當(dāng)保險(xiǎn)收益與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益的相關(guān)系數(shù)增大時(shí)，保險(xiǎn)公司面臨的風(fēng)險(xiǎn)就會(huì)增大．在初始準(zhǔn)備金不充裕的情況下，保險(xiǎn)公司的償付能力較弱，自然會(huì)采取保守措施來(lái)減少風(fēng)險(xiǎn)投資，以維持整體風(fēng)險(xiǎn)水平穩(wěn)定．此時(shí)盈余水平降低，分紅自然減少．但是，在初始準(zhǔn)備金比較充裕的情況下，即使隨著相關(guān)系數(shù)的增大面臨的風(fēng)險(xiǎn)在增大，但是由于初始準(zhǔn)備金比較充裕，公司償付能力較強(qiáng)，此時(shí)與準(zhǔn)備金不足時(shí)的保守態(tài)度相反，保險(xiǎn)公司會(huì)積極地增加在風(fēng)險(xiǎn)資本上投資，高風(fēng)險(xiǎn)帶來(lái)的高收益，增加了盈余水平，分紅自然增加．

4.2 γ和ρ對(duì)最優(yōu)再保險(xiǎn)策略1?q?(x)的影響

算例3 設(shè)

我們分別在γ取0、0.2、0.3的情況下，利用matlab軟件得到最優(yōu)比例再保險(xiǎn)策略1?q?(x)的圖像，如圖3所示．

圖3: 最優(yōu)再保策略1?q?(x)與偏離系數(shù)γ之間的關(guān)系

從圖3可以看出：當(dāng)x<1.5時(shí)，最優(yōu)再保策略1?q?(x)是初始財(cái)富x的減函數(shù)．這是因?yàn)槌跏紲?zhǔn)備金越多，償付能力越強(qiáng)，需要通過(guò)再保險(xiǎn)來(lái)分散風(fēng)險(xiǎn)的需求越小；當(dāng)x≥1.5時(shí)，由于分紅的調(diào)節(jié)，盈余水平維持在分紅的邊界，再保險(xiǎn)比例也維持在一個(gè)固定水平上．進(jìn)而，復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)的偏離系數(shù)γ越大，平均索賠尺越大，索賠風(fēng)險(xiǎn)加劇，從而就會(huì)增加再保險(xiǎn)的比例，來(lái)轉(zhuǎn)移增加的索賠風(fēng)險(xiǎn)．

算例4 設(shè)

我們分別在ρ取0.1、0.2、0.3的情況下，利用Matlab軟件得到最優(yōu)比例再保險(xiǎn)策略1?q?(x)的圖像，如圖4所示．

從圖4可以看出：當(dāng)x<1.5時(shí)，最優(yōu)再保策略1?q?(x)是初始財(cái)富x的減函數(shù)；當(dāng)x≥1.5時(shí)，由于分紅的調(diào)節(jié)，盈余水平恒定，最優(yōu)再保比例也維持恒定．進(jìn)一步，當(dāng)保險(xiǎn)收益與資本市場(chǎng)收益的相關(guān)系數(shù)增大時(shí)，面臨的風(fēng)險(xiǎn)上升，再保的比例也會(huì)隨之上升，以達(dá)到轉(zhuǎn)移資本風(fēng)險(xiǎn)的目的．

圖4: 最優(yōu)再保策略1?q?(x)與相關(guān)系數(shù)ρ之間的關(guān)系

4.3 γ和ρ對(duì)最優(yōu)投資策略π?(x)的影響

算例5 設(shè)

我們分別在γ取0、0.3、0.5的情況下，利用matlab軟件得到最優(yōu)投資策略π?(x)的圖像，如圖5所示．

圖5: 最優(yōu)投資策略π?(x)與偏離系數(shù)γ之間的關(guān)系

從圖5可以看出：當(dāng)x<1.5時(shí)，最優(yōu)投資策略π?(x)是初始財(cái)富x的增函數(shù)，這是因?yàn)槌跏紲?zhǔn)備金增大，公司在風(fēng)險(xiǎn)資本上的投資就可以增多，資本收益增加，盈余水平提高，可以盡早的到達(dá)分紅的邊界開(kāi)始分紅；當(dāng)x≥1.5時(shí)，由于分紅機(jī)制的調(diào)節(jié)，保險(xiǎn)公司盈余水平穩(wěn)定，最優(yōu)投資額度也會(huì)維持在一個(gè)固定水平上．進(jìn)一步，當(dāng)x<1.5時(shí)，偏離系數(shù)γ增大，索賠風(fēng)險(xiǎn)加劇，此時(shí)為了提高償付能力，同時(shí)也是為了盡早達(dá)到分紅邊界，保險(xiǎn)公司自然會(huì)通過(guò)增加風(fēng)險(xiǎn)投資的額度來(lái)獲得更多收益，達(dá)到提高盈余水平的目的．但當(dāng)x≥1.5時(shí)，偏離系數(shù)γ增大，雖然索賠風(fēng)險(xiǎn)加劇，但是由于分紅機(jī)制的保障，盈余水平始終維持在分紅邊界，此時(shí)在盈余水平安全的情況下，保險(xiǎn)公司會(huì)減少在風(fēng)險(xiǎn)資本上的投資，以降低資本風(fēng)險(xiǎn)，從而維持整體風(fēng)險(xiǎn)水平穩(wěn)定．

算例6 設(shè)

我們分別在ρ取0、0.3、0.6的情況下，利用matlab軟件得到最優(yōu)投資策略π?(x)的圖像，如圖6所示．

圖6: 最優(yōu)投資策略π?(x)與相關(guān)系數(shù)ρ之間的關(guān)系

從圖6可以看出：當(dāng)x<1.5時(shí)，最優(yōu)投資策略π?(x)是初始財(cái)富x的增函數(shù)．當(dāng)x≥1.5時(shí)，由于分紅機(jī)制調(diào)節(jié)，盈余水平穩(wěn)定，最優(yōu)投資額度也會(huì)維持在一個(gè)固定水平上．進(jìn)而，當(dāng)保險(xiǎn)收益與資本收益的相關(guān)系數(shù)ρ增大時(shí)，面臨的資本風(fēng)險(xiǎn)增大，在初始資本不足、償付能力較弱的情況下，會(huì)減少最優(yōu)投資額度，從而用降低資本風(fēng)險(xiǎn)的辦法來(lái)維持整體風(fēng)險(xiǎn)水平的穩(wěn)定．當(dāng)x≥1.5時(shí)，相關(guān)系數(shù)ρ增大，資本風(fēng)險(xiǎn)增大，但由于此時(shí)盈余水平恒定，保險(xiǎn)公司會(huì)采取一種不同于前者保守態(tài)度的相反措施–積極地增加風(fēng)險(xiǎn)投資，從而獲得更高的資本收益，最終實(shí)現(xiàn)提高分紅的目的．

5 小結(jié)

本文章研究了復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)下保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)模型，在索賠額服從指數(shù)分布的假設(shè)下，探討了最優(yōu)投資–比例再保險(xiǎn)–混合分紅策略問(wèn)題，并運(yùn)用隨機(jī)最優(yōu)控制原理得到了最優(yōu)策略的顯式表達(dá)式．從風(fēng)險(xiǎn)控制的角度看，為了節(jié)省索賠成本或者增強(qiáng)投保人的風(fēng)險(xiǎn)意識(shí)而推出免賠額制度或者無(wú)賠款折扣優(yōu)待制度，但是這樣會(huì)使得索賠的次數(shù)發(fā)生偏離，偏離系數(shù)越大，反而導(dǎo)致分紅的減少，但是可以通過(guò)追加初始準(zhǔn)備金的辦法來(lái)提高分紅．另外，如果選擇的風(fēng)險(xiǎn)資本與保險(xiǎn)收益的相關(guān)系數(shù)比較大，則在初始準(zhǔn)備金不佳的情況下，反而會(huì)降低分紅，但保險(xiǎn)公司可以通過(guò)追加初始資本的方法來(lái)提高分紅；不過(guò)，在初始準(zhǔn)備金比較充裕的情況下，相關(guān)系數(shù)越高反而會(huì)提高分紅．

實(shí)際中，賠償限額約束不僅會(huì)引起索賠過(guò)程的偏離，也會(huì)引起索賠額分布的“截頭(尾)”情況，如何刻畫(huà)索賠額的偏離是一個(gè)有待解決的問(wèn)題．另外超額損失再保險(xiǎn)和線(xiàn)性有界分紅策略也是保險(xiǎn)公司的常用策略，探討復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程下該問(wèn)題的求解則是一個(gè)值得研究的問(wèn)題．

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