全面踐行數(shù)學核心素養(yǎng)
——《三角函數(shù)的應用》教學實錄

☉江蘇省錫山高級中學陳敏☉江蘇省錫山高級中學方莉

全面踐行數(shù)學核心素養(yǎng)
——《三角函數(shù)的應用》教學實錄

☉江蘇省錫山高級中學陳敏☉江蘇省錫山高級中學方莉

數(shù)學核心素養(yǎng)是具有數(shù)學基本特征的、適應個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的人的關(guān)鍵能力與必備品質(zhì).也就是個體面對復雜的、不確定的情境時，綜合運用數(shù)學知識、觀念、方法解決實際問題所表現(xiàn)出來的關(guān)鍵能力與必備品質(zhì).東北師范大學史寧中教授與首都師范大學王尚志教授在修訂《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》時，認為數(shù)學核心素養(yǎng)主要包括數(shù)學抽象、運算能力、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等幾個方面.用一句話概括，就是“用數(shù)學眼光觀察世界，用數(shù)學思維分析世界，用數(shù)學語言表達世界”.

數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程.主要包括：在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建構(gòu)模型、求解結(jié)論、驗證結(jié)果并改進模型，最終解決實際問題.數(shù)學模型構(gòu)建了數(shù)學與外部世界的橋梁，是數(shù)學應用的重要形式.數(shù)學建模是應用數(shù)學解決實際問題的基本手段和推動數(shù)學發(fā)展的重要動力.

數(shù)學建?；顒邮沁\用模型思想解決實際問題的綜合實踐活動，是高中數(shù)學課程的重要內(nèi)容，在數(shù)學建?；顒舆^程中，逐步提升數(shù)學建模、數(shù)學抽象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算、邏輯推理和直觀想象素養(yǎng)，可以說數(shù)學建?；顒尤嬷赶驍?shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展.

現(xiàn)實生活中有許多周期現(xiàn)象，如彈簧振子、摩天輪、大海潮汐、日出日落、月圓月缺、四季交替、人體節(jié)律變化等都可以用三角函數(shù)進行模擬，三角函數(shù)在解決實際問題中有著廣泛的應用.通過這部分內(nèi)容的教學，能很好地培養(yǎng)學生“數(shù)學地觀察、數(shù)學地思考、數(shù)學地表達”的習慣，全面踐行數(shù)學核心素養(yǎng).

用三角函數(shù)模型解決實際問題的基本步驟如下：

以上解決實際問題的基本步驟的“內(nèi)環(huán)”就是數(shù)學核心素養(yǎng)的主要方面，“外環(huán)”就是數(shù)學核心素養(yǎng)的一句話概括.

下面以高中數(shù)學蘇教版《三角函數(shù)的應用》課堂實錄為例具體說明，以饗讀者.

教學實錄：

我們知道物體做簡諧運動時，位移s和時間t的關(guān)系式為s=Asin（ωt+φ）（A＞0，ω＞0），如彈簧振子，現(xiàn)實生活中還有許多周期現(xiàn)象，如摩天輪、大海潮汐等也可以用三角函數(shù)進行模擬嗎？這節(jié)課我們就來探討三角函數(shù)的應用.

設計意圖：指出三角函數(shù)能夠模擬許多周期現(xiàn)象，它在解決實際問題中有著廣泛的應用，引出課題.

一、課題引入

引例：如圖1，點O為做簡諧運動的物體的平衡位置，取向右的方向為物體位移的正方向，若已知振幅為3cm，周期為3s，且物體向右運動到距平衡位置最遠處時開始計時.

（1）求物體對平衡位置的位移x（cm）和時間t（s）之間的函數(shù)關(guān)系；

（2）求該物體在t=5s時的位置.

圖1

呈現(xiàn)方式：用Flash動畫演示彈簧振子的周期運動，并形成三角函數(shù)曲線運動軌跡.

設計意圖：引例比較簡單，通過引例的解決，學生大致形成用三角函數(shù)模型在解決實際問題的基本步驟.

師生互動：教學中設置“問題串”引導學生步步思考，層層深入.

師：根據(jù)物理知識和前面所學的知識，應選擇怎樣的函數(shù)模擬物體的運動？

生1：用函數(shù)x=Asin（ωt+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π）來表示簡諧運動物體對平衡位置的位移x（cm）和時間t（s）之間的函數(shù)關(guān)系.

師：由已知條件怎樣求A、ω和初相φ？物體向右運動到距平衡位置最遠處時開始計時的數(shù)學含義是什么？

師：該物體在t=5s時的位置在哪里？

二、數(shù)學建構(gòu)

學生回顧引例的解決過程，試著總結(jié)出用三角函數(shù)模型解決實際問題的基本步驟.

三、數(shù)學運用

游樂場里的摩天輪，用于發(fā)電的大風車，隨水而轉(zhuǎn)的水輪這些都是生活中常見的，能否用三角函數(shù)進行模擬？若可以，按照三角函數(shù)模型解決實際問題的基本步驟，可以解決一些相關(guān)問題.

教材原題:

如圖2，一個半徑為3m的水輪，水輪圓心O在水面上方且距離水面2m，已知水輪每分鐘逆時針轉(zhuǎn)動4圈，如果當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時（圖中點P0）開始計算時間.

圖2

（1）將點P距離水面的高度Z（m）表示為時間t（s）的函數(shù)；

（2）點P第一次到達最高點大約要多長時間？%

這是蘇教版教材中的原題，考慮到該水輪的圓心不在水面上，學生理解上有些困難，再加上φ不是特殊角，計算起來數(shù)據(jù)也比較煩瑣，考慮到無錫學生熟悉的生活環(huán)境，使問題解決有坡度，筆者搭了一個“腳手架”，鋪設了一個臺階，這樣學生就可以拾級而上，數(shù)學思維層層遞進.

呈現(xiàn)方式：幾何畫板動態(tài)演示水輪的轉(zhuǎn)動以及P點離水面的高度隨時間的變化軌跡.

設計意圖：教師一個重要的任務就是把數(shù)學的學術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學生易于接受的教育形態(tài)，以學生為中心，遵循學生的認知規(guī)律，“蹲下來”從學生的角度出發(fā)，適當搭設思維的“腳手架”——接題.

教材原題的入口銜接：

例1如圖3，美麗的蠡湖湖畔有一個半徑為3m的水輪，水輪圓心O恰在水面上，已知水輪每分鐘逆時針轉(zhuǎn)動4圈，如果當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時（圖中點P0）開始計算時間.試將點P距離水面的高度z（m）表示為時間t（s）的函數(shù)；

圖3

思考一：幾何畫板動態(tài)演示水輪的轉(zhuǎn)動以及P點離水面的高度隨時間的變化軌跡表明，點P距離水面的高度Z關(guān)于時間t的函數(shù)關(guān)系式為z=Asin（ωt+φ）（A＞0，ω＞0），然后根據(jù)A，ω，φ各自的物理意義求之.

思考二：利用點P距離水面的高度與P點的縱坐標的關(guān)系，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義解決.

本題中，建立坐標系，用P點轉(zhuǎn)過的角來表示P點的縱坐標是解題的重點和難點，為此筆者設計了如下教學過程：

師：水輪每分鐘逆時針轉(zhuǎn)動4圈，那么t秒鐘轉(zhuǎn)過的角是多少？

師：根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，P點距水面的高度與P點轉(zhuǎn)過的角度有何聯(lián)系？

生2：P點距地面的高度與P點轉(zhuǎn)過的角度的正弦值有關(guān).

師：筆者們可以嘗試利用三角函數(shù)定義來解決，先建立平面直角坐標系，再利用P點的縱坐標來表示P距離水面的高度，如何用P點轉(zhuǎn)過的角來表示P點的縱坐標呢？

生3：建立如圖所示的坐標系，P點經(jīng)過t秒后對應的以Ox為始邊，OP為終邊的

有了上述“腳手架”，教材中原來的例題的解決便水到渠成.

教材原題的優(yōu)化改進：

考慮到教材中原來的例題的數(shù)據(jù)是一個近似值，可以在符合實際意義的前提下加以優(yōu)化改進（如圖4），把水輪圓心O在水面上方且距離水面2m改為P點縱坐標特殊角，沒有降低數(shù)學思維的考查要求，而計算起來就方便多了.

圖4

變式：一個半徑為3m的水輪，水輪圓心O在水面上方且距離水面1.5m，已知水輪每分鐘逆時針轉(zhuǎn)動4圈，如果當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時（圖中點P0）開始計算時間.

（1）將點P距離水面的高度z（m）表示為時間t（s）的函數(shù)；

（2）點P第一次到達最高點需要多長時間？

解：（1）方法一：設函數(shù)關(guān)系式為z=Asin（ωt+φ）（A＞0，ω＞0），然后根據(jù)A，ω，φ各自的物理意義求之.

方法二：利用點P距離水面的高度與P點的縱坐標的關(guān)系，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義解決.

設計意圖：教材例題解決了不能就此作罷，為進一步挖掘它的教育教學功能，可以在教材例題改編的基礎上更進一步，設計一個意境優(yōu)美的問題考查學生三角不等式的解法，也為接下來海水潮汐問題埋下伏筆.同時也大大提高了學生的學習興趣.

教師追問：假設這鳥兒只顧欣賞美景，不小心被卡在點P處不能動彈，而且這只鳥兒在水中一次憋氣最長4秒鐘，從愛護鳥類的角度考慮，結(jié)合本題的三角函數(shù)模型，你能設計一個問題嗎？

學生異常興奮，積極思考，踴躍發(fā)言.

學生設計問題：水輪每分鐘至少轉(zhuǎn)幾圈，這只鳥兒才不會被憋死？

事實上，設水輪每分鐘至少轉(zhuǎn)n圈，則每秒鐘轉(zhuǎn)過=5（s），故點P第一次到達最高點需要5s.

教材原題的拓展延伸：

拓展：美麗的蠡湖湖畔有一個半徑為3m的水輪，水輪圓心O在水面上方且距離水面1.5m，已知水輪每分鐘逆時針轉(zhuǎn)動4圈，如果當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時（圖中點P0）開始計算時間.假設一只鳥兒在點P處，而且它離水面至少3m才能鳥瞰蠡湖全景，試問這只鳥兒飽覽蠡湖全景的時間有多長？

設計意圖：增強學生提出問題的意識和能力，同時也呼喚學生善待生命的仁愛之心以及人與自然和諧相處的環(huán)保意識.

例1小結(jié)：圓周運動可以用三角函數(shù)模擬，要注意結(jié)合任意角三角函數(shù)的關(guān)系以及和物理中簡諧運動的相關(guān)知識求出三角函數(shù)關(guān)系式，通過建立三角方程或三角不等式解決相關(guān)實際問題.

四、拓展探究

例2（根據(jù)教材《探究案例：港口水深的變化與三角函數(shù)》改編）

海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.下表是某港口某一天從0:00時至24:00時記錄的時間t（h）與水深y（m）的關(guān)系如下表：

時刻0 : 0 0 3 : 0 0 6 : 0 0 9 : 0 0 1 2 : 0 0 1 5 : 0 0 1 8 : 0 0 2 1 : 0 0 2 4 : 0 0水深1 0 . 0 1 3 . 0 9 . 9 7 . 0 1 0 . 0 1 3 . 0 1 0 . 1 7 . 0 1 0 . 0

（1）選用一個函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關(guān)系.

（2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，安全條例規(guī)定至少要有4.5米的安全間隙（船底與海底的距離），船舶在港內(nèi)停留時可以不考慮安全間隙，那么該船在什么時候可以進港？若該船要當天安全離港，一次進港后，它在港內(nèi)停留最多不能超過多長時間？

呈現(xiàn)方式：幾何畫板動態(tài)演示海港的潮汐現(xiàn)象；利用Excel畫出散點圖.

分析：對表中的數(shù)據(jù)進行分析，作出散點圖.從散點圖的形狀可以判斷，這個港口的水深與時間的關(guān)系可以用形如y=Asin（ωx+φ）+h的函數(shù)來刻畫.其中x是時間，y是水深，根據(jù)數(shù)據(jù)可以具體確定A，ω，φ，h的值.

解析：（1）以時間為橫坐標，水深為縱坐標，畫出散點圖（如圖5）.

根據(jù)圖象，可以考慮用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+h刻畫水深于時間之間的對應關(guān)系.從數(shù)據(jù)和圖像可以得出：A=口的水深與時間的函數(shù)關(guān)系可［0，24］近似描述.由上述關(guān)系易得港口在整點時水深的近似值.

圖5

（2）貨船需要的安全水深為7+4.5=11.5（m），

所以當y≥11.5時就可以進港.

設計意圖：蘇教版教材中《探究案例：港口水深的變化與三角函數(shù)》，敘述煩瑣，數(shù)據(jù)復雜，學生不易理解，在不減少考查內(nèi)容、不降低考查要求的前提下，筆者“得其意，忘其形”，進行了改編.

例2小結(jié)：用三角函數(shù)擬合實際問題一般步驟為：（1）畫散點圖；（2）確定擬合函數(shù)；（3）構(gòu)建三角函數(shù)或三角不等式；（4）回到實際問題檢驗說明.

五、課堂小結(jié)

三角函數(shù)在解決具有周期現(xiàn)象的實際問題中有著廣泛的應用.本節(jié)課同學們通過建立三角函數(shù)模型，解決了一些實際問題，體現(xiàn)了數(shù)學建模的思想，提高了數(shù)據(jù)分析處理的能力，基本掌握了用三角函數(shù)模型解決實際問題的主要步驟，有了初步的實際問題數(shù)學化的意識與能力.希望同學們平時能夠數(shù)學地觀察、數(shù)學地思考、數(shù)學地解決、數(shù)學地表達！

六、作業(yè)布置

除本節(jié)課設計的彈簧振子、水輪圓周運動、大海潮起潮落外，生活中還存在著大量的周期現(xiàn)象，如日出日落、月圓月缺、四季交替、脈搏跳動、人體節(jié)律變化、波的傳播、交流電等等，請你就某一個周期現(xiàn)象留心觀察，采集、分析、處理數(shù)據(jù)，深入思考，建立三角函數(shù)模型數(shù)學地解決，撰寫一份研究報告.G