山窮水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村
——例談參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

☉江蘇省宜興中學(xué)歐賀宏

山窮水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村
——例談參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

☉江蘇省宜興中學(xué)歐賀宏

參數(shù)方程是曲線上點(diǎn)的位置的另一種表達(dá)形式，它把曲線上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別通過參數(shù)直接表示出來，比較清楚地指出了曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征.在處理解析幾何問題時(shí)，恰當(dāng)使用參數(shù)方程，把許多相關(guān)量統(tǒng)一放在一個(gè)參數(shù)下，就能起到減少變量、簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)、優(yōu)化運(yùn)算的作用.筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，以詳實(shí)的例證、深入的分析，談?wù)剠?shù)方程在解題中的應(yīng)用.

一、橢圓參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

大綱對(duì)橢圓的參數(shù)方程的要求是理解層次，如果適當(dāng)?shù)匾M(jìn)一點(diǎn)簡(jiǎn)單的參數(shù)方程知識(shí)，可以起到拓寬視野，簡(jiǎn)化平面解析幾何的運(yùn)算的功效.

特別地，以點(diǎn)（x0，y0）為圓心，半徑是r的橢圓的參數(shù)

1.利用參數(shù)方程求內(nèi)接多邊形的周長(zhǎng)及面積的最值

圖1

S=4|FA|×|EA|=4acosα·bsinα=2absin2α≤2ab，當(dāng)且僅

2.利用參數(shù)方程求軌跡問題

解：由題意，知B（0，9），設(shè)A（12cosα，6sinα），并且設(shè)點(diǎn)M（x，y），

3.利用參數(shù)方程求式子的最值

分析：由于研究二元函數(shù)x+2y相對(duì)困難，因此有必要消元，但由x，y滿足的方示出來的x或y，會(huì)出現(xiàn)無理式，這對(duì)進(jìn)一步求函數(shù)最值依然不夠簡(jiǎn)潔，能否有其他途徑把二元函數(shù)x+2y轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)呢？方法是利用橢圓的參數(shù)方入x+2y中，即可轉(zhuǎn)化為以θ為變量的一元函數(shù).

分析：若用常規(guī)方法求解，涉及A，B兩點(diǎn)和線段的中點(diǎn)M的坐標(biāo)等多個(gè)參變量，頭緒繁多，需要不斷進(jìn)行思維轉(zhuǎn)移.若引入?yún)?shù)，就可以減少變量個(gè)數(shù)，簡(jiǎn)化運(yùn)算.

解：根據(jù)橢圓參數(shù)方程，設(shè)A（3cosθ，2sinθ），B（3cosφ，2sinφ），P（m，0）.

由線段垂直平分線的性質(zhì)可知，|PA|2=|PB|2.

于是（m-3cosθ）2+（2sinθ）2=（m-3cosφ）2+（2sinφ）2，

展開整理得5（cos2θ-cos2φ）=6m（cosθ-cosφ）.

又因?yàn)锳B的垂直平分線與x軸相交，

故AB與y軸不平行，故cosθ≠cosφ，

4.利用參數(shù)方程求參數(shù)范圍問題

例4已知橢

由此可見，在解題時(shí)，引入橢圓參數(shù)方程，不但可以使解題簡(jiǎn)化，通俗易懂，思路清晰，而且有利于啟發(fā)學(xué)生思維意識(shí)，開拓學(xué)生的思維視野，全方位地培養(yǎng)學(xué)生探求問題，并能解決問題.

二、直線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

分析：由于該題結(jié)論中涉及的PM、PN均可看成直線上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，因此該題可以設(shè)出直線PM、PN的參數(shù)方程，使問題迎刃而解.

例5過點(diǎn)數(shù)），代入曲線方程并整理得設(shè)M、N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2，而由參數(shù)t的幾何意義得|PM|=t ，|PN|=t，

利用直線參數(shù)方程中的參數(shù)t的幾何意義，處理兩線段長(zhǎng)度的積、和、差以及平方和等問題時(shí)有著普通方程無可比擬的優(yōu)越性，可使求解過程變得簡(jiǎn)潔易算.

三、圓的參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

例6若圓x2+（y-a）2=4與拋物線x2=2y有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的范圍.

由于二次曲線中的變量受到取值范圍條件約束，涉及幾條二次曲線公共點(diǎn)問題，使用參數(shù)方程往往比較嚴(yán)密、簡(jiǎn)捷.

幾條二次曲線有公共點(diǎn)的問題，也可以采用聯(lián)立方程組的方法來求解，但其中許多關(guān)系不是充要條件，很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.此題若使用數(shù)形結(jié)合的方法也是非常困難的.此類問題使用參數(shù)方程，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，利用三角函數(shù)的有界性能使得解答嚴(yán)密而又簡(jiǎn)捷.

四、綜合使用有關(guān)參數(shù)解決有關(guān)問題

例7P（x0，y0）（x0≠±a）是雙曲線

（Ⅰ）求雙曲線的離心率；

（Ⅱ）過雙曲線E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為雙曲線上一點(diǎn)，滿足O—→C=λO—→A+O—→B，求λ的值.

本題第一問求出雙曲線的離心率從而尋找到字母a、b、c的關(guān)系，為第二問求λ的值做鋪墊；第二問再利用A、B、C均在雙曲線上，建立含有λ的方程式，化簡(jiǎn)后求出來.關(guān)鍵是利用整體思想設(shè)而不求，消去x1、y1、x2、y2、x3、y3等有關(guān)相伴變量，以達(dá)到化簡(jiǎn)之目的.

由此可知，參數(shù)方程是解決具體數(shù)學(xué)問題的一個(gè)重要方法.利用參數(shù)方程或引進(jìn)參數(shù)主要借助于正、余弦和正切，將多個(gè)變?cè)y(tǒng)一變量，即所設(shè)的參數(shù)，使得問題化繁為簡(jiǎn)、思路清晰、利于計(jì)算求值、易于掌握.歷年高考都把解析幾何作為一個(gè)極為重要的知識(shí)考查點(diǎn)，參數(shù)方法的應(yīng)用在高考中也極為廣泛.G