探析高中數(shù)學(xué)解題中運用構(gòu)造法的措施

☉浙江省寧波外國語學(xué)校羅文靜

探析高中數(shù)學(xué)解題中運用構(gòu)造法的措施

☉浙江省寧波外國語學(xué)校羅文靜

隨著新課改的進(jìn)一步深入，以及新課標(biāo)所出臺的一系列措施，給高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)帶來了一定的挑戰(zhàn).因此，這就需要數(shù)學(xué)教師務(wù)必根據(jù)學(xué)生的實際情況，并結(jié)合新課改下高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱內(nèi)容，切實地對數(shù)學(xué)解題的新思維和新模式進(jìn)行深入的探究，將構(gòu)造法合理地運用到數(shù)學(xué)解題課堂當(dāng)中，讓學(xué)生通過運用構(gòu)造法解決數(shù)學(xué)難題，從而有效提升他們的數(shù)學(xué)解題效率.

一、構(gòu)造法的含義和意義

構(gòu)造法旨在根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論所具有的一些特點與性質(zhì)，進(jìn)一步地構(gòu)造出符合條件和結(jié)論的數(shù)學(xué)形式，能夠?qū)⒔忸}過程中的“未知”條件轉(zhuǎn)化為“已知”量，以達(dá)到有效快速地幫助學(xué)生解決問題的過程.［1］著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.”這句話主要是說構(gòu)造法在實際運用當(dāng)中是通過較為直觀的圖形來表示已知量和解題的關(guān)鍵所在，從另外一個角度來看，也就是說在確定論證之后通過數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解題的過程.可見，構(gòu)造法在實際的運用中，不僅是通過圖形來實現(xiàn)解題，同時在函數(shù)、方程、向量等解題當(dāng)中也發(fā)揮著重要的作用.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，大部分的學(xué)生比較擅長于運用方程和函數(shù)等進(jìn)行解題，而方程與函數(shù)作為構(gòu)造法使用的輔助工具，在解題過程中，不僅加強學(xué)生對當(dāng)前知識的學(xué)習(xí)，還進(jìn)一步地鞏固了他們所學(xué)的知識.同時，構(gòu)造法的使用還會借助于構(gòu)造模型，從而獲得解題的技巧.而構(gòu)造模型方法的使用，進(jìn)一步地加強了學(xué)生創(chuàng)新和思維能力的培養(yǎng).

二、高中數(shù)學(xué)解題中構(gòu)造法的具體運用分析

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，解題教學(xué)作為其中一種重要的教學(xué)方式，在一定程度上影響著學(xué)生的數(shù)學(xué)成績.因此，解題思想也被稱為數(shù)學(xué)思想的主線，而在解決數(shù)學(xué)問題過程中，構(gòu)造法的運用范圍也就越來越廣泛，以下就針對構(gòu)造法在函數(shù)解題、方程解題及向量解題中的具體運用進(jìn)行分析.

1.構(gòu)造法在函數(shù)解題中的運用

函數(shù)構(gòu)造作為高中數(shù)學(xué)解題過程中最常使用的一種構(gòu)造方法，不僅能培養(yǎng)學(xué)生的解題思想，還能提高他們解答實際問題的能力.而函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)解題的重點之一，在函數(shù)學(xué)習(xí)中，不僅要教會學(xué)生掌握解題技巧，同時還要培養(yǎng)他們的解題思想.解題思想作為數(shù)學(xué)解題中的關(guān)鍵，特別是在代數(shù)和幾何類型題中均含有函數(shù)思想，因此在解題過程中，靈活合理地運用函數(shù)構(gòu)造，可將抽象問題具體化，繁雜問題簡單化，從而達(dá)到解題的目的.同時在函數(shù)構(gòu)造轉(zhuǎn)化過程中，充分地發(fā)散學(xué)生的思維能力，并逐步培養(yǎng)他們對問題解答的創(chuàng)造性思維.

例1已知a，b，c∈（0，1），求證a（1-b）+b（1-c）+ c（1-a）＜1.

分析：對于這道題的條件和結(jié)論都有一定的對稱性，如果直接證明，有一定的難度.但是采取構(gòu)造法，那么這道題就能快速地得到解決.

證明：通過構(gòu)造函數(shù)f（a）=（b+c-1）a+（bc-b-c+1）.

因為b，c∈（0，1），所以f（0）=bc-b-c+1=（b-1）（c-1）＞0，f（1）=（b+c-1）+（bc-b-c+1）=bc＞0.

而f（a）是一次函數(shù)，它的圖像是一條直線，所以當(dāng)a∈（0，1）時，恒有f（a）＞0，即（b+c-1）a+（bc-b-c+1）＞0，整理可得a（1-b）+b（1-c）+c（1-a）＜1.

2.構(gòu)造法在方程解題中的運用

方程構(gòu)造在高中數(shù)學(xué)解題過程中也是最為常見的構(gòu)造方法之一，對高中生來說并不陌生.在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，不難發(fā)現(xiàn)方程和函數(shù)直接有著十分密切的聯(lián)系，它們都是根據(jù)題型所給出的結(jié)構(gòu)特征、數(shù)量關(guān)系，進(jìn)行假設(shè)組成一個或者多個等量式子.能夠?qū)⒊橄蠡念}型轉(zhuǎn)化為更加具體和簡單的問題，從而有效地提高學(xué)生解題的速度和質(zhì)量.［2］

例2已知a、b、c為實數(shù)，且滿足a=6-b，c2=ab-9，求證a=b.

分析：從題型的已知條件來看，很難找到解題的突破口，但是通過方程構(gòu)造，能夠迅速地找到解題的思路.

解：根據(jù)已知條件可以得出a+b=6，ab=c2+9，由此可以看得出來，a、b很像一元二次方程的兩個根，根據(jù)所學(xué)的韋達(dá)定理，構(gòu)造方程t2-6t+（c2+9）=0，因為Δ=（-6）2-4（c2+9）≥0，即36-4c2-36=-4c2≥0，所以c2≤0.又因為c是實數(shù)，所以c2≥0，所以a=b.

3.構(gòu)造法在向量解題中的運用

向量作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的重點部分，同時也是數(shù)學(xué)解題中運用十分廣泛的知識點.對于一些難以理解的題目，通過構(gòu)造向量能夠快速地找到解題思路，這樣一來，既能節(jié)省大量的解題時間，又能進(jìn)一步地提高解題效率.特別是對于一些較為復(fù)雜的不等式結(jié)構(gòu)，比如a1a2+b1b2，可以運用向量的數(shù)量積來表示，將原不等式適當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)變形式，從而為不等式的證明提供新的解決方法.

分析：對于這道題的證明，我們可以將要證明的左邊進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)變，這樣正好符合a1a2+b1b2+c1c2的結(jié)構(gòu)，因此，我們可以采取向量的數(shù)量積來表示，并利用x·y≤|x||y|的性質(zhì)，就能輕而易舉地證明此不等式.

三、結(jié)束語

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要具有嚴(yán)密的邏輯性和較強的思維性，是高中學(xué)生所要掌握的基礎(chǔ)學(xué)科.眾所周知，高中是學(xué)習(xí)任務(wù)最重，同時也是學(xué)習(xí)壓力最大的時期，在高中階段安排的眾多課程中，數(shù)學(xué)一直都比較難以被學(xué)生掌握，從而導(dǎo)致部分學(xué)生對數(shù)學(xué)逐漸喪失信心甚至失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性.所以，這就要求數(shù)學(xué)老師在講解數(shù)學(xué)習(xí)題的過程中，要適時運用構(gòu)造法，發(fā)揮構(gòu)造法的效用，根據(jù)分析題型得出的假設(shè)條件和結(jié)論，從不同角度采取新的教學(xué)觀念進(jìn)行觀察與分析，理清解題思路，并按照題型的問題和條件，多去尋找適合解答此題的構(gòu)造方法，從而有效地減少高中生在數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)上的時間，并對提高學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力有一定的幫助.綜上所述，構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中具有十分重要的意義.F