一次數(shù)學(xué)選修課的實(shí)錄和思考

☉江蘇省海門市四甲中學(xué)沈敏鑒

一次數(shù)學(xué)選修課的實(shí)錄和思考

☉江蘇省海門市四甲中學(xué)沈敏鑒

數(shù)學(xué)選修課是對必修課程的一種良好補(bǔ)充，從學(xué)科體系來講，數(shù)學(xué)選修比較適合開設(shè)知識拓展類等，主要以提高現(xiàn)有知識為主的教學(xué)比較合適.筆者選擇的某次課堂是柯西不等式，基本不等式是高考的必考內(nèi)容，是不等式中最基本的形態(tài)，柯西不等式是對基本不等式的補(bǔ)充，在解決一系列相關(guān)問題時不再需要多次基本不等式去實(shí)現(xiàn)，因此選修探索內(nèi)容選擇柯西不等式是比較切合數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際的.

一、教學(xué)實(shí)錄

1.緣自最近發(fā)展區(qū)，回顧a2+b2≥2ab的幾何模型

師：這是2002年在北京舉行的國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，源自我國古代著名的趙爽弦圖（投影顯示圖1），圖中用四個全等的直角三角形拼成了一個正方形.如果把直角三角形的兩條直角邊邊長分別記為a、b，那么正方形的面積等于多少？

師：所以趙爽弦圖中蘊(yùn)含了怎樣的不等關(guān)系？

圖1

生（集體）：a2+b2≥2ab.

圖5

圖6

師：大家能利用趙爽弦圖說明上述不等式什么時候取等號嗎？

生（集體）：當(dāng)a=b時，四個三角形的面積和就等于正方形的面積.

師：這兒的a、b是三角形的邊長，所以它們都是正數(shù).但我們知道當(dāng)a、b∈R時上述不等式均成立.我們是如何證明的？

生1：a2+b2-2ab=（a-b）2≥0.

師：很好，作差法是證明不等式最基礎(chǔ)也是最重要的方法.

2.以小組合作形式，類比探究柯西不等式

師：以上是關(guān)于兩個實(shí)數(shù)的不等式a2+b2≥2ab，趙爽弦圖中用了四個全等的直角三角形，a、b分別是兩條直角邊邊長.今天我們要更進(jìn)一步，探究關(guān)于四個實(shí)數(shù)的不等式“（a2+b2）（c2+d2）≥？”，借用先賢的智慧，研究四個實(shí)數(shù)a、b、c、d需要怎樣的三角形？a、b、c、d分別是什么？請大家大膽猜測.

生2：四個直角三角形，兩兩全等.a、b分別是其中兩個全等的直角三角形的直角邊邊長，c、d分別是另兩個全等的直角三角形的直角邊邊長.

師：非常好，讓我們一起沿著這位同學(xué)的思路走下去.（教師發(fā)給各小組三角形模型，如圖2）

圖2

師：請同學(xué)們以小組為單位用這四塊三角形拼成你們認(rèn)為可以用來解決問題的圖形.

學(xué)生代表上黑板展示：

圖4

圖3

師：老師看到有6個小組拼成平行四邊形（如圖3），2個小組拼成長方形（如圖4），這兩種圖形都很棒.趙爽弦圖中我們是從哪個角度思考得到不等式a2+b2≥2ab？

生3：圖形的面積.

師：很好，請各小組按自己的圖形繼續(xù)你們的探究，思考其中蘊(yùn)含的不等式.

教師巡視，給予指導(dǎo).

學(xué)生代表1（平行四邊形）：平行四邊形的面積有兩種算法：①如圖3，把平行四邊形看作由四個直角三角形和中間的長方形拼成，那么S平行四邊形=ab+cd+（c-b）（a-d）=ac+bd.②如圖5，設(shè)平行四邊形一內(nèi)角為θ，則S平行四邊形=b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，當(dāng)sinθ=1時取等號.

師：非常好，這樣我們就得到（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+ bd）2.這兒a，b，c，d取值范圍是什么？

生4：a，b，c，d是三角形的邊長，均為正數(shù).

生5：a2+b2≥2ab在圖形推導(dǎo)中僅對正數(shù)成立，但實(shí)際對一切實(shí)數(shù)都成立.這個不等式也可能這樣.

師：那么這個不等式是不是對于任意實(shí)數(shù)都成立呢？讓我們來進(jìn)一步求證.

投影顯示：試證明（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2（a，b，c，d∈R）.

學(xué)生各自嘗試，絕大多數(shù)能獨(dú)立完成證明.

師：從證明中我們可以發(fā)現(xiàn)取等號的條件為ad=bc，這個推導(dǎo)過程哪個更準(zhǔn)確？

生6：ad=bc.

師：這樣我們就得到一個著名的不等式——柯西不等式的最簡呈現(xiàn)方式，即二維形式.

3.從兩個方向出發(fā)完成不等式的初步應(yīng)用

師：下面讓我們走進(jìn)柯西不等式，請同學(xué)們完成下列填空：

（1）（x2+y4）（a4+b2）≥（_______+_______）2；

（2）（x2+y2）（_______+_______）≥（x+yz）2；

（3）（_______+_______）（m2+n2）≥（2mx+3ny）2.

生7：（1）（x2+y4）（a4+b2）≥（xa2+y2b）2；

（2）（x2+y2）（1+z2）≥（x+yz）2；

（3）（4x2+9n2）（m2+n2）≥（2mx+3ny）2.

師：這位同學(xué)的回答對嗎？有沒有不同的意見？

生：全對.

生8：（1）（x2+y4）（a4+b2）≥（xb+y2a2）2.

師：這位同學(xué)的回答正確嗎？

生：也對.

師：所以我們在應(yīng)用柯西不等式時要根據(jù)需要靈活處理.下面請大家思考下題，證明不等式.

應(yīng)用1：已知a，b∈R，證明：（a4+b4）（a2+b2）≥（a3+b3）2.

師：哪位同學(xué)有思路？

生9：用柯西不等式直接可以證明.

（教師通過投影，引導(dǎo)其加以說明）

師：這道題用作差比較法也能解決，但過程沒有如此簡潔.

4.提煉探究方法提出新的問題

師：柯西不等式是著名數(shù)學(xué)家柯西發(fā)現(xiàn)，并以他命名的.今天同學(xué)們通過自己的努力探究也推導(dǎo)出了這個著名的不等式.我們在推導(dǎo)過程中運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法呢？

生10：類比，由a2+b2≥2ab類比.

生11：數(shù)形結(jié)合，從圖形中得到了不等式.

生12：在一開始決定要哪種三角形時進(jìn)行了合情推理.

師：同學(xué)們總結(jié)得很好，你們說的這些是我們探究數(shù)學(xué)問題時的常用方法.數(shù)學(xué)王國還有很多未解決的問題，只要我們勇于探索，勤于思考，完全可以有所作為.今天我們推導(dǎo)出的僅是柯西不等式的二維形式，對于它的其他形式，大家有沒有想法？

生13：三維形式，應(yīng)該和空間向量有關(guān)系.

師：很好的想法，三維形式具體是怎樣的？請大家課后思考.

二、教學(xué)反思

我們的數(shù)學(xué)選修課堂有時基于功利性的需要和認(rèn)識的偏差，存在著去數(shù)學(xué)化現(xiàn)象.教師為了多講一些題型，讓學(xué)生多練習(xí)便“掐頭去尾燒中段”，讓我們的學(xué)生沒有時間自己去發(fā)現(xiàn)問題、探究問題.在這樣的數(shù)學(xué)課堂不可能培養(yǎng)學(xué)生高層次的思維能力，特別是探究能力.本節(jié)選修課設(shè)計以學(xué)生終身發(fā)展為目標(biāo)，意在培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、探究問題的熱情和能力.

1.多給“動起來”的機(jī)會，使學(xué)生樂于探究

課堂中學(xué)生動腦思考探究方法、動手拼圖形、動筆進(jìn)行運(yùn)算、動口匯報成果，給學(xué)生充分“動起來”的機(jī)會，讓學(xué)生充分展示自我，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使他們樂于探究.對于學(xué)生拼成的兩種圖形都給予肯定，讓他們有機(jī)會沿著自己的道路前進(jìn).培養(yǎng)學(xué)生個性化學(xué)習(xí)正是培養(yǎng)學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)能力的目標(biāo).學(xué)生在對問題的探索時表現(xiàn)出較高的積極性.當(dāng)他們自己推導(dǎo)并證明了二維形式的柯西不等式時，顯得十分興奮，情緒空前高漲.正式上課巡視時發(fā)現(xiàn)有一小組的學(xué)生用四個直角三角形拼了兩個矩形，這是筆者多次課堂上都沒有遇到的情況.當(dāng)時認(rèn)為這個圖形與趙爽弦圖相距較遠(yuǎn)，也害怕計劃外的討論會影響教學(xué)任務(wù)的完成，所以建議學(xué)生換個拼圖方法.課后發(fā)現(xiàn)如果在圖形外沿描繪一個矩形，這個矩形和圖4中的一樣.把兩張圖結(jié)合起來，利用空白部分的面積，可以馬上得到等式sinθ.這種圖形的變換可以作為柯西不等式的另一種幾何詮釋.這是本節(jié)課的遺憾之處.

2.進(jìn)行選修教學(xué)評析，使學(xué)生善于探究

探究過程中通過提問的方式進(jìn)行活動評析，確定探究方法、體會思想.探究過程的每一個環(huán)節(jié)：直角三角形的選擇、用直角三角形拼四邊形、從面積出發(fā)建立不等關(guān)系、不等式成立范圍的討論等等，幾乎都在與不等式a2+b2≥2ab相類比.令學(xué)生對“類比”這一科學(xué)探究中的重要思想方法印象深刻，從幾何直觀入手的做法亦能使學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合思想在研究不等式中的作用.課堂小結(jié)也是對探究活動的評析.總結(jié)探究時所運(yùn)用的思想方法，并讓學(xué)生學(xué)會提出問題，使他們善于探究.

公式的推導(dǎo)證明及向量形式部分耗時約25分鐘，所以不等式應(yīng)用環(huán)節(jié)意在讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉柯西不等式，只安排了最基礎(chǔ)的題型，沒有過多地展開，應(yīng)用部分將在下一課時重點(diǎn)教學(xué).這樣的安排不僅能較好地完成教學(xué)目標(biāo)，使學(xué)生體驗(yàn)到探究的樂趣，還有助于學(xué)生形成正確的思維方式，培養(yǎng)他們發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力.當(dāng)然探究能力的培養(yǎng)是長期的教學(xué)任務(wù)，不可能一蹴而就.這需要我們教師堅持不懈地反思自己的教學(xué)，明確怎樣做才能有利于學(xué)生探究能力的養(yǎng)成，從而調(diào)整教學(xué)方法.

1.陳雪松.柯西不等式的教學(xué)實(shí)踐及反思［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2009（10）.

2.李廣修.追求非功利化的數(shù)學(xué)教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2014（2）.G