構造法在高中數(shù)學圓錐曲線解題中的巧妙運用

☉江蘇省常熟市尚湖高級中學程建剛

構造法在高中數(shù)學圓錐曲線解題中的巧妙運用

☉江蘇省常熟市尚湖高級中學程建剛

隨著經(jīng)濟的發(fā)展和科學技術的進步，社會各領域對人才的競爭越發(fā)激烈.為了培養(yǎng)新時代優(yōu)秀人才，教育教學的研究勢在必行.由于數(shù)學知識在現(xiàn)實生活中的應用逐漸加大，而圓錐曲線部分在高中數(shù)學的知識地位不可替代，并且構造法是教師進行數(shù)學教學的一種重要的思想方法，因此，運用構造法來解決圓錐曲線問題具有重要的意義.下面，本文將探析構造法在高中數(shù)學圓錐曲線解題中的應用.

一、構造圖形法

在解決一些數(shù)學問題時，由于不能直接從已知的數(shù)據(jù)中得出答案，而可以根據(jù)題中給出的已知條件或結論構造出相關的圖形來獲得結果，這樣的方法就是構造圖形法.［1］教師運用這種方法教學，可以充分利用圖形的直觀性特點，將形象思維與邏輯思維緊密結合在一起，讓學生盡快地進入到題目情景中去，并最終解決問題.

例1設F1、F2分別是橢圓的兩個焦點，若在此橢圓上存在一點P使∠F1PF2=90°，求離心率e的范圍.

解法1：點P在以F1F2為直徑的圓上，又點P在橢圓上，固有c≥b.

點評：通過兩種方法對比，我們不難發(fā)現(xiàn)，解法1是從幾何角度來研究問題的，就是最大限度地利用圖形條件.運用這樣的構造方法，往往能夠省去很多不必要的運算.

例2一炮彈在A處的東偏北60°的某處爆炸，在A處測到爆炸信號的時間比B處早4秒，已知A在B的正東方，相距6千米，P為爆炸地點，該信號的傳播速度為每秒1千米，求A、P兩地的距離.

分析：利用構造圖形的方法，先判斷出P點的軌跡為雙曲線右支上的一點，然后通過P在A的東偏北60°方向，求出P點的坐標，再根據(jù)兩點間的距離公式便能求出A、P兩地的距離.

解：如圖1，以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，則A（3，0），B（-3，0）.

圖1

點評：通過構造出題目中所需要的圖形，可以很直觀地面對問題，從而較快地找出解決辦法，免去了許多的麻煩，提高了解題效率.

二、構造命題法

該方法主要用于在論證某些命題而感到?jīng)]有直接依據(jù)或比較困難時，以此來解決問題.中心軌跡關于點M（-1，1）對稱圖形的軌跡方程.

引用命題：已知曲線方程f（x，y），則它關于點M（x0，y0）對稱的曲線方程是f（2x0-x，2y0-y）=0.（證明略）

解析：設橢圓中心為（x，y），根據(jù)題意，有x=2t，y=-t2.

消去參數(shù)得橢圓中心軌跡方程為f（x，y）=x2+4y=0.

由上可知，它關于M（-1，1）對稱圖形的軌跡方程為f（-2-x，2-y）=0，即（-2-x）2+4（2-y）=0，化為（x+2）2=4（2-y），即為所求的軌跡方程.

點評：由于題中沒有直接給出曲線方程關于一個點對稱的方程式，采用這種構造法，可以很快地打開解題思路，最終解決問題.

例3設橢圓方點P1、P2，求線段P1P2的中點P的軌跡方程.

引用命題：過定點P（x0，y0）的動直線l與二次曲線C：F（x，y）=0相交弦的中點軌跡方程是F（x，y）=F′（x0，y0）.（證明略）

點評：該題如上題一樣，都可使用構造命題的方法來解決.

三、構造方程法

構造方程法，就是根據(jù)問題的結構特征及其數(shù)量關系，挖掘潛在的已知和未知因素，從而構造出方程，使問題能夠巧妙地解答出來.

例5已知△ABC的頂點A、B在橢圓x2+3y2=4上，頂點C在直線l：y=x+2上，且AB∥l.求：

（1）當AB邊通過坐標原點O時，求AB的長及△ABC的面積；

（2）當∠ABC=90°，且斜邊AC的長最大時，求AB所在直線的方程.

分析：本題要準確把握好直線l的位置，將題中的幾何信息轉化為代數(shù)方程法，將幾何問題變成解方程問題，能夠使問題簡單化，有利于快速地得出答案.［2］

解：（1）因為AB∥l，且AB通過原點（0，0），所以AB所在直線的方程為y=x.

設A、B兩點的坐標分別為（x1，y1）、（x2，y2）.

所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=-m2-2m+10=-（m+1）2+11.

所以，當m=-1時，AC邊最長（這時Δ=52＞0），此時AB所在直線方程為y=x-1.

例6已知拋物線C1：y=x2+2x和拋物線C2：y=-x2+a，當a取什么值時，C1和C2有且僅有一條公切線，寫出公切線的方程.

四、構造函數(shù)法

從初中我們就開始接觸函數(shù)，對于函數(shù)的性質和特點等都有了比較深刻的了解.選擇用最熟悉的方式來解決圓錐曲線問題，必然是一種不錯的選擇.

例7已知圓C1:x2+（y-2）2=1，直線l:y=-1，有一動圓C與C1外切，且與直線l相切.

（1）求動圓圓心C的軌跡M的方程；

（2）直線l與軌跡M在第一象限相切，其切點為P，直線l的斜率為k，過點P作直線l的垂線恰好經(jīng)過點A（0，6），并與軌跡M相交于點Q（P與Q不重合），設S為△POQ（O為坐標原點）的面積，求S的值.

因為點P在第一象限，所以x0=4，點P的坐標為（4，2），直線PQ的方程為x+y-6=0.

點評：該題第（1）問中，主要通過判斷圓C的位置，來進一步確定y+1＞0；第（2）問，主要運用了構造導數(shù)函數(shù)的方法，利用切點處的導數(shù)為直線的斜率得出直線方程，后通過已知點求出切點坐標.

五、構造不等式關系

在圓錐曲線解析中，構造不等式關系主要是針對求值范圍問題.［3］在解題過程中要充分理解已知條件，挖掘其隱含條件來構造不等式.

分析：在本題中，絕大多數(shù)同學由于對題目的整體把握不夠，以至于做到一半無法繼續(xù)進行.其實，該取值范圍可通過構造關于所求量的不等式關系來獲取.構造不等式首先要考慮判別式——由判別式值的非負性可以很快確定k的取值范圍.

點評：對于范圍問題，還可以用其他途徑來建立不等關系，比如函數(shù)的性質法、均值不等式法等.本題采取構建判別式不等關系法，使得解題思路清晰明了，避免了解題方式冗雜，提高了解題效率.

六、總結

在解決圓錐曲線問題時，我們首先要大致辨識題目所要考查的知識點，以便與已掌握的知識建立聯(lián)系，從而根據(jù)已有的知識經(jīng)驗進行求解，這在一定程度上減少了盲目解題的可能性.接下來就是選取合適的解決方法：問題的解決有多種方式.但是，在這里，運用構造法的解題方式，就是要改變解題過程中的呆板模式，善于找到數(shù)與形、數(shù)與量、數(shù)與方程等之間的內在聯(lián)系，開闊思維，用多元化的方法來處理解決圓錐曲線問題.

1.莊豐.圓錐曲線問題中減少運算量的利器——構造法［J］.中小學數(shù)學（高中版），2015（10）.

2.高小山，蔣鯤.用圓錐曲線求解幾何約束問題［J］.中國圖象圖形學報，2001（6）.

3.李學武，丁玉民.構造法解圓錐曲線中的范圍問題［J］.數(shù)理化學習（高中版），2007（Z1）.F