特殊值法，高中數(shù)學(xué)解題的一劑良方

☉江蘇省梁豐高級中學(xué)苗學(xué)雷

特殊值法，高中數(shù)學(xué)解題的一劑良方

☉江蘇省梁豐高級中學(xué)苗學(xué)雷

特殊值法在數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用比較廣泛，它是一種通過個性分析來解決實(shí)際問題的一種思維方式.隨著課程改革的深入，老師要想豐富整改自己的數(shù)學(xué)課堂，就要引用多種手段以更多的方式來美化課堂，升華教育.特殊值法可以幫助學(xué)生開拓解題思路，讓他們通過特殊點(diǎn)發(fā)現(xiàn)平時正常思維所見不到解題途徑.這是一種一旦利用上就會將題目變得極為簡單的解題思維，能夠極大地提高學(xué)生的解題速度；特殊值法是解決數(shù)學(xué)難題的一把利器，老師要在課堂上教導(dǎo)學(xué)生如何利用好這把利刃，用利器為解決數(shù)學(xué)題謀求最大的便捷.筆者具有多年數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，就如何教導(dǎo)學(xué)生利用特殊值法解題具有一定的研究.下面就此談幾點(diǎn)看法，希望對學(xué)生和同樣工作在教育一線的教師有所幫助.

一、特殊角度，合理變換

特殊值法的應(yīng)用極為廣泛，尤其是涉及某些特定值時，如果學(xué)生把握的好，經(jīng)常會收到意想不到的效果，大大加快解題的速度.在一些角度的證明或者求解的題目中，特殊值法能夠使問題變得簡單易解.高中數(shù)學(xué)中與角度相關(guān)的題目類型也很多，涉及的數(shù)學(xué)思想更是數(shù)不勝數(shù)，所以學(xué)生要明確每一種數(shù)學(xué)思想的使用方式及適用范圍.而特殊值法往往是讓題目的求解過程變得簡易，經(jīng)常會起到簡化過程的作用.在下面這道題的解題中我們就能夠領(lǐng)悟到特殊值法的妙用.

點(diǎn)評：從整個解題過程來看，公式變化十分復(fù)雜，給不少學(xué)生帶來麻煩，一不小心跌入“死胡同”，在實(shí)際解題中，多數(shù)學(xué)生難以得出準(zhǔn)確的結(jié)論；這里不妨考慮特殊值的方法，我們可以設(shè)A=B，即三角形為等腰銳角三角形.題中的關(guān)系得以簡化，計(jì)算過程相對簡單得多，學(xué)生出現(xiàn)錯誤的幾率較小，這就是特殊值法最大的好處，幫助學(xué)生減少計(jì)算壓力，并且準(zhǔn)確率極高.其實(shí)特殊角度的應(yīng)用，也離不開角度的變換公式.只有將所求進(jìn)行合理的變換，才會使問題最簡單化.學(xué)生解決起來才會無往而不利，獲得最有效的解題方法.

二、函數(shù)構(gòu)造，優(yōu)化解題

構(gòu)造法是高中數(shù)學(xué)解題的法寶之一，在各類題型中都可以隨機(jī)應(yīng)用，達(dá)到化簡題目的作用.在高中數(shù)學(xué)不等式問題中，若能巧妙構(gòu)造特殊函數(shù)，往往能夠收到“事半功倍”的效果.

這些特殊函數(shù)的構(gòu)造需要學(xué)生自己努力去發(fā)現(xiàn)，進(jìn)而形成新的思想迸發(fā)，出現(xiàn)完美的解題套路.

例2若-2≤a≤2時，不等式ax2-2x-a+1＜0恒成立，求x的取值范圍.

解析：將ax2-2x-a+1＜0變形為a（x2-1）-2x+1＜0.

當(dāng)x=-1時，-2（-1）+1=3＞0，原不等式不成立；

當(dāng)x=1時，-2×1+1=-1＜0，原不等式成立；

當(dāng)x≠±1時，構(gòu)造一次函數(shù)f（a）=（x2-1）a-2x+1，則

點(diǎn)評：本題解題關(guān)鍵在于根據(jù)問題特征構(gòu)造特定的一次函數(shù)，將主元進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化，利用一次函數(shù)的性質(zhì)輕松處理好問題，巧妙地避免了分類討論的繁雜性，優(yōu)化了數(shù)學(xué)解題的過程，有助于學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)；同時也提醒我們數(shù)學(xué)教師在解題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想，為自己的解題謀求最大的便捷；當(dāng)然，特殊函數(shù)的構(gòu)造一定要滿足要求，學(xué)生切忌不可胡亂編造，那樣得出的結(jié)論肯定是錯誤的.

三、特殊檢驗(yàn)，巧證命題

特殊值檢驗(yàn)法通常被認(rèn)為是快速解決數(shù)學(xué)選擇題的法寶，其實(shí)在一些函數(shù)證明題中特殊值檢驗(yàn)法也屢見不鮮；在特殊值代入檢驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)解題的突破口，激發(fā)學(xué)生思維的靈感，獲取解題的捷徑.

例3已知函數(shù)f（x）=-x4+3ax+b且滿足函數(shù)y=f（x）

點(diǎn)評：本題的題設(shè)信息并不太多，若采取正面的直接探究函數(shù)的最值問題，難度可想而知，何況函數(shù)表達(dá)式中含有字母常數(shù)（a、b）給直接判斷函數(shù)最值的處理方式增添不小的障礙；這里可以選擇“正難則反”的方式進(jìn)行處理，借助于特殊值代入進(jìn)行檢驗(yàn)，獲得假設(shè)與題設(shè)信息之間的矛盾，從而得以證明！題中特殊表達(dá)f（1）+ f（-1）-2f（0）=-2是解題的關(guān)鍵點(diǎn)和突破口；體現(xiàn)了特殊值法是有效的解題技巧和方法，也是數(shù)學(xué)知識方法的靈活應(yīng)用.

四、特殊定位，化繁為簡

高中數(shù)學(xué)涉及的知識與規(guī)律比較廣泛，處理實(shí)際問題的方式和方法也是多樣化，在問題的解答中，多數(shù)人都是喜歡選取最常見、最基本的一般性處理方法，其實(shí)在處理比較復(fù)雜的“變化的量”問題中，采取特殊值的方法對變量進(jìn)行定位，再結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行處理，也不失是一種解決問題的好方法.

例4|α|=1，|β|=|β-α|對于每一個確定的β均使得：（γ-β）·（γ-α）=0，若|γ|的最大值為M，最小值為m，試求M-m的最小值.

圖1

點(diǎn)評：本題是關(guān)于向量計(jì)算與應(yīng)用問題，其中涉及動態(tài)的變化量，常規(guī)手段處理感覺困難重重，運(yùn)算復(fù)雜容易造成錯誤；上述解題中利用特殊值進(jìn)行定位，充分利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行解題，使得抽象的數(shù)學(xué)運(yùn)算形象化、直觀化、簡單化，便于學(xué)生掌握和理解.

總而言之，特殊值法是高中數(shù)學(xué)中最常見的解題方法，將題目特殊化，這是一種轉(zhuǎn)換的思維方式，筆者相信一定會比一般化起到更加重要的作用與效果；特殊化的解題策略，高中數(shù)學(xué)老師在教學(xué)中一定要時時滲透，只有學(xué)生掌握得好，解題速度才會有所提升，將來面對高考也會信心大增.F