Heston模型下保險公司與再保險公司的博弈?

王愫新,榮喜民,趙 慧

(天津大學(xué)理學(xué)院，天津 300072)

1 引言

再保險是保險公司規(guī)避風(fēng)險和提高競爭力的重要手段．保險公司把其承擔(dān)的保險業(yè)務(wù)，以再保險的形式，通過繳納再保險費用，部分轉(zhuǎn)移給其他保險公司，從而達(dá)到分散風(fēng)險、控制損失、穩(wěn)定經(jīng)營的目的，是風(fēng)險管理的重要手段，也是整個保險體系中非常重要的一個環(huán)節(jié)．

保險公司的核心問題是風(fēng)險管理與控制，即對保險公司盈余進(jìn)行管理與控制．將保險精算問題與組合投資問題結(jié)合在一起進(jìn)行研究，是一類極具理論研究價值的特殊的組合投資問題．因為保險公司不僅關(guān)注投資的風(fēng)險和收益，還受制于承保的風(fēng)險，要確保能夠及時支付參保人的索賠，所以保險公司的投資與再保險問題近年來引起了大量關(guān)注．Browne[1]用帶漂移的幾何布朗運動模型來模擬保險公司的盈余過程，最早研究了指數(shù)效用函數(shù)下以及破產(chǎn)概率最小化目標(biāo)下的最優(yōu)投資策略．Yang和Zhang[2]考慮跳–擴散模型下的最優(yōu)投資問題．Wang等[3]利用鞅方法探討了保險公司在不同效用函數(shù)下的封閉形式的策略．Bai和Guo[4]考慮了擴散風(fēng)險模型下投資于多種風(fēng)險資產(chǎn)的最優(yōu)投資策略．同時，許多文獻(xiàn)也從不同角度研究了再保險問題．Kaluszka[5]考慮了均值–方差模型下的最優(yōu)再保險策略．H?jgaard和Taksar[6]研究了擴散風(fēng)險模型下最大化收益函數(shù)的最優(yōu)比例再保險問題，得到了最優(yōu)策略和值函數(shù)的近似表達(dá)式．Hipp和Plum[7]研究了經(jīng)典風(fēng)險模型下使保險公司破產(chǎn)概率最小化的投資策略．Cao和Wan[8]在擴散風(fēng)險模型下，得到了使終端財富的指數(shù)效用最大的投資和再保險策略．Zhang等[9]考慮了含交易費用的投資和再保險問題．

然而，上述模型一般假設(shè)風(fēng)險資產(chǎn)的價格過程服從幾何布朗運動模型．但大量研究表明，實證結(jié)果不支持幾何布朗運動模型，即風(fēng)險資產(chǎn)價格的波動是確定性的假設(shè)，而帶有隨機波動的模型更加符合實際．因此，許多文獻(xiàn)提出了各種隨機波動模型，例如均值回復(fù)模型、Stein-Stein模型、Heston模型以及CEV模型．Gu等[10]研究了CEV模型下保險公司的最優(yōu)超額損失再保險問題．Li等[11]在Heston模型下得到了時間一致的最優(yōu)再保險和投資策略．Zhao等[12]在跳–擴散模型下考慮了保險公司的最優(yōu)超額損失再保險和投資問題，其中風(fēng)險資產(chǎn)的價格過程服從Heston模型．實際上，Heston模型是經(jīng)典的隨機波動模型．本文我們將研究Heston模型下指數(shù)效用最大化目標(biāo)下的最優(yōu)投資和比例再保險策略．

以上再保險投資的研究都是僅考慮保險公司的利益，而忽略了再保險公司的收益和風(fēng)險．為了改進(jìn)現(xiàn)有研究的不足，本文將同時考慮保險公司和再保險公司的利益．本文假設(shè)保險公司可將資產(chǎn)投資于一種無風(fēng)險資產(chǎn)和一種服從Heston模型的風(fēng)險資產(chǎn)，并購買再保險；同時再保險公司也可以在金融市場中進(jìn)行投資．應(yīng)用擴散風(fēng)險模型來描述保險公司的盈余，研究使最終財富的指數(shù)效用期望最大的最優(yōu)投資和比例再保險策略．根據(jù)隨機最優(yōu)控制理論，我們分別建立了保險公司和再保險公司最優(yōu)問題的HJB方程，并得到保險公司與再保險公司的最優(yōu)投資和再保險策略的解析解，分析了使保險公司和再保險公司都滿意的再保險策略需滿足的條件．最后給出數(shù)值實例，分析了模型參數(shù)對最優(yōu)再保險策略的影響．

2 數(shù)理模型

2.1 保險公司的財富過程

根據(jù)Prom islow和Young[13]，由帶漂移的幾何布朗運動模型，保險公司的賠付過程可以由擴散過程來逼近，假設(shè)保險公司的賠付過程滿足

其中a>0表示索賠率，b>0表示賠付過程的波動率，是標(biāo)準(zhǔn)布朗運動．假設(shè)保費費率c0=(1+η)a，安全負(fù)荷η>0．保險公司可以購買一定比例的再保險來分散風(fēng)險，q1(t)表示t時刻購買再保險的比例，保險公司所支付的再保險費率為c1=(1+θ)aq1(t)，其中θ是再保險公司的安全負(fù)荷且θ>η>0．θ越大，再保險費率就越高．根據(jù)(1)式，購買比例再保險后，保險公司的盈余過程可以表示為

除了進(jìn)行再保險，假設(shè)保險公司可以投資于金融市場上的兩種資產(chǎn)：無風(fēng)險資產(chǎn)(債券或銀行賬戶)和風(fēng)險資產(chǎn)(股票或基金)．

S0表示無風(fēng)險資產(chǎn)的價格過程，滿足方程

其中r>0是無風(fēng)險收益率．

設(shè)風(fēng)險資產(chǎn)價格S(t)服從Heston模型

其中v,α,δ,σ是正常數(shù)，{W1(t)},{W2(t)}為定義在概率空間(?,F,P)上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，E(W1(t)W2(t))=ρt,2αδ≥σ2，見參考文獻(xiàn)[14]．且,{W2(t)}獨立．

我們用一個隨機過程α1(t)=(q1(t),π1(t))來描述策略α1，其中q1(t)表示t時刻的再保險比例，π1(t)表示保險公司在t時刻投資于風(fēng)險資產(chǎn)上的金額，則X(t)?π1(t)表示t時刻投資于無風(fēng)險資產(chǎn)上的金額．給定一個投資與再保險策略，則保險公司的財富過程為X(t)，其需滿足

定義1是完備概率空間，其中由{X(t)}生成，則再保險–投資策略(q1(t),π1(t))稱為可行策略，若：

1)(q1(t),π1(t))是循序可測的，且當(dāng)T<∞時，滿足

2)對任意的(x,l)∈R×R+,X(t)=x,L(t)=l，(4)式有唯一解{X(s)}s∈[t,T]．

記為保險公司所有可行策略的集合．

2.2 再保險公司的財富過程

類似于保險公司的財富模型，可以得到再保險公司的財富過程，其中再保險公司的保費費率c1=(1+θ)aq2(t)，再保險公司的賠付過程為

假設(shè)π2(t)表示再保險公司在t時刻投資于的風(fēng)險資產(chǎn)上的金額，則X(t)?π2(t)表示t時刻投資于無風(fēng)險資產(chǎn)上的金額．可以得到再保險公司的財富過程

定義2是完備概率空間，由{X(t)}生成．策略(q2(t),π2(t))稱為可行的，若：

1)(q2(t),π2(t))是循序可測的，且當(dāng)T<∞時，滿足

2)對任意的(x,l)∈R×R+,X(t)=x,L(t)=l，(5)式有唯一解{X(s)}s∈[t,T]．

記再保險公司所有可行策略的集合為．

投資者(無論是保險公司還是再保險公司)都希望終端財富最大化，即投資者期望找到一個最優(yōu)的投資策略α?，使得T時刻財富值的期望效用達(dá)到最大．因此，投資者的目標(biāo)函數(shù)為，其中T表示終止時刻，u(·)表示效用函數(shù)，E[u(·)]表示效用函數(shù)的期望．

我們的目標(biāo)是找到使得投資者終端財富期望效用最大化的策略．

3 模型求解

效用函數(shù)u(x)是增函數(shù)，并且是一個凹函數(shù)(u′>0,u′′<0)．故存在唯一的最優(yōu)投資策略使得期望效用的終值達(dá)到最大．對于策略α，定義t時刻在狀態(tài)x下投資者終端財富的條件期望效用為

為使財富最大化，考慮如下最優(yōu)問題，即價值函數(shù)

以及最優(yōu)策略(q?(t),π?(t))，使得Vα?(t,x,l)=V(t,x,l)．

3.1 保險公司最優(yōu)策略

假設(shè)投資者的效用函數(shù)u(·)為指數(shù)效用函數(shù)，即

為解決上述問題，本文參考了Flem ing和Soner[15]的方法．如果價值函數(shù)H及其偏導(dǎo)數(shù)在上連續(xù)，那么H滿足如下的HJB方程

假設(shè)V(t,x,l)是方程(8)的一個解，滿足Vx>0,Vxx<0．根據(jù)(7)，我們假設(shè)V(t,x,l)有如下形式

且h1(T)=1,f1(T)=0,g1(T)=0，則有

將上式帶入(8)中，得

對π1和q1求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為0，得

將(11),(12)帶入(10)式，得

為了解決(13)，將上式關(guān)于x,l分解為三個等式

由邊界條件，解得

其中

根據(jù)假設(shè)條件，即

得到

定義

下面將根據(jù)兩種不同情況討論最優(yōu)策略的問題．

情形1若，有t0>T．那么對于0≤t≤T，有，即最優(yōu)策略

對應(yīng)的價值函數(shù)

情形21)若，有t0≤T．

當(dāng)0≤t

解得

最優(yōu)策略為

將在后面確定．

2)當(dāng)t0≤t

將

帶入上式，得

關(guān)于x,l分解為三個等式

解得

最優(yōu)策略為

由上述求解過程，得

下面求解．

由V(t,x,l)在t=t0處連續(xù)，可以解得

因此，可以得到

定理1保險公司的價值函數(shù)V(t,x,l)以及在Heston模型下對應(yīng)的最優(yōu)再保險和投資策略如下：

1)若，則

2)若，則

3.2 再保險公司最優(yōu)策略

假設(shè)再保險公司的效用函數(shù)u(·)為指數(shù)效用函數(shù)，即

類似于上述求解過程，再保險公司的價值函數(shù)滿足如下的HJB方程

假設(shè)V(t,x,l)是HJB方程(22)的一個解，滿足Vx>0,Vxx<0．假設(shè)V(t,x,l)有如下形式

帶入(22)，得

對π2和q2求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為0，得最優(yōu)策略

將(24),(25)帶入(23)式，得

將上式關(guān)于x,l分解為三個等式

解得

根據(jù)假設(shè)，即

下面將根據(jù)兩種不同情況討論最優(yōu)策略的問題．

情形1若，有t0>T，那么對于0≤t≤T，有，即最優(yōu)策略

對應(yīng)的價值函數(shù)

情形21)若，有t0≤T．

當(dāng)0≤t

解得

最優(yōu)策略為

2)當(dāng)t0≤t

將上式關(guān)于x,l分解為三個等式

解得

最優(yōu)策略

由上述求解過程，得

由V在t=t0處的連續(xù)性，有

解得

從而可以得到

定理2再保險公司的價值函數(shù)V(t,x,l)以及在Heston模型下對應(yīng)的最優(yōu)再保險和投資策略如下：

1)若，則

2)若，則

4 經(jīng)濟(jì)分析與數(shù)值實例

在實際金融市場中存在多家保險公司和再保險公司，在模型中簡化為只有兩個局中人：保險公司和再保險公司．這種假設(shè)與實際觀察到的當(dāng)事人的行為一致，同時也為了研究問題的方便．

4.1 兩個最優(yōu)再保險策略的比較

再保險比例的確定應(yīng)該考慮保險公司和再保險公司各自的利益．因此，公平的再保險合同應(yīng)是在保險公司與再保險公司各自效用最大化前提下進(jìn)行博弈、妥協(xié)，形成雙方都可接受的再保險協(xié)議．假設(shè)保險公司和再保險公司對風(fēng)險標(biāo)資產(chǎn)的損失額的大小都有完全信息，存在共同認(rèn)識，根據(jù)保險公司和再保險公司的財富過程，得到兩公司的最優(yōu)再保險比例，通過比較和分析二者的最優(yōu)策略，可體現(xiàn)保險公司與再保險公司的博弈過程．

為了便于后面的討論，我們將根據(jù)保險公司計算得到的最優(yōu)再保險比例記為，將再保險公司的最優(yōu)再保險比例記為．本文就三種情況進(jìn)行研究．

對于以指數(shù)效用函數(shù)作為其效用函數(shù)的保險公司和再保險公司而言，在考慮無風(fēng)險資產(chǎn)，風(fēng)險資產(chǎn)的投資以及再保險過程情況下，可以看到：

1)當(dāng)時，也即

時，保險公司與再保險公司的期望效用同時達(dá)到最大，即雙方的利益均達(dá)到最大化，再保險公司有能力承保保險公司的風(fēng)險，此時比例再保險合同成立．

2)當(dāng)時，即

時，此時保險公司的最優(yōu)再保險比例小于再保險公司的最優(yōu)再保險比例，保險公司的最優(yōu)策略相對保守，只愿意分擔(dān)比例的再保險，而再保險公司的最優(yōu)策略相對激進(jìn)，愿意接受更大比例的再保險，再保險合同難以簽署．

3)當(dāng)時，即

時，在這種情況下，保險公司希望將更多的風(fēng)險分散給再保險公司，而從再保險公司的角度來看，再保險公司只愿意接受比例的再保險，因此，保險公司應(yīng)在金融市場中尋找其他的再保險公司，將比例的再保險進(jìn)行分保，將風(fēng)險分散給多家再保險公司．

4.2 外生變量對的影響

以下考慮各變量對的影響時，均假設(shè)其他變量取固定值．

1)索賠率a對的影響

由表達(dá)式得到

a與的改變方向相反．假設(shè)參數(shù)為r=0.05,θ=0.2,b=1,T=20,k1=k2=0.5，令索賠率a變化，得到最優(yōu)再保險策略關(guān)于a變化的圖像，如圖1．

從圖1可以發(fā)現(xiàn)，保險公司的最優(yōu)再保險比例隨著索賠率a的增加而減小，而再保險公司愿意接受的再保險比例將增大．事實上，索賠率的增加將導(dǎo)致更昂貴的再保險費用，所以為了減少支出，保險公司將減少用于購買再保險的資金．而對于再保險公司來說，由于再保險保費隨a的增加而增大，所以其愿意接受的最優(yōu)再保險比例增大．

2)再保險公司安全負(fù)荷θ對的影響

假設(shè)參數(shù)為r=0.05,a=4,b=1,T=20,k1=k2=0.5，令安全負(fù)荷θ變化，得到最優(yōu)再保險策略關(guān)于θ變化的圖像，如圖2．

從圖2可以看出，安全負(fù)荷θ越大，表明所需再保險的成本越高，因而保險公司選擇減小再保險比例．而對再保險公司而言，θ越大說明其所收的再保險保費越高，因而其最優(yōu)再保險比例隨著θ的增加而上升．當(dāng)

時，雙方均達(dá)到最優(yōu)狀態(tài)，再保險合同成立．

圖1:索賠率a對最優(yōu)再保險策略的影響

圖2:再保險公司的安全負(fù)荷θ對最優(yōu)再保險策略的影響

3)風(fēng)險厭惡系數(shù)k對的影響

是風(fēng)險厭惡度量指標(biāo)，k越大，表示風(fēng)險厭惡程度越大，因此保險公司和再保險公司的風(fēng)險偏好也決定著再保險比例．假設(shè)參數(shù)為r=0.05,a=4,b=1,T=20,θ=0.2，令風(fēng)險厭惡系數(shù)k變化，得到最優(yōu)再保險策略關(guān)于k變化的圖像，如圖3．

從圖3可以看出，保險公司的風(fēng)險厭惡程度k越大，其選擇的再保險比例也越大．同樣由可知，再保險公司的風(fēng)險厭惡系數(shù)k越大，它愿意接受的再保險比例越小，這也與實際相符．

4)風(fēng)險波動率b對的影響

假設(shè)參數(shù)為r=0.05,a=4,k1=k2=0.5,T=20,θ=0.2，令風(fēng)險波動率b變化，得到最優(yōu)再保險策略關(guān)于b關(guān)于變化的圖像，如圖4．

圖3: 風(fēng)險厭惡系數(shù)k對最優(yōu)再保險策略的影響

圖4: 風(fēng)險波動率b對最優(yōu)再保險策略的影響

從圖4我們可以看出，關(guān)于b單調(diào)遞增，這是由于風(fēng)險波動率b越大，風(fēng)險的波動幅度大，保險公司面臨的承保風(fēng)險不確定性增大．為了控制風(fēng)險，保險公司將增加再保險比例．風(fēng)險波動率b越大也意味著再保險公司面臨的風(fēng)險增加，其愿意接受的再保險比例將減?。?/p>

參考文獻(xiàn)：

[1]Browne S.Optimal investment policies for a firm with a random risk process:exponential utility and minimizing the probability of ruin[J].Mathematics of Operations Research,1995,20(4):937-958

[2]Yang H L,Zhang L H.Optimal investment for insurer with jump-diffusion risk process[J].Insurance:Mathematics and Economics,2005,37(3):615-634

[3]Wang Z W,Xia J M,Zhang L H.Optimal investment for an insurer:the martingale approach[J].Insurance:Mathematics and Economics,2007,40(2):322-334

[4]Bai L H,Guo J Y.Optimal proportional reinsurance and investment with multiple risky assets and noshorting constraint[J].Insurance:Mathematics and Economics,2008,42(3):968-975

[5]Kaluszka M.Optimal reinsurance under mean-variance premium principles[J].Insurance:Mathematics and Economics,2001,28(1):61-67

[6]H?jgaard B,Taksar M.Optimal proportional reinsurance policies for diffusion models with transaction costs[J].Insurance:Mathematics and Economics,1998,22(1):41-51

[7]Hipp C,Plum M.Optimal investment for insurers[J].Insurance:Mathematics and Economics,2000,27(2):215-228

[8]Cao Y S,Wan N Q.Optimal proportional reinsurance and investment based on Hamilton-Jacobi-Bellman equation[J].Insurance:Mathematics and Economics,2009,45(2):157-162

[9]Zhang X L,Zhang K C,Yu X J.Optimal proportional reinsurance and investment with transaction costs,I:maximizing the terminal wealth[J].Insurance:Mathematics and Economics,2009,44(3):473-478

[10]Gu A L,Guo X P,Li Z F,et al.Optimal control of excess-of-loss reinsurance and investment for insurers under a CEV model[J].Insurance:Mathematics and Economics,2012,51(3):674-684

[11]Li Z F,Zeng Y,Lai Y Z.Optimal time-consistent investment and reinsurance strategies for insurers under Heston’s SV model[J].Insurance:Mathematics and Economics,2012,51(1):191-203

[12]Zhao H,Rong X M,Zhao Y G.Optimal excess-of-loss reinsurance and investment problem for an insurer with jump-diffusion risk process under the Heston model[J].Insurance:Mathematics and Economics,2013,53(3):504-514

[13]Promislow D S,Young V R.Minimizing the probability of ruin when claims follow Brownian motion with drift[J].North American Actuarial Journal,2005,9(3):110-128

[14]Cox J C,Ingersoll J E,Ross S A.A theory of the term structure of interest rates[J].Econometrica:Journal of the Econometric Society,1985,53(2):385-407

[15]Fleming W H,Soner H M.Controlled Markov Processes and Viscosity Solutions[M].New York:Springer,1993