一類(lèi)具多比例時(shí)滯遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局指數(shù)穩(wěn)定性?

趙 寧,周立群

(天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387)

1 引言

近些年來(lái)，時(shí)滯遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在信號(hào)處理、聯(lián)想記憶、優(yōu)化與控制、人工智能等諸多領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用．在這些應(yīng)用中，一般都要求網(wǎng)絡(luò)的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，因此，時(shí)滯遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的各種穩(wěn)定性得到了廣泛的研究[1-5]．文獻(xiàn)[1,2]分別利用壓縮映射原理、Banach空間和基于重合度基礎(chǔ)的連續(xù)性定理，研究了具時(shí)變時(shí)滯的細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的完全穩(wěn)定性和全局指數(shù)穩(wěn)定性．文獻(xiàn)[3,4]通過(guò)Lyapunov-K rasovskii函數(shù)法、Young不等式和線(xiàn)性矩陣不等式法(LIM)，研究了具分布時(shí)滯與可變時(shí)滯的遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局指數(shù)穩(wěn)定性與全局漸進(jìn)穩(wěn)定性．文獻(xiàn)[5]在沒(méi)有假定激勵(lì)函數(shù)有界可微的情況下，得到了一類(lèi)時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)平衡點(diǎn)的存在唯一且全局指數(shù)穩(wěn)定的充分判據(jù)．

比例時(shí)滯是一種客觀存在的無(wú)界時(shí)變時(shí)滯，具比例時(shí)滯的遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為一種重要的數(shù)學(xué)模型，在物理、生理、生物學(xué)、電子與計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用．但是過(guò)去對(duì)該網(wǎng)絡(luò)的研究相對(duì)較少[6-13]，文獻(xiàn)[6]運(yùn)用內(nèi)積性質(zhì)和矩陣?yán)碚摰玫搅艘活?lèi)具比例時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全局散逸性的判定依據(jù)．文獻(xiàn)[7,8]通過(guò)運(yùn)用非線(xiàn)性測(cè)度方法以及Lyapunov函數(shù)法研究了一類(lèi)具多比例時(shí)滯細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)穩(wěn)定性．文獻(xiàn)[9,10]通過(guò)應(yīng)用矩陣譜半徑理論與Barbalat引理和構(gòu)造合適的Lyapunov泛函，獲得了具比例時(shí)滯遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局漸近穩(wěn)定性的新判據(jù)．文獻(xiàn)[11]通過(guò)Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理和不等式技巧構(gòu)造了擬Halanay型不等式系統(tǒng)，獲得了保證具比例時(shí)滯雙向聯(lián)想記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全局指數(shù)穩(wěn)定性時(shí)滯獨(dú)立的充分條件．文獻(xiàn)[12,13]分別通過(guò)矩陣范數(shù)性質(zhì)與構(gòu)造合適的Lyapunov泛函，研究具比例時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局指數(shù)穩(wěn)定性問(wèn)題．受文獻(xiàn)[5]研究方法的啟發(fā)，本文對(duì)一類(lèi)具多比例時(shí)滯的遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局指數(shù)穩(wěn)定性進(jìn)行研究．本文不是通過(guò)構(gòu)造合適的Lyapunov泛函，而是通過(guò)應(yīng)用M-矩陣的性質(zhì)和時(shí)滯微分不等式技巧，得到了保證一類(lèi)具多比例時(shí)滯的遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)平衡點(diǎn)的存在唯一且全局指數(shù)穩(wěn)定的時(shí)滯無(wú)關(guān)的充分條件，該條件驗(yàn)證簡(jiǎn)單，便于應(yīng)用．

2 數(shù)學(xué)模型及預(yù)備知識(shí)

本文的符號(hào)說(shuō)明如下：

|x|表示向量x的絕對(duì)值，表示向量x的范數(shù)，表示矩陣A的絕對(duì)值，表示矩陣A的范數(shù)，其中λmax(ATA)表示ATA的最大特征值，C([min{p,q},1],R)表示從[min{p,q},1]到R上的所有連續(xù)函數(shù)的全體，C([?r,0],R)表示從[?r,0]到R上的所有連續(xù)函數(shù)的全體．

本文研究如下一類(lèi)具多比例時(shí)滯的遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

其中ui(t)表示第i個(gè)神經(jīng)元在t時(shí)刻的狀態(tài)變量，i=1,2,···,n，n表示網(wǎng)絡(luò)中神經(jīng)元的個(gè)數(shù)；di表示在與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不連通且無(wú)外部附加電壓差的情況下，第i個(gè)神經(jīng)元恢復(fù)獨(dú)立靜息狀態(tài)的速率函數(shù)；A=(aij)n×n,B=(bij)n×n和C=(cij)n×n是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的連接權(quán)值矩陣；fj,gj,hj表示神經(jīng)元的激勵(lì)函數(shù)；pj,qj是比例時(shí)滯因子，且滿(mǎn)足

其中(1?pj)t和(1?qj)t是信號(hào)傳輸時(shí)滯函數(shù)，當(dāng)t→+∞時(shí)，有(1?pj)t→+∞和(1?qj)t→ +∞，因此，式(1)的時(shí)滯項(xiàng)是無(wú)界時(shí)滯函數(shù)；I=(I1,I2,···,In)T是輸入常向量；ui(s)=φi(s),s∈[min{p,q},1]表示系統(tǒng)(1)的初始狀態(tài)函數(shù)，

作變換

由式(1)知，變換應(yīng)滿(mǎn)足et≥1，此時(shí)t≥0，易知

由式(2)可知

這里

將式(2),(4)和(5)代入式(1)得

將式(6)代入式(3)得

綜上所述，系統(tǒng)(1)可等價(jià)變換為如下變系數(shù)常時(shí)滯的遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(詳見(jiàn)文獻(xiàn)[8])

其中

并且令x(t)=(x1(t),x2(t),···,xn(t))T∈Rn表示神經(jīng)元的狀態(tài)向量，Rn表示n維歐幾里得空間，ψ(s)=(ψ1(s),ψ2(s),···,ψn(s))T, ψi(s)= φi(es),i=1,2,···,n, ψi(s)∈C([?r,0],R)．

注1 易證系統(tǒng)(1)與系統(tǒng)(7)具有相同的平衡點(diǎn)，所以只要能夠證明系統(tǒng)(7)平衡點(diǎn)的存在性、唯一性與全局指數(shù)穩(wěn)定性，即證明了系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)的存在性、唯一性與全局指數(shù)穩(wěn)定性．

假定di和函數(shù)fj,gj,hj分別滿(mǎn)足以下條件：

(H1):di在R上連續(xù)，且對(duì)任意的u,v，滿(mǎn)足

(H2): 對(duì)于任意j∈{1,2,···,n},fj,gj,hj:R →R是全局Lipschitz函數(shù)，即存在Lipschitz常數(shù)Lj,mj,Nj>0，使得對(duì)任意的u,v，滿(mǎn)足

記

定義1[5]X和Y是拓?fù)淇臻g，映射f:X→Y稱(chēng)為同胚映射，若f具有下列性質(zhì)：

1) f是雙射； 2) f是連續(xù)的； 3) 反函數(shù)f?1也是連續(xù)的．

定義2[5]實(shí)矩陣A=(aij)n×n若滿(mǎn)足條件：當(dāng)i=j時(shí)，aij>0；當(dāng)i?=j時(shí)，aij≤0,i,j=1,2,···,n，且所有主子式都是正的，則稱(chēng)矩陣A是M-矩陣．

定義3[12]系統(tǒng)(7)的平衡點(diǎn)x?是全局指數(shù)穩(wěn)定的，如果存在常數(shù)λ>0和m≥1，使得

其中

引理1[5]對(duì)于A∈Rn×n，如下各條件是等價(jià)的：

1)A為M-矩陣；

2) A的所有特征根的實(shí)部是正的；

3) A是可逆的，且A?1≥0，表示A?1為非負(fù)矩陣；

4) 存在一個(gè)向量β>0，使得Aβ>0；

5) 存在正定對(duì)角矩陣Q，使得QA+ATQ是正定的．

引理2[5]如果函數(shù)F(x)是連續(xù)的，且滿(mǎn)足以下條件，則函數(shù)F(x)是Rn上的同胚映射：

1) F(x)是Rn上的單射； 2)

引理3(Cauchy-Schwartz不等式) 已知ai,bi,i=1,2,···,n為實(shí)數(shù)，有

等式成立的充分必要條件是ai=λbi,i=1,2,···,n，其中λ為常數(shù)．

3 主要結(jié)果

首先證明系統(tǒng)(7)的平衡點(diǎn)的存在唯一性．

設(shè)是系統(tǒng)(7)的平衡點(diǎn)，則有

根據(jù)式(8)設(shè)非線(xiàn)性映射為

其中

g(x),h(x)同理，即F(x)=0的解是系統(tǒng)(7)的平衡點(diǎn)．

如果可以證明映射F(x)為Rn上的一個(gè)同胚，根據(jù)定義1可知，F(xiàn)(x)是一個(gè)滿(mǎn)射，即一定存在一個(gè)點(diǎn)；同時(shí)F(x)又是一個(gè)單射，說(shuō)明只存在唯一的點(diǎn)x?，滿(mǎn)足F(x?)=0，由此就可以證明系統(tǒng)(7)平衡點(diǎn)的存在性與唯一性．

定理1 如果(H1)和(H2)成立，且D?|A|L?|B|M?|C|N是M-矩陣，則系統(tǒng)(7)存在唯一的平衡點(diǎn)．

證明 由(H1)和(H2)可知F(x)在Rn上是連續(xù)的，下面將根據(jù)引理2，分兩步證明F(x)是一個(gè)同胚映射．

1) 證明F(x)是Rn上的單射．

利用反證法，假設(shè)存在x,y∈Rn,x?=y，使得F(x)=F(y)，根據(jù)(H1),(H2)和式(9)，有

由于F(x)=F(y)，則|F(x)?F(y)|=0，若上式成立，必有

因?yàn)镈?|A|L?|B|M?|C|N是一個(gè)M-矩陣，根據(jù)引理1知

則有

又因?yàn)閤?=y，所以|x?y|>0，與上式矛盾．

因此，不存在x,y∈Rn,x?=y，使得F(x)=F(y)，即映射F(x)是Rn上的單射．

因?yàn)镈?|A|L?|B|M?|C|N是M-矩陣，根據(jù)引理1知一定存在一個(gè)正定對(duì)角矩陣Q=diag(Q1,Q2,···,Qn)，使得

由于非正定矩陣的轉(zhuǎn)置也是非正定的，兩者的和非正定，所以

由上式可知，必存在一個(gè)充分小的正數(shù)ε，使得

其中En為單位矩陣．

由引理3可得

綜上，根據(jù)引理2可知，對(duì)于任意的x，映射F(x)是Rn上的一個(gè)同胚，因此系統(tǒng)(7)存在唯一的平衡點(diǎn)．

定理2 如果(H1)和(H2)成立，且D?|A|L?|B|M?|C|N是M-矩陣，則系統(tǒng)(7)存在唯一的平衡點(diǎn)，該平衡點(diǎn)是全局指數(shù)穩(wěn)定的．

證明 由定理1知系統(tǒng)(7)存在唯一的平衡點(diǎn)x?．令y(t)=x(t)?x?，可將系統(tǒng)(7)改寫(xiě)為

其中

且仍然滿(mǎn)足(H1)和(H2)．

根據(jù)系統(tǒng)(7)的初始狀態(tài)xi(s)=ψi(s)可知系統(tǒng)(11)的初始狀態(tài)為

由于D?|A|L?|B|M?|C|N是一個(gè)M-矩陣，根據(jù)引理1可知，存在一個(gè)向量β=(β1,β2,···,βn)T>0，使得(D ? |A|L ? |B|m? |C|N)β >0，即存在βi>0,i=1,2,···,n，使得

構(gòu)造函數(shù)

易知

因?yàn)镾i(μ)關(guān)于μ在[0,+∞)上連續(xù)，且當(dāng)μ→ +∞時(shí)，Si(μ)→ +∞．因此存在常數(shù)?μ∈(0,+∞)，使得

得到

這里我們斷言

如果式(15)不成立，由式(14)的不等式關(guān)系知存在t1>0和某個(gè)i，使得

其中?r≤ t≤ t1,j=1,2,···,n．

另一方面將式(16)帶入式(13)，利用式(12)可以得到

式(17)與式(16)矛盾，所以對(duì)t≥0，有zi(t)<βil0,i=1,2,···,n．因此可以得到

所以

當(dāng)δ→ 0+,βi= βj,i,j=1,2,···,n時(shí)，m→ 1，則有

根據(jù)定義3可知系統(tǒng)(7)的平衡點(diǎn)x?是全局指數(shù)穩(wěn)定的，從而系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)也是全局指數(shù)穩(wěn)定的．

注2 本文所得的定理2與文獻(xiàn)[5]中的定理2是相似的，但本文研究的模型與文獻(xiàn)[5]的模型不同，本文是針對(duì)一類(lèi)具多比例時(shí)滯遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，而文獻(xiàn)[5]研究的是包含分布時(shí)滯和可變時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其結(jié)論不能直接應(yīng)用于多比例時(shí)滯遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)．

注3 在系統(tǒng)(1)中，如果pj=qj=1,j=1,2,···,n，系統(tǒng)(1)就是無(wú)時(shí)滯的遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，本文所得結(jié)論也適用于無(wú)時(shí)滯的遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)．

注4 在實(shí)踐中，根據(jù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及制作材料的不同，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中引進(jìn)比例時(shí)滯是合理的．已知比例時(shí)滯因子q的大小與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)所能允許的最大時(shí)滯，就可以方便的控制網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)行時(shí)間．

4 數(shù)值算例及仿真

例1 考慮如下神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

其中d1(u1)=4u1,d2(u2)=3u2，激勵(lì)函數(shù)取為

顯然di(ui),i=1,2滿(mǎn)足(H1)且D1=4,D2=3；fi,gi,hi,i=1,2是Lipschitz連續(xù)的滿(mǎn)足(H2)，且Lipschitz常數(shù)為

經(jīng)計(jì)算可得

由定義2可知D?|A|L?|B|M?|C|N為M-矩陣，根據(jù)定理2可判斷該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)存在唯一的平衡點(diǎn)，是(0,0)T，且平衡點(diǎn)是全局指數(shù)穩(wěn)定的，見(jiàn)仿真圖1．

圖1: 系統(tǒng)(18)平衡點(diǎn)的全局指數(shù)穩(wěn)定性

容易驗(yàn)證若

則有

因?yàn)?/p>

所以若式(19)成立，必有σ<1，顯然不滿(mǎn)足文獻(xiàn)[13]中的定理2.1與推論2.1，于是文獻(xiàn)[13]中的判定標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于系統(tǒng)(18)是不適用的，無(wú)法判斷其是否具有全局指數(shù)穩(wěn)定性，從而說(shuō)明本文所得的判定標(biāo)準(zhǔn)具有較低保守性．

5 結(jié)論

本文利用M-矩陣的性質(zhì)結(jié)合拓?fù)鋵W(xué)同胚映射的相關(guān)知識(shí)，應(yīng)用時(shí)滯微分不等式技巧通過(guò)求右導(dǎo)數(shù)建立了不等式系統(tǒng)，克服了Lyapunov方法中構(gòu)建合適的Lyapunov函數(shù)的困難，最終得到了一類(lèi)具多比例時(shí)滯遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)平衡點(diǎn)的存在性、唯一性與全局指數(shù)穩(wěn)定性時(shí)滯無(wú)關(guān)的充分判據(jù)．同時(shí)這種方法還可以用于研究其他類(lèi)型遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的平衡點(diǎn)的全局指數(shù)穩(wěn)定性．

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