模糊全概率公式及模糊貝葉斯公式的研究

呂振偉

（太原學(xué)院，山西 太原 030032）

1 引言

由傳統(tǒng)的貝葉斯公式導(dǎo)出的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)（Bayesian Network）是 Pearl 提出的一種基于概率論和圖論的不確定知識表示模型，它以其堅實的理論基礎(chǔ)，知識結(jié)構(gòu)的自然表達方式，靈活的推理能力，方便的決策機制而成為近年來人工智能、專家系統(tǒng)、模式識別等領(lǐng)域的研究熱點。在醫(yī)療診斷系統(tǒng)、軟件測試、網(wǎng)站的智能導(dǎo)航、電力系統(tǒng)的故障診斷等方面都有著廣泛的應(yīng)用[1]。普通貝葉斯公式參數(shù)的數(shù)目隨著結(jié)點的扇入的增加成指數(shù)增長，對于許多規(guī)模很大的問題很不實用，而本文提出的模糊貝葉斯公式可以較好地解決這個問題。

2 模糊條件概率的定義

下面把定義2.1 模糊集合上的加法推廣到二維模糊集合上:

這個定義就是模糊集合上的加法，下面把這個加法推廣到二維模糊集合上。

有了上述這些定義的基礎(chǔ)，來定義在模糊數(shù)學(xué)里的條件概率公式的具體形式。知道在經(jīng)典集合里概率中的條件概率公式為

定義2.3 設(shè)U1與U2為兩個論域，則有二維論域為U1×U2上的二維模糊集，其隸屬函數(shù)為

而在模糊概率中，集合已經(jīng)由原來的經(jīng)典的集合變?yōu)槟：龜?shù)學(xué)中的模糊集合。也就是說那么知道，一般來說，與是屬于兩個論域的，則由上述定義2.3 推出如下定義:

上式稱為模糊條件概率公式。

有了上述關(guān)于模糊條件概率公式的定義做為基礎(chǔ)，通過一系列的推導(dǎo)可以得到如下定理:

定理2.1 模糊條件概率的性質(zhì)如下:

(3)對于屬于一個U1的模糊劃分的任意模糊集合和，

由上面所述，可以從下列的觀點來考慮條件概率:

這種觀點是可測空間(Ω，F(xiàn))沒有變，其概率變了，即P 換為，它對任意∈F 都有定義，并且概率空間由(Ω，F(xiàn)，P)變?yōu)?/p>

定理2.2[3]設(shè)為概率空間(Ω，F(xiàn)，P)上的正概率事件，又設(shè)則對條件概率空間而言，對任意∈F 有

這個定理說明計算條件概率空間中任一事件的條件概率，可以轉(zhuǎn)化為在原來的概率空間中求該事件的條件概率[6]。

3 模糊條件概率乘法公式

由條件概率定義，可得，

上面兩個式子[7]均稱為模糊事件概率的乘法公式。

上述乘法公式可以推廣到任意有窮多個模糊事件時的情形。

對于上面得到的乘法公式，還可以得到如下的定理:

4 模糊全概率公式

下面繼續(xù)討論經(jīng)典數(shù)學(xué)集合里的全概率公式在上述定義的基礎(chǔ)上的具體形式。

我們還可以得出如下定理:

5 模糊貝葉斯公式

通過以上的推導(dǎo)，得到了乘法公式、全概率公式，那么進而可以得到在上述定義基礎(chǔ)上的模糊貝葉斯概率公式:

上式稱為模糊貝葉斯公式。

證明:由模糊條件概率公式及全概率公式得

如果論域是連續(xù)的，那么模糊貝葉斯公式的具體形式是:

如果論域是離散的，那么模糊貝葉斯公式的具體形式是:

值得注意的是這個模糊貝葉斯公式是基于論域的模糊劃分來得到的，所以盡管模糊集合之間會有交叉重疊的，但是我們得到的結(jié)果還是可以像經(jīng)典集合上的貝葉斯公式有著相同的性質(zhì):在經(jīng)典集合上的有窮剖分滿足的條件，則通過貝葉斯公式所得到的各個結(jié)果之和滿足如下公式:

至此，我們證明了模糊貝葉斯公式。

6 舉例驗證

下面舉一個離散情況下的例子。

假設(shè)身高 1.80，1.75，1.70，1.65 對模糊事件“高個子”的隸屬度分別為 1、0.6、0.3、0，則模糊事件“高個子”的隸屬函數(shù)表示為

類似地，模糊事件成績“優(yōu)良”的隸屬函數(shù)為

模糊事件成績“中等”的隸屬函數(shù)為

模糊事件成績“較差”的隸屬函數(shù)為

模糊事件“成績優(yōu)良的高個子”的隸屬函數(shù)

從而，模糊事件“成績中等的高個子”的隸屬函數(shù)

模糊事件“成績較差的高個子”的隸屬函數(shù)

表6.1 假設(shè)該班男生考分的分布函數(shù)表

表6.2 假定身高對成績的條件概率分布表

由以上已知條件，可得二維模糊事件的概率，

至此應(yīng)用模糊事件貝葉斯公式就有

顯然P(成績優(yōu)良|高個子)＋P(成績中等|高個子)＋P(成績較差|高個子)＝1。

這也達到了預(yù)期的目的，即在模糊集合邊界不明確的情況下還能保證貝葉斯公式最終求和值為1。

7 結(jié)論

在經(jīng)典概率里，全概率公式得出的前提是要求有一組有窮剖分或者可列無窮剖分，然后通過這組剖分得出全概率公式和貝葉斯公式，而在模糊數(shù)學(xué)里，模糊集合之間的邊界是模糊的，我們不能要求集合之間的交為空集，按照常規(guī)的方法所得到的貝葉斯公式來處理模糊數(shù)據(jù)時必定會有后驗概率之和大于1 的情況。這種情況類似于經(jīng)典概率里對樣本空間的有窮剖分各個子集合之間的交不為空時，同樣會導(dǎo)致經(jīng)典貝葉斯后驗概率之和大于1。

本文為了避免這種情況的發(fā)生，引入一簇模糊集合對一個論域進行劃分，然后借助多維模糊空間得到了全概率公式和貝葉斯公式在模糊數(shù)學(xué)中的具體表達形式，最后通過數(shù)據(jù)驗證確實在本文中得到的模糊貝葉斯公式能夠有和經(jīng)典數(shù)學(xué)里的貝葉斯公式相似的性質(zhì)。本文所得到的模糊全概率公式和模糊貝葉斯公式是專門處理模糊事件的，而在實際中所得到的數(shù)據(jù)往往也是模糊的，所以更加切合實際。