☉江蘇如皋市第一中學夏雋
一次類比思想使用的復習教學設計
☉江蘇如皋市第一中學夏雋
眾所周知,數(shù)學思想教學是中學數(shù)學中最為高層次的意識形態(tài)的教學,從基本知識、基本技能到知識之間的整合教學,數(shù)學教學一直呈現(xiàn)一種螺旋式上升的過程,當知識間整合教學完成之后,教學又進入一種全新的上升狀態(tài),即思想方法教學.談起數(shù)學思想方法,學生從初中開始就接觸過很多,比如:數(shù)形結合思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想等,這些思想方法都很重要,幫助學生在不同問題間游刃有余、輕松解決.筆者請學生數(shù)過他們了解的一些數(shù)學思想方法,學生可以說出很多思想方法的名稱,除上述之外還有特殊和一般的思想、轉化與化歸的思想、類比思想等,筆者又問這些思想方法間有什么差別?學生一臉茫然.這說明學生并沒有真正地體會數(shù)學思想的重要作用,他們會將方x+b僅有一解時b的范圍用畫圖的方式求出來,就認為已經(jīng)掌握了數(shù)形結合思想.
其實,思想方法本身也有不同的差別,如函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、分類討論思想等可以稱之為具備知識基礎的知識型思想方法,比如:類比思想、轉化與化歸思想等明顯是置身于意識形態(tài)中的更為高端的思想方法,其往往除具備知識外,還極大地引領、開拓學生的思維,這就與課程標準對于思想方法滲透于數(shù)學教學的描述不謀而合.從現(xiàn)階段中學數(shù)學教學來看,類比思想是啟發(fā)學生思維發(fā)展、延伸,幫助其培養(yǎng)創(chuàng)新性思維較好的方法.筆者以解析幾何中圓與橢圓的相似問題做一番設計,從圓的角度出發(fā),來探索如何利用類比思想解決橢圓問題,以筆者之磚引讀者之玉.
大家知道,圓和橢圓有著很多類似的性質(zhì),比如:類似的形態(tài)、直線與其位置關系僅有三種,切線的方程極為相似等,這種相似是偶然的嗎?筆者和大家一起來探索這樣的問題.
先介紹下縱向伸縮變換:將圓x2+y2=a2在縱向均勻壓縮為原來的倍,其表達式變?yōu)樾碌那€,即橢圓= 1(a>b>0),考慮到焦點在y軸的情況類似,故本文只研究焦點在x軸的情形.記:已知圓上點P(x,y)變換成點P′(x′,y′),縱向變換然這是一個一一映射(可逆的),且由于點P、P′的橫坐標相等,因此PP′的連線必垂直x軸.同理:有橫向伸縮變換.
先給出幾個類比伸縮的性質(zhì):
性質(zhì)1:記一個變換為f:其將一條直線變換為另一條直線,則變換后直線斜率為原來直線斜率的倍.
說明:由此可知,若兩直線原來位置關系為平行,則變換后兩直線平行性保持不變.
性質(zhì)2:記一個變換為f:將線段AB分為比值λ的點P變換成分線段A′B′為同一分比的點P′.
說明:這個容易證明,在伸縮變換中這個比值是不變的,可以利用定比分點公式證明,此處簡化.
性質(zhì)3:一個面積為S的三角形經(jīng)f變換后的三角形面積S′=S.
簡證:設△A1A2A3三個頂點的坐標分別為Ai(xi,yi),則xi=x′i,yi=y′i(i=1,2,3).
說明:對于三角形成立的上述性質(zhì),在多邊形中也能成立,即可以將多邊形分解為多個三角形,即變換前
圖1
解析:我們可以想象,若本題的背景是圓,則顯然有KAP·KBP=-1,因此可以肯定經(jīng)過了伸縮變換,在橢圓背景定值.如圖1,把縱坐標變換為原來橢圓變成半徑為a的圓,由性質(zhì)1得定值.(本性質(zhì)可以在橢圓中進行證明,但是運算量比通過伸縮變換證明稍顯復雜一些)
問題2:(2009年安徽高考數(shù)學理科第20題)點P(x0, y0)在橢圓(a>b>0)上,x0=acosβ,y0=bsinβ直線l與直線垂直,O為坐標原2點,直線OP的傾斜角為α,直線l2的傾斜角為γ.求證:點P
分析:問題的實質(zhì)就是證明直線l1是橢圓在點P的切線方程.由過圓x2+y2=a2上一點(x0,y0)的切線方程為x0x+ y0y=a2,可知利用伸縮變換得到直線l1:=1,即為過點P的橢圓切線.
證明:把縱坐標變換為原來的a倍,則橢圓變成半b徑為a的圓,則過圓上點Q(X0,Y0)(Q為P的一一對應點)的切線方程為X0x+Y0y=a2,由伸縮變換因此,l1就是橢圓在點P的切線方程,結論成立.
說明:大家知道,過圓上一點作的切線方程與過圓外一點引兩切線,兩切點連線的方程都是同一結論,而將背景改變?yōu)闄E圓后,其實橢圓中也有類似的結論.對于橢圓中相關切線的證明,可以利用類比思想和伸縮變換,這種方式非常有助于學生從不同的視角看待問題,其并沒有運用一味的運算方式,而是將圓中現(xiàn)成的結論通過伸縮變換直接轉換成橢圓的切線結論,是既高效又簡捷的方式,還充滿了創(chuàng)新的精神.
圖2
記∠AiOAi+1=θi(1≤i≤n-1),式為琴生不等式,因為f(θ)= sinθ在(0,π)上為凸函數(shù),由琴聲不等等號成立,由性質(zhì)3知,橢圓的內(nèi)接n邊形的面為橢圓內(nèi)接n邊形面積的最大值.
對圓和橢圓之間的類比問題解決,筆者初步做了一番上述的探索.類比思想在其中起到了很大的作用,很多以前看似較為困難的問題在類比思想的運用下,簡化了很多,也給我們解決橢圓中類似的問題帶來了全新的解決思路.筆者這一課的教學設計對于思維活躍的學生有著比較好的提高,因此,在教學中若能有效結合常規(guī)解決方案和類比思想下的伸縮變換,有助于這些優(yōu)秀學生更好地開拓新的問題解決視角.
圓錐曲線本身就是一個統(tǒng)一體,為了方便中學生學習,我們?nèi)藶榈貙⑵浞殖闪藞A、橢圓、雙曲線、拋物線四部分.圓和橢圓有著極為相似的性質(zhì)和特點,筆者建議在學習橢圓過程中,恰如其分地引入圓中的一些性質(zhì)、特點,利用圓中問題的解決進而伸縮變換解決橢圓中類似的問題,既簡化了問題解決的過程,又開拓了學生問題解決的思路,增加了學生的視野,也有利于學生創(chuàng)新精神的培養(yǎng).
1.張琴竽.活用伸縮變換巧解橢圓問題[J].中國數(shù)學教育(高中版),2009(10).
2.劉瑞美.對2009年高考中一道圓錐曲線問題的探究[J].中學數(shù)學雜志(高中版),2009(6).F