數(shù)學(xué)求導(dǎo)思想在化學(xué)工業(yè)難題中的應(yīng)用

加兵

摘要：文章從建立函數(shù)關(guān)系式，用求導(dǎo)數(shù)的方法解決了合成氨中氫氮最佳投料比這一極值問題，探索和提供了解決極值問題的全新的思路和方向，培養(yǎng)了學(xué)生在化學(xué)學(xué)習(xí)過程中養(yǎng)成言之有理、論之有據(jù)的習(xí)慣。

關(guān)鍵詞：平衡氨含量；導(dǎo)數(shù)；隱函數(shù)；復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)；函數(shù)的單調(diào)性

文章編號(hào)：1008-0546（2016）05-0076-02 中圖分類號(hào)：G633.8 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

doi：10.3969/j.issn.1008-0546.2016.05.030

一、問題的提出

氨是生產(chǎn)硫酸銨、硝酸銨、碳酸氫銨、氯化銨、尿素等化學(xué)肥料的主要原料，也是硝酸、燃料、炸藥、醫(yī)藥、有機(jī)合成塑料、合成纖維、石油化學(xué)工業(yè)等的重要原料。因此，合成氨工業(yè)在國民經(jīng)濟(jì)中占有十分重要的地位。

氫和氮合成氨的反應(yīng)如下：

N2（g）+3H2（g）2NH3（g）；ΔH=-92.4kJ·mol-1

此反應(yīng)具有可逆、放熱、體積縮小的特點(diǎn)。其平衡常數(shù)用分壓表示為：

Kp=

由平衡移動(dòng)原理可知，加壓有利于平衡正移，提高平衡氨含量，考慮到反應(yīng)速率，本反應(yīng)還使用了催化劑，并適當(dāng)提高反應(yīng)溫度至500℃左右。可是當(dāng)參加反應(yīng)的氫氣、氮?dú)獾奈镔|(zhì)的量比值為多少時(shí)可獲得最大的平衡氨含量呢？

二、數(shù)學(xué)求導(dǎo)思想的應(yīng)用

在長期的高中教學(xué)實(shí)踐中，每當(dāng)有學(xué)生就此類問題問到我時(shí)，我只能找到已有的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸納總結(jié)，把最佳比值作為一個(gè)經(jīng)驗(yàn)結(jié)論告訴學(xué)生。學(xué)生接受起來比較勉強(qiáng)，我自己對這樣的教學(xué)效果也不滿意，為此我向同事求教討論，查閱了化工資料和高中及大學(xué)數(shù)學(xué)課本，進(jìn)行研究和探討，用嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理算出了最佳比值。

平衡氨含量是在一定的溫度、壓強(qiáng)和氫氮比等條件下，反應(yīng)達(dá)到平衡時(shí)，氨在氣體混合物中的物質(zhì)的量分?jǐn)?shù)。平衡氨含量即反應(yīng)的理論最大產(chǎn)量，我們將這一實(shí)際的極值問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的函數(shù)問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的極值問題。

設(shè)平衡后混合氣體中含有N2、H2、NH3氣體，平衡時(shí)體系總壓為P，以上三種氣體的物質(zhì)的量分?jǐn)?shù)分別用xN、x、x表示，

那么x+x+x=1①

由道爾頓分壓定律：P（N2）=P·xN2②

PH2=P·xH2③

PNH3=P·xNH3④

令n=，則：xH=n·xN⑤

將⑤帶入①，得到：xH+n·xN+x=1

整理得：xH=（1-x）⑥

將⑥代入⑤得xH=（1-x）⑦

將④、⑥、⑦代入平衡常數(shù)表達(dá)式：Kp=

=

=

=

將上式變形得：Kp·P 2·=⑧

由⑧可看出影響平衡時(shí)氨含量x2NH3大小的因素有三個(gè)：平衡體系總壓P，平衡常數(shù)KP（與溫度有關(guān)），n值（即氫氮比），也可把⑧式看作xNH3=f（n）的一個(gè)隱函數(shù)，此時(shí)問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)n取何值時(shí)xNH3最大？導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)最大（?。┲祮栴}的最一般、最有效工具。普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)選修2-2》第一章，第4節(jié)針對這類優(yōu)化問題舉出了很多解決范例。

同樣，對于⑧式，當(dāng)=0時(shí)，x可取得極大值，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則Ⅰ和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則Ⅱ?qū)Β鄡啥朔謩e對n求導(dǎo)：

Kp·P 2·=·

Kp·P 2·

=·

=·⑨

觀察⑨式右邊，分子不可能為零（∵0

故若要=0，必然要求=0

即3n2（n+1）4-4（n+1）3·n3=0

3（n+1）=4n

n=3

即=時(shí)，x可取最大值。

又因?yàn)镠2、N2達(dá)平衡過程中的變化量之比也為3∶1，則有效投料為3∶1時(shí)，平衡混合物中氨的物質(zhì)的量分?jǐn)?shù)最大。

對⑨式也有稍簡便的處理：觀察⑨式左邊可知，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，為一取值大于零的單調(diào)遞增函數(shù)，則在相應(yīng)定義域上也為單調(diào)遞增函數(shù)Ⅲ。

故：當(dāng)取極大值時(shí)，取極大值，那么x也同時(shí)取到最大值。

令：=0，即=0

3n（n+1）-4（n+1）·n=0

3（n+1）=4n

n=3

兩種證法均是用求導(dǎo)數(shù)的方法解決了合成氨中的投料優(yōu)化問題，即H2、N2的有效投料為3∶1時(shí)，平衡混合物中氨的物質(zhì)的量分?jǐn)?shù)最大。

參考文獻(xiàn)

[1] 崔恩選主編.化學(xué)工藝學(xué)（第二版）[M]. 北京：高等教育出版社，2000

[2] 課程教材研究所著.數(shù)學(xué)（高中）選修2-2[M]. 北京：人民教育出版社，2011

[3] 同濟(jì)大學(xué)教研室主編.高等數(shù)學(xué)（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，1993