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    讓高中數(shù)學“難題”越做越“簡單”

    2016-05-15 03:29:36浙江省黃巖中學黃仙萍
    中學數(shù)學雜志 2016年7期
    關鍵詞:題設難題本題

    ☉浙江省黃巖中學黃仙萍

    讓高中數(shù)學“難題”越做越“簡單”

    ☉浙江省黃巖中學黃仙萍

    在現(xiàn)行的高考模式下,高中數(shù)學在高考科目中占有重要的地位,這已經(jīng)成為廣大教師和學生的共識.解題教學是高中數(shù)學教學中的重要組成部分,筆者在平時的高中數(shù)學教學中發(fā)現(xiàn),部分學生對于考題給出的標準答案容易看懂,但是難于理解答案中為什么會采取如此巧妙的處理手段與方法,在自己處理數(shù)學問題時感覺困難重重,其實每道數(shù)學題解法的背后都蘊藏著豐富的數(shù)學思想方法,只要對數(shù)學難題進行深入的思考與分析,便能將“難題”做得“簡單”點!

    一、思路受阻時轉(zhuǎn)換新思路,回歸起點,體現(xiàn)“簡單”

    在高中數(shù)學解題中,“無章可循,無路可走”可稱為“難”題,當我們按照常規(guī)思想解決數(shù)學難題受阻時,不妨考慮采取“倒退”的思想,靈活轉(zhuǎn)換新思路,從最原始的數(shù)學概念、數(shù)學原理為起點進行分析與探究,反而會實現(xiàn)“有章可依,有路可走”,對于高中數(shù)學教師值得注意的是,在解題教學中應該盡可能地避免“演播式”的教學,只是滿足于將解題的每一步清晰地呈現(xiàn)給學生,忽視進行解法緣由的探索與分析,這對學生解題能力的提升成效不大.

    分析:本例是一道高考試題中的一小問,部分學生接觸到題目時不知所措,將題設中給出的條件進行變化,始終不能把握住解題的要領,主要體現(xiàn)出數(shù)學概念與解題目標不清晰,解題的思路也比較混亂.其實本題只要回歸起點,從數(shù)列的概念出發(fā)進行處理:

    二、洞悉命題意圖,借數(shù)學背景打開解題通道,體現(xiàn)“簡單”

    隨著新課改的不斷深化,數(shù)學試題考查的形式也是推陳出新,命題專家們比較喜歡針對于數(shù)學文化背景中所蘊藏的問題進行加工,重新賦予新的內(nèi)涵與意義,具有明顯的數(shù)學新意.掌握豐富的數(shù)學背景知識能夠有效實現(xiàn)從“生疏”到“熟悉”的轉(zhuǎn)變,消除學生遇到難題而畏懼的心理障礙,有助于獲取便捷的解題通道.

    分析:根據(jù)題設提供的信息多數(shù)學生以角度為自變量,利用三角函數(shù)的有界性知識進行求解,運算量較大,計算繁雜,費時費力,效率不高.實際上命題者的意圖是引入“阿波羅尼斯圓”進行處理,了解這樣一個數(shù)學背景,該題就能夠有效地將三角問題解析化:構建直角坐標系xOy,如圖1所示,令A(-1,0),B(1,0),C(x,y),結(jié)合題意可得(x-3)2+y2=8,則動

    圖1

    在新課改背景下,高考數(shù)學命題考查倡導“多一點想,少一點算”的指導思想.本題中直接利用三角函數(shù)等知識也可以求解,但是與利用“阿氏圓”進行處理相比來說比較煩瑣點.其實數(shù)學背景包含:文化背景、生活背景、學科背景、圖形背景等等,可以說數(shù)學背景的有效揭示,為數(shù)學解題打開“一個通道,一扇窗”,讓解題變得簡便易行.

    三、注重思維的靈活性,活用題設條件減少數(shù)學運算,體現(xiàn)“簡單”

    數(shù)學解題實質(zhì)上是根據(jù)題設條件,借助于合理的數(shù)學變形,實現(xiàn)條件與結(jié)論之間的關聯(lián),達到預期的目標,在這一過程中涉及“等價轉(zhuǎn)化與非等價轉(zhuǎn)化、特殊與一般的轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合”等數(shù)學思想,在實際問題處理過程中,常常遇到非常規(guī)的難題,這就需要學生發(fā)揮思維的靈活性;解析幾何是高中數(shù)學教學中的重點和難點,靈活運用題目中提供的已知條件,大大簡化解題過程,避免復雜的數(shù)學運算,提高解題效率.

    分析:本例是根據(jù)高考真題改編而來,若采取代數(shù)方式進行處理,運算相當復雜,而且部分學生難以準確完成.若能緊扣題設中的已知條件,加以靈活運用,即可簡化解題過程,減少數(shù)學運算,提高解題的正確率.具體為:根

    圖2

    代入橢圓方程可得[(1+λ)x-λ]2+2(1+λ)2y2=2,[(1+ λ)x+1]2+2(1+λ)2y2=2λ2.綜合兩式簡化1,即動點M的軌跡為橢圓,且焦點坐標分別為(-1,0),

    從上述解法中可以感覺到“簡捷利落”,關鍵是靈活運用題設中AF1∥BF2這樣一個條件,借助于向量的定比分點數(shù)學規(guī)律進行處理,采取待定系數(shù)法探討出動點M的軌跡.當然本題根據(jù)解決目標“MF1+MF2為定值”也可以聯(lián)想到點M軌跡可能為橢圓,在某種程度上明確了解題思路的大方向,有助于快捷、高效解題.可見,在解析幾何問題中,合理、巧妙地運用題設條件,表明感覺增加思維量,實際上大大減少運算量,正確率大大提升.這也提醒我們一線數(shù)學教師,在平時的課堂教學中,不斷引導學生進行歸類、分析、提煉、總結(jié),讓學生成為學習的有心人,促進學生處理實際問題能力的提升.

    四、堅持在反思中總結(jié)與聯(lián)想,實現(xiàn)解題方法的遷移,體現(xiàn)“簡單”

    部分學生奉行的“一題一法,靈活多變”的思想導致形成“談數(shù)色變”的怪圈,主要原因是這部分學生在數(shù)學中不注重解題方法的歸類、反思和總結(jié).這也提醒我們數(shù)學教師在平時的教學中應該引導學生善于追根究底,探尋數(shù)學知識與方法之間的聯(lián)系和規(guī)律,在反思中總結(jié)與聯(lián)想,逐步實現(xiàn)“一題多解、多解歸一、多題歸一”,達到解題方法的遷移,解題能力的提升.

    分析:本題題設內(nèi)容簡潔看似簡單,其實并不容易解決,根據(jù)題設信息和所求問題,學生傾向于利用“拼湊”的方法進行處理,成功解題主要取決于“硬”配湊的這種特殊情形下的配湊是行之有效的方法,但是相對多數(shù)常規(guī)思維的學生來說還是比較困難的!其實3,2α-β=-4,則α=-1,β=2!

    這里使用的“待定系數(shù)法”是數(shù)學課本教材中常見的一種解題方法,幾乎每個學生都很熟悉,但是這種最常見的方法卻容易被忽視,主要是學生對這種方法本質(zhì)認識不到位,缺乏由“線性系數(shù)形式”向“冪結(jié)構形式”的聯(lián)想意識,缺乏數(shù)學解題方法的遷移能力!

    總之,對于高中學生而言,解題能力強通常是數(shù)學學得好的重要體現(xiàn),但是數(shù)學教學并不僅僅是解題教學,學生也不是機械的、被動的“數(shù)學解題匠”.作為一線的高中數(shù)學教師,應該著眼于學生數(shù)學綜合素養(yǎng)的提升,合理構建自主合作、輕松愉悅的情境,讓學生感悟數(shù)學的魅力,自覺成為數(shù)學學習的研究者和受益者;在具體實施的習題教學中,盡可能地引導學生展示數(shù)學解題的思維過程,在清楚“如何做”的基礎之上,更加要理解“為何這樣做”,讓學生感悟解題的思維過程,避免機械、盲目地生搬硬套數(shù)學公式;注重引導學生“察言觀色”,進行合理的聯(lián)想與思考,探尋多角度解決問題的途徑,學會“舉一反三、觸類旁通”,培養(yǎng)學生發(fā)散思維能力,讓學生在不斷的總結(jié)反思中,真正達到“熟能生悟、悟中生巧、巧而創(chuàng)新”的理想境界.G

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