基于記憶能力在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的案例研究*

☉陜西省咸陽(yáng)師范學(xué)院基礎(chǔ)教育課程研究中心安振平☉陜西省鎮(zhèn)巴縣鹽場(chǎng)初級(jí)中學(xué)劉再平

基于記憶能力在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的案例研究*

☉陜西省咸陽(yáng)師范學(xué)院基礎(chǔ)教育課程研究中心安振平☉陜西省鎮(zhèn)巴縣鹽場(chǎng)初級(jí)中學(xué)劉再平

所謂記憶，是指一個(gè)人在生活實(shí)踐的過(guò)程中把新的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)吸取并保留下來(lái)，而且在有關(guān)的環(huán)境中能提取已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的心理過(guò)程.記憶分為一般記憶和特殊記憶兩種情形.所謂一般性記憶是指一個(gè)人在心理學(xué)意義下的記憶，而特殊性記憶是指一個(gè)人在某一方面的記憶.很自然，我們把以數(shù)學(xué)材料為對(duì)象的記憶稱為數(shù)學(xué)記憶，其特征是一種對(duì)于概括、形式化結(jié)構(gòu)和邏輯模式的記憶.

按照被回憶和再現(xiàn)的數(shù)學(xué)材料，可將數(shù)學(xué)記憶分為如下幾種情形：

（1）對(duì)具體數(shù)學(xué)材料、術(shù)語(yǔ)的記憶；

（2）對(duì)數(shù)學(xué)概念、算法的記憶；

（3）對(duì)數(shù)學(xué)原理、法則、公式的記憶；

（4）對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題類型、解題模式的記憶；

（5）對(duì)數(shù)學(xué)解題方法、解題思想的記憶.

我們知道，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力包括觀察能力、理解能力、概括能力和推理能力等，而一個(gè)人已獲得的經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)不能保留在頭腦中，并在需要時(shí)再現(xiàn)或回憶起來(lái)，就無(wú)法對(duì)新知識(shí)進(jìn)行理解、概括和推理，也就不能達(dá)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)或進(jìn)行數(shù)學(xué)解題的目的.可見(jiàn)，數(shù)學(xué)記憶對(duì)數(shù)學(xué)能力的形成有著重要的影響，離開(kāi)數(shù)學(xué)記憶的數(shù)學(xué)能力是膚淺的.因此，著力培養(yǎng)數(shù)學(xué)記憶能力就顯得十分必要，它是形成數(shù)學(xué)各種能力的重要因素之一.

數(shù)學(xué)記憶的品質(zhì)分為：記憶的牢固性、記憶的深刻性和記憶的準(zhǔn)確性.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不僅要對(duì)已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)概念、定義、定理、公式、法則等記得比較準(zhǔn)與牢，更重要的是數(shù)學(xué)記憶能力的本質(zhì)在于對(duì)數(shù)學(xué)材料及典型的推理和運(yùn)算式的概括的記憶.只有記得準(zhǔn)、記得牢，才有可能直接提高數(shù)學(xué)活動(dòng)的功效，使數(shù)學(xué)解題活動(dòng)得以順利實(shí)施.

一、對(duì)數(shù)學(xué)材料的背景事實(shí)及其本質(zhì)的記憶

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式及其數(shù)量關(guān)系的學(xué)科.為了更好地研究空間形式和數(shù)量關(guān)系，就必須拋開(kāi)它的表面內(nèi)容，但是，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，我們不能拋開(kāi)它們的背景事實(shí)，因?yàn)閿?shù)學(xué)材料的背景事實(shí)與本質(zhì)特點(diǎn)有助于透徹、深刻理解數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，優(yōu)化記憶.

【案例1】北師大版高中教材選修4-5第10頁(yè)在學(xué)習(xí)兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值時(shí)，給出了重要定理：

若a，b∈R+，且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)）.

為了加強(qiáng)對(duì)這個(gè)公式的記憶，我們呈現(xiàn)了其幾何背景來(lái)說(shuō)明這個(gè)公式的實(shí)質(zhì).如圖1所示，作半徑的⊙O，

若AC=a，BC=b，CD⊥AB，

由射影定理CD2=AC·BC=ab，

圖1

【案例2】北師大版高中教材必修4第117頁(yè)在求解15°角的三角函數(shù)值時(shí)，將其轉(zhuǎn)化為45°與30°差的三角函數(shù)，利用差角公式來(lái)解決.如果挖掘了15°角的幾何背景，我們可以直接由下面含30°角的幾何圖形實(shí)現(xiàn)無(wú)字推導(dǎo).

如圖2所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延長(zhǎng)CB到D，使BD=AB，連結(jié)AD，則∠ADC=15°，由圖可知，

圖2

上述圖形比較簡(jiǎn)潔，容易形成記憶，而記住了這個(gè)圖形，也就等價(jià)于記住了15°角的各種三角函數(shù)值，方便運(yùn)算與相關(guān)問(wèn)題的解決.

【案例3】求證：在一次集會(huì)中，握過(guò)奇數(shù)次手的人數(shù)必為偶數(shù).

粗看此題可能會(huì)覺(jué)得無(wú)從下手，但仔細(xì)回想握手的實(shí)際情景，就會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)不為人們所注意的重要事實(shí)，即每當(dāng)握手事件發(fā)生時(shí)，都必須是兩個(gè)人，而對(duì)其中每一個(gè)人來(lái)講，均記握過(guò)一次手，于是握手次數(shù)為2，它是偶數(shù).找到這個(gè)規(guī)律后，容易理解握手的總次數(shù)S一定是偶數(shù)，而總握手的次數(shù)S等于握手次數(shù)是奇數(shù)次的人的握手次數(shù)和M加上握手次數(shù)是偶數(shù)次的人的握手次數(shù)和N，即S=M+N，推知M是偶數(shù)，又因?yàn)橹挥信紨?shù)個(gè)奇數(shù)之和才能是偶數(shù)，故握過(guò)奇數(shù)次手的人數(shù)一定是偶數(shù).

從本例的分析過(guò)程可以看出，生活中鮮為人知的事實(shí)在問(wèn)題解決中起到了開(kāi)闊思路，增加題設(shè)條件的良好效果，若沒(méi)有找出數(shù)學(xué)材料的這種本質(zhì)，解答本題幾乎是不可能事件.因此，要學(xué)好數(shù)學(xué)就必須注意積累并記憶一些常識(shí)性事實(shí)及本質(zhì)，它們是以潛在的、模糊的，甚至是一種感知的形式存在于人的大腦之中，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)必不可少的基礎(chǔ).

二、對(duì)數(shù)學(xué)定義、公式、法則和命題結(jié)構(gòu)形式的記憶

數(shù)學(xué)定義、公式、法則和命題是通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的具體材料進(jìn)行抽象和概括后，用以揭示具體事物的某些本質(zhì)屬性和關(guān)系的思維形式.記憶數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)是學(xué)好數(shù)學(xué)的必要條件.

【案例4】北師大版高中教材必修2第5頁(yè)定義正棱錐——底面是正多邊形，且各側(cè)面全等的棱錐.

它的結(jié)構(gòu)形式是（內(nèi)涵法）：

這就是需要記憶的結(jié)構(gòu)形式，顯然比正棱錐生硬的定義更容易理解與記憶.

【案例5】北師大高中教材選修1-2第73頁(yè)在講述復(fù)數(shù)的概念時(shí)，它的結(jié)構(gòu)形式是（外延法）：

對(duì)于命題、公式結(jié)構(gòu)形式的記憶，關(guān)鍵在于記住它的條件和由條件導(dǎo)出的結(jié)論，還應(yīng)深化理解由條件產(chǎn)生結(jié)論的必然性和唯一性.這里，我們強(qiáng)調(diào)的是理解性的記憶而非機(jī)械記憶，這實(shí)質(zhì)是一種邏輯記憶，對(duì)開(kāi)發(fā)學(xué)生的多元智力有很大的益處.

【案例6】北師大版高中教材必修2第24頁(yè)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

將條件與結(jié)論分離開(kāi)來(lái)，其記憶的結(jié)構(gòu)形式為：如果a∥c，b∥c，那么a∥b.

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須記憶核心的定義、公式和定理等知識(shí)，立足它們的基本結(jié)構(gòu)可以優(yōu)化記憶品質(zhì)，然后通過(guò)其轉(zhuǎn)換、重組產(chǎn)生新的結(jié)論，解決新的問(wèn)題，這是數(shù)學(xué)記憶中特有的一種形式.

三、對(duì)數(shù)學(xué)定義、公式、法則和命題所揭示的本質(zhì)關(guān)系的直觀記憶

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一種由具體直觀到一般抽象的循序漸進(jìn)過(guò)程，反過(guò)來(lái)，在理解了抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系的本質(zhì)屬性前提下，將其又遷移到淺顯直觀的事物當(dāng)中，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象意義下的直觀記憶.這種直觀形態(tài)揭示了更多的數(shù)學(xué)本質(zhì)，濃縮了抽象的本質(zhì)特征，是一種較為有效、高層次的數(shù)學(xué)記憶方式.

當(dāng)然，本題也可用簡(jiǎn)單的三角方程sinx=a（|a|＜1）的通解公式，得其x∈［-2π，2π］的范圍內(nèi)取k值，以k的取值個(gè)數(shù)來(lái)確定其解的總數(shù).

相比之下，直觀的分析求解似乎更自然，更具操作性，但在理解了本題抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系的本質(zhì)屬性前提下，運(yùn)用簡(jiǎn)單的三角方程“sinx=a（|a|＜1）”的通解公式顯然比較簡(jiǎn)捷.由此表明，大腦貯存的知識(shí)工具愈多，解題方法就越靈活，簡(jiǎn)單明了的方法就呼之欲出.

【案例8】北師大版高中教材必修2第98頁(yè)第3題：已知x、y滿足x+y=3，求證：（x+5）2+（y-2）2≥18.

本例是一道經(jīng)典的教材習(xí)題，可從挖掘其幾何意義方面入手實(shí)施下面兩種證明.

證法1：設(shè)（x+5）2+（y-2）2=r2（r＞0），則表示以（-5，2）為圓心，r為半徑的圓，根據(jù)題意圓上的點(diǎn)都滿足直線方程x+y=3，

故（x+5）2+（y-2）2≥（rmin）2=18得證.

證法2：要證（x+5）2+（y-2）2≥18，

因?yàn)辄c(diǎn)（x，y）滿足直線方程x+y=3，即點(diǎn)（x，y）=（x，3-x），

由兩點(diǎn)間的距離公式：

故（x+5）+（y-2）≥18得證.

有趣的是，在我們給出了這道常見(jiàn)問(wèn)題的兩種幾何解釋，挖掘出了經(jīng)典的幾何模型的同時(shí)，如果想到均值不等式和柯西不等式，就有代數(shù)不等式證法；如果將條件直線方程改換為參數(shù)方程，就可以給出換元證法；如果將條件轉(zhuǎn)化代入要證不等式，還可以得到函數(shù)證法、配方證法等妙證.雖然有些方法具有一定的技巧性，教學(xué)中并不要求掌握，但這種知識(shí)之間的本質(zhì)聯(lián)系，印記到學(xué)生的大腦中，也就形成了多途徑解答問(wèn)題的可能性，拓寬了學(xué)生視野，激發(fā)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.

四、對(duì)典型數(shù)學(xué)問(wèn)題及其解決模式的記憶

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，問(wèn)題是核心，特別是一些典型問(wèn)題，它們能代表一類問(wèn)題、一種方法或者一種數(shù)學(xué)思想.熟記這些類型及其解法模式是提高問(wèn)題解決能力的有效途徑.

【案例9】我們知道，北師大版高中教材必修5第27頁(yè)關(guān)于等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式給出了如下概括：

若等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，則用錯(cuò)位

作為數(shù)列求和的一種重要方法，錯(cuò)位相減法有著廣泛的運(yùn)用，對(duì)于由等比數(shù)列{an}與等差數(shù)列{bn}對(duì)應(yīng)項(xiàng)積構(gòu)成的新數(shù)列{anbn}求和問(wèn)題就可用錯(cuò)位相減法來(lái)解決.諸如：?jiǎn)栴}求和一直是高考命題的熱點(diǎn)、重點(diǎn)與難點(diǎn).

【案例10】在△ABC中，求證：

這是涉及正余切函數(shù)的3個(gè)不等式，下面試圖通過(guò)換元，揭示其代數(shù)本質(zhì).

即可

式（2）等價(jià)于

類似于（1）的換元，可知（2）的代數(shù)本質(zhì)是：

對(duì)數(shù)學(xué)解題模式的概括和記憶是數(shù)學(xué)記憶的一種重要形式，只要通過(guò)不斷的思考、歸納和總結(jié)，理解并熟記一些本質(zhì)性的東西，多題歸一，就可以從有限問(wèn)題的訓(xùn)練過(guò)程中獲取解答無(wú)限道問(wèn)題的方法和智慧.案例10表明，從一點(diǎn)出發(fā)，廣泛聯(lián)想、聯(lián)系、發(fā)展，可以擴(kuò)展思維空間，增強(qiáng)知識(shí)結(jié)構(gòu)化的記憶.

【案例11】微積分是大學(xué)數(shù)學(xué)的精華，新一輪的課程改革將其基礎(chǔ)內(nèi)容下放到高中數(shù)學(xué).北師大版高中教材選修2-2第83頁(yè)給出了微積分基本定理（牛頓—萊布尼茨公式）：

如果連續(xù)函數(shù)f（x）是函數(shù)F（x）的導(dǎo)函數(shù)，即f（x）= F′（x），則有：

此公式?jīng)_破了傳統(tǒng)只能求規(guī)則圖形面積的思維束縛，成為計(jì)算由曲線形成的平面不規(guī)則圖形面積的方法模式，也是高考的重點(diǎn)與難點(diǎn).

例如，2015年陜西理科卷填空壓軸題：如圖3，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導(dǎo)致水渠截面邊界呈拋物線型（圖中虛線所示），則原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值是________.

將此題的實(shí)際情境抽象為求梯形面積與拋物線和水平線形成的不規(guī)則圖形面積之比后，運(yùn)用大腦中記憶的微積分基本定理求面積的方法模式，本題便化難為易了.

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)知識(shí)的記憶是不斷發(fā)展和完善的，既要重視基礎(chǔ)知識(shí)的系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化記憶，更要加強(qiáng)解題模式、方法和思想的歸納記憶，又要尋找知識(shí)聯(lián)系的本質(zhì)進(jìn)行對(duì)比記憶.蘇沃諾夫說(shuō)過(guò)：“記憶是智慧的金庫(kù)，要把一切東西迅速地放到該放的地方.”提高數(shù)學(xué)記憶能力的有效途徑在于適時(shí)的科學(xué)化復(fù)習(xí)和進(jìn)行一定量的解題思維訓(xùn)練.

然而，過(guò)多的題海式訓(xùn)練，是十分有害的.模式的變化、變更，思維活化、激發(fā)，將記憶能力的培養(yǎng)貫穿在高中數(shù)學(xué)的日常教學(xué)中，與運(yùn)算能力、推理能力的訓(xùn)練結(jié)合起來(lái)，使得知識(shí)記憶網(wǎng)絡(luò)化，能力發(fā)展動(dòng)態(tài)化.讓學(xué)生的記憶在“聽(tīng)、說(shuō)、讀、寫(xiě)、算、思”中完成、發(fā)展和強(qiáng)化，讓記憶根植于數(shù)學(xué)概念、公式、定理和數(shù)學(xué)思想方法之中，以提升記憶能力有效性和高效性，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展.

圖3

1.曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2006.

2.陳鋒，薛鶯，童偉偉.多元化的“微探究”：從機(jī)械記憶走向理解建構(gòu)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（9）.

3.張奠宙.中國(guó)數(shù)學(xué)雙基教學(xué)［M］.上海：上海教育出版社，2006.

4.安振平，陳寶安.在閱讀理解與思考變化中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2008（7）.

5.安振平，荀春鵬.淺談解題思路的合理選擇［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2000（8）.

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7.劉再平.提煉共性，多題一解［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2014（5）.

8.安振平.開(kāi)展探究性學(xué)習(xí)，從變更課本例題開(kāi)始［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2010（3）.G

*本文獲陜西省名師立項(xiàng)課題（編號(hào)MSKT1523）：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)思維能力的實(shí)踐研究資助.