憑借而不依賴，運用而不拘泥
——“對數(shù)函數(shù)”教學(xué)中對教材應(yīng)用的分析與反思

☉江蘇省錫東高級中學(xué)夏曉靜

憑借而不依賴，運用而不拘泥
——“對數(shù)函數(shù)”教學(xué)中對教材應(yīng)用的分析與反思

☉江蘇省錫東高級中學(xué)夏曉靜

2015年10月，云南省普洱市黃鑫數(shù)學(xué)名師工作室的11位教師赴無錫交流考察.筆者代表無錫市何志奇數(shù)學(xué)名師工作室，開設(shè)了一堂交流研討課，課題為蘇教版必修1第3章“對數(shù)函數(shù)”（第一課時），授課對象為四星高中高一年級的學(xué)生，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中等，部分學(xué)生思維活躍，能夠主動參與教學(xué)活動.在授課后的筆者說課及與云南同行交流中，聽課教師對在這堂課中筆者合理利用教材素材、對教材進行改編與重組的做法進行了充分的研討.筆者將本節(jié)課的主要教學(xué)過程與設(shè)計思路整理如下，以期與各位同行探討交流.

一、以學(xué)習(xí)者視角，明確目標，合理定位

教材分析：函數(shù)是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它是貫穿整個高中課程始終的主要內(nèi)容，而本堂課是對數(shù)函數(shù)的第一節(jié)課，對數(shù)函數(shù)是繼指數(shù)函數(shù)之后學(xué)習(xí)的另一個重要基本初等函數(shù)，它與指數(shù)函數(shù)有許多類似之處，但對數(shù)函數(shù)所涉及的知識更豐富、方法更靈活，能力要求也更高.學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)是對指數(shù)函數(shù)知識和方法的鞏固、深化和提高，也為解決函數(shù)綜合問題及其在實際中的應(yīng)用奠定良好的基礎(chǔ).

教學(xué)目標：1.了解對數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系，體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.

2.理解對數(shù)函數(shù)的概念，能正確畫出對數(shù)函數(shù)的圖像，并根據(jù)圖像研究對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

3.通過動手操作與互動交流，培養(yǎng)學(xué)生對比、分析、歸納能力以及數(shù)學(xué)交流的能力.

重點：對數(shù)函數(shù)圖像和性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程.

難點：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

教學(xué)中教師作為教育者，對教學(xué)目標的定位是課堂教學(xué)關(guān)鍵，而要把握好教學(xué)的方向.教師必須作為學(xué)習(xí)者，首先認真研讀課程標準要求，把握好標準對各知識點的要求，合理確定教學(xué)標尺定位.其次研讀教材，系統(tǒng)分析教學(xué)內(nèi)容，把相關(guān)內(nèi)容放到整章，整個模塊甚至整個高中知識結(jié)構(gòu)中，明確該知識點所處的地位和作用；同時以發(fā)展的眼光來解讀教材，關(guān)注教材的調(diào)整變化情況，如本章反函數(shù)內(nèi)容，課程標準中對它在教學(xué)中的作用與要求作了重大的調(diào)整.高一年級教學(xué)同時關(guān)注好初中課標、教材變化給高中教學(xué)帶來的影響.再次合理挖掘顯性知識背后的隱性知識，如數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)文化、理性精神和哲學(xué)思想等情感態(tài)度價值觀的內(nèi)涵.

二、以審視者視角，發(fā)現(xiàn)不足，修改完善

對數(shù)函數(shù)的概念導(dǎo)入，蘇教版教材采用如下的方式：“某細胞分裂過程中，細胞個數(shù)y是分裂次數(shù)x的指數(shù)函數(shù)y=2x，因此，知道x的值，就能夠求出y的值.現(xiàn)在我們來研究相反的問題：知道了細胞個數(shù)y，如何確定分裂次數(shù)x？為了求出y=2x中的x，我們將y=2x改寫成對數(shù)形式x= log2y.對于給定y的值，都有唯一的x的值與之對應(yīng)，把y看做自變量，x就是y的函數(shù)，這樣就得到一個新函數(shù).”我們仔細推敲該導(dǎo)入過程，可以發(fā)現(xiàn)：由于實際問題的自然數(shù)背景，給定一個分裂次數(shù)自然數(shù)x，必定可以對應(yīng)唯一的細胞個數(shù)自然數(shù)y，但是如果任意選取一個細胞個數(shù)自然數(shù)y，則不一定能夠?qū)?yīng)分裂次數(shù)自然數(shù)x，即細胞個數(shù)不能夠取3，5，6…等一些自然數(shù)，否則就沒有實際意義，即y的取值必須是2a，a∈N的形式，因此，輸入y求x的值，本質(zhì)上解指數(shù)方程2x=2a，引入對數(shù)式在該實際問題中沒有體現(xiàn)出它的必要性.

筆者對該問題作如下改進：

教學(xué)片段一：

在會議室內(nèi)，某種病菌在空氣中的濃度為1ppm，若保持空間封閉，在某時間段內(nèi)，每過一小時，病菌的濃度增加到原來的2倍.

問題1：請寫成病菌的濃度y與時間x的函數(shù)關(guān)系？并指出是怎樣的函數(shù)關(guān)系？

生：y=2x，是指數(shù)函數(shù).

問題2：若病菌的濃度達到64ppm，對人體有傷害，若濃度達到100ppm，對人體傷害比較大，你能分別求出這2個時間節(jié)點？

生：令2x=64，2x=100，分別解出方程中的未知數(shù)x，即為對應(yīng)的兩個時間節(jié)點，即x=6，x=log2100.

問題3：在該問題中若已知病菌的濃度y，如何確定時間x？

生：x=log2y.

通過上述三個問題不難發(fā)現(xiàn)，每給定一個病菌濃度y，都會有唯一的時間x與之對應(yīng)，那么這兩個量之間存在著一種新的函數(shù)關(guān)系，這種函數(shù)關(guān)系就是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的新的函數(shù).

筆者改用病菌濃度問題來源于考試題的改編（當然素材的數(shù)據(jù)的科學(xué)性還值得商榷），也是教材問題的改編，由于濃度變化可以近似看做是一個隨時間變化而連續(xù)變化的過程，避免了教材實際問題中兩對應(yīng)變量需要整數(shù)的條件限制（人教版教材注意到了該問題）.問題1的設(shè)計目的承接指數(shù)函數(shù).問題2的設(shè)計是讓學(xué)生感悟到已知濃度求時間這類問題的實際意義，而不是純粹地“為了研究相反的問題”而進行研究，體現(xiàn)研究解決問題的價值所在.而問題3則把具體的問題推廣到一般問題，回到了教材所設(shè)計的導(dǎo)入對數(shù)函數(shù)的環(huán)節(jié).

教科書和教參凝聚著教材編寫人員的心血和智慧，吸取了廣大教師長期教學(xué)實踐中探索的寶貴經(jīng)驗，教材編寫會盡可能地考慮不同教學(xué)實際的需要，但這種努力肯定會受到很多限制.各不同版本教材編寫過程中都可能會出現(xiàn)一些不足與失誤.因此每一版本的教材都會有一個經(jīng)過教學(xué)實踐不斷完善的過程.研讀教材過程中，我們教師可以以審視者的眼光，善于發(fā)現(xiàn)教材內(nèi)容和教學(xué)實際或者學(xué)生實際的差距，敢于找出教材的不足和缺憾，并進行修改、調(diào)整、重組，同時也為教材的修改完善積累實踐素材.

三、以設(shè)計者視角，精心構(gòu)思，精巧設(shè)計

研究對數(shù)函數(shù)圖像，蘇教版教材只提供了需研究2組函數(shù)和電腦excel作圖的頁面，教材敘述比較簡潔.筆者如下設(shè)計：

教學(xué)片段二：

師：我們剛才學(xué)習(xí)了對數(shù)函數(shù)的概念，對這個新的函數(shù)的研究我們往往從哪些方面入手？

生：函數(shù)的圖像、定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性等.

師：首先我們研究對數(shù)函數(shù)的圖像，你想用什么方法？

生：通過列表，描點，連線作圖.

師：對于對數(shù)函數(shù)y=logax，你準備研究哪個函數(shù)？

師（追問）：為什么你要研究這兩個函數(shù)？

生：受指數(shù)函數(shù)y=ax研究時候取值的啟發(fā)，取這2個數(shù)分別對應(yīng)a＞1和0＜a＜1兩種不同情況.

教師活動：巡視學(xué)生作圖情況，并找出代表作品——圖1和圖2進行實物投影并請學(xué)生進行點評.

圖1

圖2

生：圖1的問題是在（0，1）上沒有圖像，圖2的問題在（0，1）上有圖像，但是沒有反應(yīng)變化規(guī)律，或者說變化規(guī)律不清晰.

師（追問）：（0，1）上圖像有什么特點？你怎么得到的？

活動：教師利用電腦excel作圖，展示函數(shù)精確圖像，與學(xué)生作圖進行對比，學(xué)生修正自己作圖.

作對數(shù)函數(shù)的圖像的是本節(jié)課教學(xué)的重點，課堂中通過類比指數(shù)函數(shù)的研究，得出需研究的具體函數(shù).而函數(shù)的圖像固然可以利用現(xiàn)代教育技術(shù)電腦作圖，但是這樣做學(xué)生缺少自己的體驗，特別是函數(shù)圖像在無限靠近y軸這一難點上，如果電腦取值作圖就回避掉了.而通過學(xué)生操作以后教師選取代表性問題的圖像用實物投影展示，通過師生之間、生生之間的交流，讓學(xué)生體會到怎樣合理地取值描點，才能得到正確的對數(shù)函數(shù)的圖像.課標中明確“能借助計算器或計算機畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象”，但這并不代表可以通過電腦把圖像直接灌輸給學(xué)生，在學(xué)生動手實踐操作基礎(chǔ)上，再借助計算器或計算機作圖對學(xué)生準確規(guī)范的作出函數(shù)圖像應(yīng)該更有意義.

教材是一種文本化材料，教材的設(shè)計有簡潔抽象的特點，而課堂是具體的、生動的，教師在應(yīng)用教材時要對之進行具體化、程序化、動態(tài)化的更新、調(diào)整、補充、重組，從而達到教學(xué)設(shè)計的優(yōu)化.教師在過程設(shè)計時必須對相關(guān)問題進行思考，如學(xué)生已具有的哪些個人知識、直接經(jīng)驗、生活實踐可以作為課程資源；學(xué)生需要按照哪種進程進行學(xué)習(xí)更易接受；教材加工后對學(xué)生哪些能力培養(yǎng)是有益的；教材二次開發(fā)后知識的前后聯(lián)系是否緊湊；能否反映教材所涉及的要素及所暗含的目標等.對這些問題的深層思考是用好教材、用活教材的前提.

四、以組織者視角，優(yōu)化組合，合理構(gòu)建

對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的研究，蘇教版教材中是這樣處理的：觀察兩組函像，尋找它們的關(guān)系，得出它們關(guān)于直線y=x對稱的關(guān)系，通過直觀觀察對數(shù)函數(shù)圖像以及對照指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的對數(shù)函數(shù)性質(zhì).

該處理以反函數(shù)為暗線在進行組織串聯(lián)內(nèi)容，而新課程標準對反函數(shù)要求作了較大調(diào)整，它的要求是“知道指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù)（a＞0，a≠1）”；“反函數(shù)的處理，只要求以具體函數(shù)為例進行解釋和直觀理解，不要求一般的討論形式化的反函數(shù)定義”.筆者考慮對自己任教的學(xué)生而言，如果完全按教材設(shè)計組織教學(xué)，由于沒有反函數(shù)的相關(guān)知識，從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度考慮容易產(chǎn)生這樣的困惑：研究對數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)，為什么要和指數(shù)函數(shù)進行對比研究，而不是從函數(shù)自身入手進行研究？而且既然進行對比研究，但又沒有得出相關(guān)的結(jié)論，這樣處理顯得比較突兀，不自然.而兩函數(shù)圖像關(guān)于直線y=x對稱的性質(zhì)，是否能夠作為結(jié)論探索、研究一個新函數(shù)？這樣處理是否有超越課標“解釋和直觀理解”要求之嫌？

參考人教A版教材，筆者作如下組織：

教學(xué)片段三：

師：剛才我們作了具體的對數(shù)函數(shù)的圖像，你能說說對數(shù)函數(shù)有怎樣的一些性質(zhì)？

學(xué)生回答了對數(shù)函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性等.

師：你還能發(fā)現(xiàn)對數(shù)函數(shù)有它自己獨特的其他方面的性質(zhì)嗎？

生：函數(shù)圖像的定點、漸近線、函數(shù)值的正負分類等.

學(xué)生活動1：當a＞1時，y=log2x，y=log3x的圖像有什么樣的變化和規(guī)律呢？請學(xué)生在坐標紙上同一個坐標系內(nèi)畫出這兩個函數(shù)的圖像并加以比較，得出規(guī)律.當0＜a＜1，類比得出結(jié)論.

歸納完成下列表格：

y = l o gax圖像定義域值域奇偶性定點單調(diào)性其他性質(zhì)

學(xué)生活動2：分兩個組在坐標紙上同一坐標系內(nèi)再次畫出函數(shù)y=2x，y=log2x的圖像像加以比較，并觀察出指數(shù)函數(shù)和它相對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)圖像對稱關(guān)系和性質(zhì)對應(yīng)關(guān)系.

筆者組織教學(xué)中，通過學(xué)生作圖觀察對數(shù)函數(shù)圖像，得出其性質(zhì).在理解指、對數(shù)函數(shù)概念，熟悉指、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，再讓學(xué)生探索指、對數(shù)圖像與性質(zhì)之間的關(guān)系，這樣既做到把指、對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)整合起來，做到由此及彼、融會貫通，又比較順暢地感悟兩種函數(shù)定義、圖像、性質(zhì)之間的對應(yīng)關(guān)系，這樣做是對反函數(shù)“以具體函數(shù)為例進行解釋和直觀理解”，比較自然的構(gòu)建知識體系.

教師在組織教學(xué)過程時，教學(xué)過程和活動的設(shè)計、編排必須以課程標準和教科書為依據(jù)，根據(jù)自己所教授學(xué)生的具體情況，不必完全拘泥于教科書知識點的體例結(jié)構(gòu)和編排順序，根據(jù)學(xué)生實際，前后知識的聯(lián)系，參考其他版本的數(shù)學(xué)教材，精心構(gòu)思合理構(gòu)建，真正做到教學(xué)內(nèi)容的有效確定，讓教學(xué)過程能夠發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，加深學(xué)生對知識的認識和理解，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程在教師的引導(dǎo)和啟發(fā)下成為再創(chuàng)造的過程，學(xué)會數(shù)學(xué)地思考問題.

五、以命題者視角，悉心研究，遴選習(xí)題

蘇教版教材上對應(yīng)內(nèi)容的例題安排了兩大題共5個小題.

例1求下列函數(shù)的定義域：

（1）y=log0.2（4-x）；

例2比較下列每組數(shù)的大小：

（1）log23.4，log23.8；

（2）log0.51.8，log0.52.1；

（3）log75，log67.

筆者在教學(xué)過程中，增加了一組練習(xí)：

練習(xí)1：1.下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是_________.

（1）y=log2（x-2）;（2）y=log6x;（3）y=logx3;（4）y=log2x+1.

2.若函數(shù)y=（a2-7a+7）logax為對數(shù)函數(shù)，則a的取值是_________.

變式訓(xùn)練：已知函數(shù)f（x）=lg（kx2+4x+3）的定義域為R，則k的取值范圍為__________.

筆者在例2中增加了兩個題目：（4）1.10.9，log1.10.9，log0.70.8；（5）（lgm）1.9，（lgm）2.1（m＞1）.

教材每一道例題都有一定的教學(xué)目標，其背后都蘊涵著特定的意圖.例1，求函數(shù)的定義域，教材例題簡單明了，避免人為編造的復(fù)雜形式的問題；例2比較大小問題，本質(zhì)上是合理構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性的解決問題.毋庸諱言，教材例題量還是略少，而且都是偏基礎(chǔ)性的要求，如求定義域問題，本質(zhì)上解一元一次不等式，初中及函數(shù)概念學(xué)習(xí)中訓(xùn)練過類似問題，比較大小有指數(shù)大小比較做為基礎(chǔ)，構(gòu)造法比較容易遷移得到.由此教學(xué)中結(jié)合學(xué)生掌握情況適當進行拓展變式還是必要的，蘇教版教材中練習(xí)題也是分“感受理解”、“思考運用”、“研究拓展”三個不同層次.筆者增加了練習(xí)1作為對數(shù)函數(shù)概念理解的補充鞏固，避免了概念教學(xué)單純“一個概念，三項注意”的做法.例1設(shè)置（3）的目的是利用函數(shù)單調(diào)性解不等式，變式訓(xùn)練則是定義域問題的拓展；例2設(shè)置（4）的目的是兩個數(shù)比較大小時合理選擇第三數(shù)作為參照數(shù)進行比較，特別是選取特殊數(shù)0，1加以判斷，（5）則是分類討論這數(shù)學(xué)思想的簡單滲透.

課堂教學(xué)中，對學(xué)生進行有目的、有計劃、形式多樣、層次不一、角度多變的習(xí)題訓(xùn)練，是學(xué)生掌握知識、發(fā)展思維、提高能力的必由之路.例習(xí)題也有不同層次的要求與目標，例題習(xí)題的選取，并不是簡單的教材或者資料習(xí)題的復(fù)制，而要求我們研究教材和考試說明以試卷命題者的眼光，分析教材的例、習(xí)題，把握并研究練習(xí)題的層次和功能，弄清在例、習(xí)題中哪些是基本題，哪些是變式題，哪些是綜合題，哪些是發(fā)展題，哪些又是開放題以及思考題等.推敲每一層次甚至每道練習(xí)題的設(shè)計目的和要求.教師要學(xué)會根據(jù)習(xí)題的表述形式、蘊涵方法、知識聯(lián)系、轉(zhuǎn)化運用等方面對剖析與篩選，真正做到精選、精講、精煉，把課堂教學(xué)效益最大化.

現(xiàn)行的教材內(nèi)容，都是以數(shù)學(xué)課程標準的基本理念和所規(guī)定的教學(xué)內(nèi)容為依據(jù).一方面在努力體現(xiàn)新的教材觀、教學(xué)觀和學(xué)習(xí)觀，同時注意采用措施的可行性，使教材具有創(chuàng)新、實用、開放的特點.另一方面注意處理好繼承與發(fā)展的關(guān)系，既注意反映數(shù)學(xué)教學(xué)改革的新理念，又注意保持我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)教育的優(yōu)良傳統(tǒng)，使教材具有基礎(chǔ)性、豐富性和發(fā)展性.作為一線教師的我們應(yīng)該深入到教材中，以用教材教的理念，發(fā)揮教材的教育功能，以教材內(nèi)容構(gòu)建基本的教學(xué)內(nèi)容；研究教材，理解教材、審視教材，發(fā)現(xiàn)教材的“教學(xué)點”，把教材內(nèi)容轉(zhuǎn)化成有利于學(xué)生學(xué)習(xí)和理解的教學(xué)內(nèi)容.同時要放眼教材之外，合理開發(fā)教學(xué)資源，在認真分析教材內(nèi)容所要實現(xiàn)的課程目標的基礎(chǔ)上，緊密聯(lián)系當前的社會實踐和學(xué)生的生活經(jīng)驗，選擇具體的教學(xué)素材，對教學(xué)內(nèi)容進行必要的調(diào)整，真正地用好教材.

參考書目：

1.王華民，徐科，周德明.關(guān)于解讀教材中目標定位的一點思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2012（4）.

2.中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

3.石樹偉.教科書研讀：入乎其內(nèi)，出乎其外［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2015（9）.G