不識圖形真面目只緣身在此圖中

☉浙江省寧波市北侖中學毛浙東

不識圖形真面目只緣身在此圖中

☉浙江省寧波市北侖中學毛浙東

書有書膽，戲有戲核，數(shù)學老師給學生講題，好比是說書唱戲，也要牢牢把握題目的核心——題眼.但是很多數(shù)學問題都被“包裝”過，學生往往會被問題的表象所迷惑，無法看清其本來面目.比如在學習立體幾何時，學生就常有“不識圖形真面目”的困惑.筆者現(xiàn)以自己的一堂立體幾何復(fù)習課的教學設(shè)計為例，來談?wù)剬ふ翌}眼的常見方法，希望能拋磚引玉.

一、教學設(shè)計

1.在圖形翻折中尋找題眼

圖1

A.存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直B.存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直C.存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直D.對任意位置，三對直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直

分析：容易判斷選項A是錯誤的.對于選項B，我們發(fā)現(xiàn)直線AB與直線CD是異面直線，要判斷它們在運動時是否會垂直是比較困難的，但注意到直線CD和直線AB是平行的，因此B選項可被翻譯成：“如圖2，把直角△ABD繞著BD翻折成△A′BD，請判斷是否存在某個位置，使直線A′B與直線AB垂直？”在這個翻折過程中，我們發(fā)現(xiàn)線段AB“掃”出了一個圓錐的側(cè)面，如圖3所示.

圖2

顯然直線AB與直線A′B是這個圓錐的兩條母線，在直角三角形ABD中，AB=1，AD=，故∠ABD＞45°，因此圓錐的頂角∠ABE＞90°，故在運動時，直線AB與直線AB′是有可能垂直的，故選項B正確.

對于選項C，我們發(fā)現(xiàn)由于此時新圓錐的頂角∠ADE＜90°，如圖4所示，故在運動時，直線AD與直線A′D不可能垂直，則選項C錯誤.

容易判斷選項D也錯誤，因此本題答案為B.

圖4

點評：此題解法頗多，但筆者認為最優(yōu)美，也是最本質(zhì)的解法就是尋找此題的“題眼”.去掉包裝后，我們發(fā)現(xiàn)本題的的翻折問題，看清了這一點，一切都變得明朗起來了.

2.在圖形旋轉(zhuǎn)中尋找題眼

圖6

圖5

分析：本題是個立體圖形的旋轉(zhuǎn)問題，如圖6，我們發(fā)現(xiàn)當四面體旋轉(zhuǎn)時，線段AB的長度保持不變，射影面積的變化取決于線段C1D1長度的變化，取線段AB的中點M，于是原題就退化成下題：在直角△CDM中，CM=1，，當△CDM繞著點M在垂直于α的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)時，△CDM在平面α內(nèi)的射影線段長度的取值范圍是多少？

圖7

如圖7，過M作直線CD的垂線MN，垂足為N，當△CDM旋轉(zhuǎn)時，容易發(fā)現(xiàn)：當CD與平面α平行時，射影線長度達到最大值影線長度達到最小射影線C1D1長度的取值此原四面體的射影面積為S=

點評：本題將立體問題平面化后，我們找到了這道題的題眼，其實質(zhì)仍是一個棱長分別為1，的直角三角形的旋轉(zhuǎn)問題，正是這個關(guān)鍵三角形的變化，決定了整個四面體在平面α內(nèi)射影面積的變化.

3.在圖形滑動中尋找題眼

例3已知直線l⊥α，正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為1，若該正方體在空間符合下列條件：（1）A∈l，（2）C∈α，則O，C1兩點間距離的最大值為_______.

圖8

圖9

分析：在正方體運動時，我們發(fā)現(xiàn)A、C兩個點在滑動，它們是兩個關(guān)鍵點，而結(jié)論要求O，C1兩點間的距離，因此O和C1也是關(guān)鍵點，而其他的點則無關(guān)緊要，因此本題可以退化成下題：已知直線l⊥α，在直角△ACC1中，CC1=1，AC=2%■，AC1=3%■，若該直角三角形在空間符合下列條件：（1）A∈l，（2）C∈α，則O，C1兩點間距離的最大值為多少？

如圖11，我們?nèi)【€段AC的中點M，顯然線段OM的長度保持不變，始終為AC長的一半（直角三角形斜邊的中線為斜邊長的一半），會變.由勾股定理可算得其長度為示.回到原題，我們知道所求距離

圖10

圖11

圖12

點評：本題的題眼是一個棱長分別為1，2%■，3%■的直角三角形的滑動問題，我們之所以一開始難以看清其廬山真面目，就是因為它藏身于正方體中，褪去正方體這件外衣，答案自然就水落石出了.

二、幾點思考

1.三道例題，一個模型

心理學研究表明，教師課堂上講的題目跳躍度越大，特別是所講的幾個例題之間毫無關(guān)聯(lián)，學生越容易產(chǎn)生疲勞，學習效率就會降低.反之，教師若給學生呈現(xiàn)的題目環(huán)環(huán)相扣，在學生的最近發(fā)展區(qū)對知識進行延伸，學生聽起來就輕松，并理解得更深刻.眾所周知，知識在我們大腦的建構(gòu)是系統(tǒng)化的，而不系統(tǒng)的知識是不牢固的.

在本課中，教師給出了三道例題，系統(tǒng)地把“翻折、旋轉(zhuǎn)、滑動”三種題型呈現(xiàn)在學生面前，而且巧合的是，三道題殊途同歸，最終都化歸為同一個模型，即一個棱長分別為1，的直角三角形的運動問題.整堂課下來，學生聽得輕松，偶爾還發(fā)出驚嘆聲，但細細回味，又發(fā)現(xiàn)巧合中蘊藏著必然，不禁露出會心一笑.

2.三道例題，一種方法

本堂課教師給學生呈現(xiàn)了三道不同的題目，但是傳授的方法卻是如出一轍——尋找題眼.在立體幾何問題中，題目的關(guān)鍵信息往往會藏身于復(fù)雜的圖形中，如何將它們提煉出來就成為解題的關(guān)鍵.其實，無論是翻折、旋轉(zhuǎn)還是滑動問題，尋找題眼最有效的方式就是努力尋找運動中的關(guān)鍵圖形，從而使問題成功獲解.

當然解決本課中的三道例題還有其他的思路，但教師沒有將這些方法選入教學設(shè)計中，這樣“罷黜百家、獨尊儒術(shù)”的做法既是為了突出重點，也是為了讓學生學會更本質(zhì)地看問題.我們不排斥學生在課堂上用其他方法解決這些問題，但是教師應(yīng)當鮮明地亮出自己的觀點，因為能用同一種方法解決不同問題的方法，才能叫做通性通法.

3.三道例題，一個目標

張奠宙教授曾說：我們應(yīng)啟發(fā)學生欣賞數(shù)學的真、善、美.教師給學生傳授正確的知識，就是求真；教給學生行之有效的解題的好方法，那是求善；帶著學生一起欣賞數(shù)學，則是求美.在本課中，我們看到了數(shù)學思維的簡潔美，圖形本身的對稱美，數(shù)學形式的統(tǒng)一美，表征和內(nèi)涵的和諧美.教師不但自身要學會發(fā)現(xiàn)數(shù)學美，還有學會傳播數(shù)學美.因為我們有一個共同的目標，讓我們的學生也學會欣賞數(shù)學，并快樂地研究數(shù)學.

1.中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（實驗）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.教育測量學［M］.北京：人民教育出版社，2007.

3.張奠宙.數(shù)學教育隨想集［M］.上海：華東師范大學出版社，2013.

4.毛浙東.談?wù)劯呷龔?fù)習課例題的選擇——解析一堂圓錐曲線最值的復(fù)習課［J］.中學數(shù)學（上），2009（12）.

5.毛浙東.巧用平面解析法破解立體幾何題［J］.中學數(shù)學研究，2011（3）.

6.毛浙東.它山之石，可以攻玉——談數(shù)學課堂融入故事的藝術(shù)［J］.中學數(shù)學（上），2015（6）.G