☉江蘇省海門實驗學校邱明朗
慧眼識“隱”跳出“陷阱”
☉江蘇省海門實驗學校邱明朗
在數(shù)學命題上,命題人為了考查同學們的理解能力、應變能力、知識遷移能力,經(jīng)常圍繞題設條件設置一些隱的“陷阱”,這些隱含條件往往是學生很難發(fā)現(xiàn)的,如果我們不認真思考、斟酌,就會掉入命題人的“陷阱”,這些隱的“陷阱”也就真的“含而不露”了.
本文擬展示若干學生誤入“陷阱”的錯解,暴露其錯解思維過程,剖析其錯解原因,給出一些揭示隱含條件,跳出陷阱的方法.
剖析:錯解的原因是沒有將隱含條件Δ≥0挖掘出來,忽視了a的應用范圍.
例1已知α、β是方程x2+4(a+1)x+6a2-38=0的兩個實根,求α2+β2的最小值.
對策:夯實基礎,培養(yǎng)觀察問題、分析問題的能力,能透過表象挖掘出所需的隱含條件,抓住問題的本質(zhì).
例2已知sinθ、sin2x、cosθ成等差數(shù)列,sinθ、sinx、cosθ成等比數(shù)列,則cos2x的值為().
對策:智者千慮,也有一失,因此,思維要全面,解后要反思,如反思條件有無疏漏,一解還是兩解等問題,力求解答正確.
錯解:由條件知,動點M(x,y)到定點P(sinα,cosα)的距離等于動點M到定直線的距離.根據(jù)拋物線的定義,點M的軌跡是以P為焦點、定直線l:xsinα+ycosα-1=0為準線的拋物線.
剖析:錯解的原因是沒有理解拋物線定義中隱含的已知條件:定點不在定直線上.
正解:因為定點P(sinα,cosα)在定直線l:xsinα+ ycosα-1=0上,所以點M的軌跡是過定點P且垂直于定直線l的一條直線:y-cosα=cotα(x-sinα).
對策:對概念、公式的理解要深刻,特別是一些限制條件,必須理解到位.
例4已知A(-2,0),B(2,0),在平面上動點C是周長為10的三角形ABC的一個頂點,求點C的軌跡方程.
錯解:由已知得|CA|+|CB|+|AB|=10,而|AB|=4,所以|CA|+|CB|=6,所以由橢圓的定義知,點C的軌跡方程是
剖析:錯解的原因是沒有看到A、B、C三點不共線.
正解:由已知得|CA|+|CB|+|AB|=10,而|AB|=4,所以|CA|+|CB|=6,所以由橢圓的定義知,點C的軌跡方程是B、C三點不共線,故點C的軌跡方程
對策:在求事先不知道類型的曲線方程問題時,許多同學在求出方程后匆匆做答,忽視了求曲線方程的最后一步——檢驗方程,而這最后一步往往是揭示隱含條件的關鍵.
例5求過定點P(0,1)與拋物線y2=2x只有一個公共點的直線方程.
剖析:錯解的原因是誤認為直線斜率存在且不為0.
1=0.因為直線與拋物線只有一個公共點,所以Δ=4(k-1)2-
當直線斜率為0時,直線x=1也符合題意.
當直線斜率不存在時,直線x=0也符合題意.
對策:要善于歸納總結典型錯誤.解析幾何往往與函數(shù)、三角、不等式、向量等知識融合,導致隱含條件增多,或隱含在公式成立的條件之中;或隱含在題目之中;或隱含在解題過程之中.因此,要全面分析題目中的隱含關系,洞察與挖掘題目中的隱含條件,保證解題暢通無阻.
剖析:錯解的原因是在解題過程中認可了直線l與雙曲線有兩個交點.
正解:實際上,直線l與雙曲線不一定有兩個交點,必須驗證,由y=2x-1與1聯(lián)立,消去y得2x2-4x+3= 0,Δ=16-4×2×3=-8<0,所以直線l與雙曲線沒有交點,故假設不存在,所以不存在滿足題設條件的直線l.
對策:在解題方法或解題過程中,注意隱含其中的“陷阱”,必須挖掘出來,如直線與二次曲線交點個數(shù)問題,利用判別式法判斷等.
對策:研究函數(shù)問題優(yōu)先考慮定義域,這是不變的規(guī)則,通過對題目約束條件的挖掘,攝取所需變量的取值范圍.
由于篇幅所限,在此不再贅述,更多還在于同學們自己去探索、歸納,進而提升挖掘隱含條件的能力,快速準確地解題.F