微積分基本概念教學淺析

劉曉莉

[摘要]微積分基本概念是微積分知識體系的基礎和核心，是教學研究的一個重要主題。本文就微積分基本概念教學的特征及策略進行分析和探討。

[關鍵詞]微積分；基本概念；教學法

微積分學是一個科學合理、邏輯嚴謹?shù)闹R體系，是由一個個相互之間有著密切聯(lián)系的知識點構成，每個知識點都構筑在基本概念之上，形成了相應的基本理論和方法，其中所貫穿的數(shù)學思想、思維方法是人類智力的偉大成就之一，是培養(yǎng)學生邏輯思維能力和推理能力重要基礎，是大學生素質教育的重要載體。

微積分的精髓在于極限、連續(xù)、導數(shù)、微分、積分等基本概念中，深刻理解這些概念是學好大學數(shù)學課程的基礎。但由于這些概念理論性、邏輯性較強又相對抽象，其思維模式與初等數(shù)學差別較大，容易混淆。很多學生會求導、做積分運算，但對概念中蘊含的思想并不理解，對概念間的關系認識模糊；還有學生感覺無論怎么認真努力，還是難以理解有些概念，以至于對數(shù)學課望而生畏。因此，加強基本概念教學極其重要。

1。重視概念構建體系的引申

數(shù)學概念的建構是認識主體（學生）與客體的相互作用的過程，是認識主體以其已有的知識和經驗為基礎的主動建構過程。建構的結果表現(xiàn)為學生對數(shù)學概念的理解、掌握和應用。概念的形成在數(shù)學學習中占有十分重要的位置，因此在微積分的教學過程中要特別注重概念的建構。

微積分學中的極限、導數(shù)、微分、積分等基本概念，蘊涵了高等數(shù)學理論體系中的基本思想，其中嚴謹?shù)臉O限理論體系貫穿其中，是微積分的內核與根基，是學習連續(xù)、導數(shù)、全微分等概念的前提，必須加強極限概念的教學。雖然極限、導數(shù)等也是中學數(shù)學的教學內容，但在極限、連續(xù)、可導之間的邏輯和理論分析上相對比較薄弱，所以需采用重點知識集中強化銜接，新舊結合的方法引導學生進行逐步地分析、概括基本概念和方法，幫助學生深入理解基本概念本質。

現(xiàn)代數(shù)學有總多的分支，都有一個共同的根基，就是集合論。集合論中最基本的概念為集合，映射，函數(shù)，等價等，對于這些簡單概念的理解，是學習微積分以及進一步學習其他數(shù)學分支的基礎。所以，一般高等數(shù)學教材的第一章都會介紹這些基本概念。但是，不少教師認為這都是中學的內容，不予以重視。事實上，不少學生對冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的理解不夠透徹，對反三角函數(shù)也比較陌生，所以，應調整教學計劃，加強集合論、基本初等函數(shù)以及符號函數(shù)、取整函數(shù)，狄利克雷等函數(shù)的教學，加強學生數(shù)學的基礎，提高其對數(shù)學概念的理解、應用和轉化能力。

2。加強概念相互聯(lián)系的展示

數(shù)學是一門前后知識連貫性較強的學科，每一個新的知識點，往往都以舊知識點為支撐，微積分學也不例外。一般來說，學生對微積分學基本概念理解得不夠好的原因之一是，所獲得的知識點比較零散、孤立，缺乏與其他知識點間的聯(lián)系。所以，進行新概念的教學時，一方面要善于與已學的概念加以比較，展示概念間的密切聯(lián)系，找出其共性與個性，進行分析。例如，連續(xù)和導數(shù)定義都是利用極限來定義的，將左、右極限定義以及極限存在的充要條件加以強調和闡述后，提出左連續(xù)的概念，使學生盡快聯(lián)想到右連續(xù)以及連續(xù)的充要條件。

另一方面，要引導學生能對某些概念加以適當推廣、引申，為今后學習新概念鋪墊基石。例如，在多元積分學中，由于多元函數(shù)性質的復雜性，學習難度增大，如果再孤立地講解幾種類型積分的基本概念，學生會感到更加難于理解。所以，可以定積分的概念為橋梁，采取歸納、類比的方法，引入概念，強調積分學中的定積分、重積分、兩類曲線積分、兩類曲面積分的概念之間的關系及異同，使學生認識到，無論是哪類積分，都是由分割—近似—求和—取極限這幾個基本步驟形成，幫助學生建立其關系網絡，把握各類積分的本質，建立積分概念體系。

3。重視概念直觀模型的引入

微積分學概念都基本上是在解決實際問題基礎上抽象發(fā)展形成的，都有相對應的直觀模型，充分挖掘概念的直觀模型，并能根據(jù)教授學生所屬學科，找出相應的例子，將抽象的數(shù)學概念，轉化成“看得見摸得著”的具體對象，拓展學生對現(xiàn)實生活中事物變化規(guī)律的認識與刻畫，使學生掌握好數(shù)學知識同時也受到一定的數(shù)學應用訓練。

例如，對于導數(shù)的概念，盡量避免將其作為特殊極限來引入，最好是通過實際背景或具體應用方面的實例，使學生了解導數(shù)是對事物變化快慢的一種描述，是研究客觀事物變化率和優(yōu)化問題的有力工具，是一類事物或現(xiàn)象在數(shù)量方面共同具有的特征。其直觀模型不僅有瞬時速度、切線斜率、增長率、電流強度、線密度、膨脹率、效率等，還可以表示瞬時加速度、角速度以及經濟中的邊際、彈性等，使學生明白導數(shù)的思想和本質以及與真實現(xiàn)象間的特殊關系。

又如，對于散度概念的教學，也可利用直觀描述，進行適當?shù)姆治?，說明在流速場中，散度主要刻畫一個點是否為源，以及源的正負與大?。辉陔妶鲋?，散度則表示在一個點處是否存在電荷，以及電荷的正負與電量的大小；如果將散度與通量相比較，通量反映的是全局性態(tài)，而散度表示的是一點處的性態(tài)。這樣，學生不僅記住了散度的公式，也會對散度的應用有深刻的理解，提高學生對理論教學的興趣。

4。結 語

微積分概念教學法的研究是大學數(shù)學教學改革的重要組成部分，需要教師深入鉆研教材，透徹理解所教授概念的實質，梳理新認識、新問題，不斷積累和沉淀，才能在提高教學質量等方面取得顯著的效果。

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