包絡理論在一類初值問題中的應用

張艷妮

(吉林建筑大學城建學院，吉林長春 130112)

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包絡理論在一類初值問題中的應用

張艷妮

(吉林建筑大學城建學院，吉林長春 130112)

[摘要]本文利用包絡理論研究一類一階常微分方程初值問題，得到了一致有效的漸近展開式，結果表明利用這種方法和其它研究所得結論是一致的。

[關鍵詞]包絡理論；奇異攝動；包絡方程

考慮如下一階常微分方程初值問題

(1)

其中，ε>0是小參數(shù)，A是可對角化的復矩陣，F(xiàn)是關于y的向量值多項式函數(shù).文獻[2]利用重正化群方法，以及伸縮坐標法和多重尺度法給出了上述奇攝動問題的一致有效的漸近解，本文利用包絡理論[1]研究該攝動問題的漸近解.

不失一般性，設A已是可對形式，即A=diag(λ1，λ2，…λn).由于F是關于y的向量值多項式函數(shù)，可將F(y)寫為：

(2)

設(1)的解有如下展開式：

yε(t)=y0+εy1+ε2y2+….

(3)

將(3)代入(1)，并比較等式兩端ε0和ε1的系數(shù)，得到

(4)

(5)

解(4)得到

y0(t)=e-tAu(t0).

(6)

其中，u(t0)是常向量，由初值條件確定.將(6)代入(5)，利用常數(shù)變易公式，得到

其中，v(t0)是常向量.

由此，初值問題(1)的解的一階近似為

(7)

不失一般性，可取(7)中的v(t0)=0，因此

(8)

注意到(8)中含有長期項，為了得到(1)的一致有效解，首先將(8)中長期項分離出來.

于是，展開式(8)化為

(9)

顯然，R(u0)(t-t0)是長期項.

由(9)可知，y(t)是方程(1)的直到O(ε2)的解，但是只在t=t0附近有效，下面用包絡理論消去(9)中的長期項.注意到y(tǒng)(t)可看作是以t0為參數(shù)的函數(shù)，從而得到一族解曲線{Ct0}t0.由文獻[1]，首先來構建曲線族{Ct0}t0的包絡曲線E的函數(shù)yE(t)，由于曲線族{Ct0}t0的包絡曲線E與t=t0附近的每一個局部解都是相切的，因此，包絡函數(shù)yE(t)與y(t)重合，即yE(t)=y(t).

(10)

由包絡方程

則

(11)

式(11)實際上就是文獻[2]中的重正化群方程.假設u(t0)是(11)滿足初值條件u(t0)=u0的解，并令t0=t，即得到初值問題(1)的一階一致有效的漸近展開式

通過對比發(fā)現(xiàn)，本文所得到的結果與文獻[2]是一致的.

[參考文獻]

[1]張艷妮.利用經(jīng)典包絡理論求曲線和曲面的包絡[J].山東農業(yè)工程學院學報，2015(7):141,143.

[2]周冉,張艷妮,黃京男.一階常微分方程組的奇異攝動問題[J].吉林大學學報:理學版，2009(5):941-944.

The Envelope Theory Applied in a Class of Initial Value Problems

ZHANG Yan-ni

(Jilin Architectural University Urban Construction College, Changchun Jilin 130112, China)

Abstract:This paper presents an uniformly valid asymptotic expansion for a class of initial value problems via the envelope theory. And in contrast to other approaches, the results of our method are consistant.

Key words:envelope theory; singular perturbation; envelope equations

[中圖分類號]O175

[文獻標識碼]A

[文章編號]2095-7602(2016)04-0015-02

[作者簡介]張艷妮(1982-)，女，助教，碩士，從事常微分方程研究。

[收稿日期]2016-01-29