說說表示不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型

田載今

前面我們學(xué)到過等式（包括方程），知道它可以表示實(shí)際問題中的相等關(guān)系，現(xiàn)在我們又學(xué)到不等式，知道它可以表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系，那么我們究竟該怎樣認(rèn)識(shí)不等關(guān)系和不等式呢？

1.不等關(guān)系，

從一堆蘋果中隨意取出兩個(gè)分別稱重，有三可能情形：第一個(gè)蘋果比第二個(gè)蘋果重，兩個(gè)蘋果一樣重，第一個(gè)蘋果比第二個(gè)蘋果輕，三種可能情形中必有且僅有一種發(fā)生，推而廣之，任取兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，必有且僅有下列三種可能情形中的一種發(fā)生：（1）a大于b，記作a>b（或ba），這里的“大于”“等于”“小于”是三種不同的關(guān)于數(shù)量的大小關(guān)系，其中“大于”和“小于”屬于小等關(guān)系。

不等關(guān)系在客觀事物的數(shù)量比較中普遍存存，例如，度量任一個(gè)三角形的邊長，其中任意兩邊之和一定大于第三邊，任意兩邊之差一定小于第三邊。

符號(hào)“>”和“<”分別表示“大于”關(guān)系和“小于”關(guān)系，它們的開口一側(cè)對(duì)著較大的數(shù)，尖頭一側(cè)對(duì)著較小的數(shù)，由開口到尖頭表示由大到小，這是人們創(chuàng)造此類符號(hào)的初衷，符號(hào)“≠”僅表示“不相等”關(guān)系，而不指明誰大誰小，a≠b表示a>b或ab或單獨(dú)的ab或a”“<”“≠”“≥”“≤”統(tǒng)稱不等號(hào)。

2.不等式，

等式（包括方程）是用等號(hào)表示相等關(guān)系的式子，如l+2=3，3x+2=5，不等式是用不等號(hào)表示不等關(guān)系的式子，如2<3，5x+l>16，作為表示不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，不等式是解決許多問題的重要工具。

對(duì)于含未知數(shù)的不等式，能使不等式中的不等關(guān)系成立的未知數(shù)的值，叫作不等式的解，一個(gè)不等式的解通常有許多個(gè)，例如，任意一個(gè)比l大的數(shù)都是不等式x+l>2的解，任意一個(gè)比1小的數(shù)都是不等式X+l<2的解，一個(gè)不等式的全部解組成這個(gè)不等式的解集，例如，不等式x+l>2的解集為x>1，不等式x+l<2的解集為x<1，可以看出，不等式的解集即不等式中未知數(shù)的取值范圍。

解不等式是求不等式的解集，含有一個(gè)未知數(shù)的不等式的解集，可以在數(shù)軸上直觀地表示出來，例如，圖1和圖2分別表示不等式x+l>2和x+l<2的解集，

3.不等式的性質(zhì)，

要解不等式，需要先掌握不等式的性質(zhì)，因?yàn)椴坏仁降男再|(zhì)是解不等式的依據(jù)，不等式的性質(zhì)可歸納為以下三條：

（1）不等式兩邊加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變，也可表述為：若a>b，則a±c>b±c。

（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變，也可表述為：若a>b，

運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)要特別注意：在不等式兩邊進(jìn)行乘除法運(yùn)算，要注意乘數(shù)或除數(shù)的正負(fù)。并由此確定不等號(hào)的方向，可以結(jié)合特例來加深印象：2>1顯然成立，則2×2>1×2（即4>2）和2×（-2）<1×（一2）（即-4<-2）都成立，

4.一元一次不等式，

只含一個(gè)未知數(shù)，且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式形式的不等式，叫作一元一次不等式，它不同于一元一次方程的地方在于式子中有不等號(hào)而無等號(hào)，解一元一次不等式與解一元一次方程的步驟大體一樣，但有兩點(diǎn)需要注意：第一，不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)不為0的數(shù)時(shí)，要根據(jù)這個(gè)數(shù)的正負(fù)考慮不等號(hào)的方向；第二，解不等式的結(jié)果是得到未知數(shù)的取值范圍，而不是一個(gè)確定的值。

聯(lián)系起來，同學(xué)們會(huì)對(duì)兩個(gè)求解過程的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)有很清楚的認(rèn)識(shí)，

利用一元一次不等式解決實(shí)際問題的過程與利用一元一次方程解決實(shí)際問題的過程也十分相似，不同之處在于列方程要依據(jù)豐H等關(guān)系，而列不等式要依據(jù)不等關(guān)系，因此在利用一元一次不等式解決實(shí)際問題時(shí)，一定要分析出相關(guān)的兩個(gè)量誰大誰小。并正確地用不等號(hào)把表示這兩個(gè)量的式子連接起來，這樣就能把實(shí)際問題中的不等關(guān)系用不等式表示出來，從而得到解決問題的數(shù)學(xué)模型，

5.一元一次不等式組，

如果問題中的某個(gè)量同時(shí)滿足幾個(gè)不等關(guān)系，那么這個(gè)量就應(yīng)同時(shí)滿足幾個(gè)不等式，這幾個(gè)不等式組成一個(gè)不等式組，其中各個(gè)不等式的解集的公共部分就是這個(gè)量的取值范圍，例如，現(xiàn)有兩根長度分別為4cm和6cm的小棍，要再找一根小棍，將它們首尾順次相接擺成一個(gè)三角形。則這根小棍的長度既要大于另兩根小棍的長度之差，又要小于另兩根小棍的長度之和，如果設(shè)這根小棍的長度為xcm，則可用數(shù)學(xué)形式表示為不

解由幾個(gè)一元一次不等式組成的不等式組的方法，是“先各個(gè)擊破，再取其交集”，即先分別解每個(gè)不等式，再找出各個(gè)解集的公共部分，以此作為不等式組的解集，例如，解得到它們的解集分別是x>2和x<10，再取這兩個(gè)解集的公共部分，得到2

因?yàn)槊總€(gè)二元一次不等式的解集都可以在數(shù)軸上直觀地表示出來，所以利用數(shù)軸可以直觀地發(fā)現(xiàn)各個(gè)解集的公共部分，如圖4。將x>2和x<10表示在同一條數(shù)軸上，它們的公共部分2

解由三個(gè)或更多個(gè)一元一次不等式組成的不等式組，所用的方法仍是“先各個(gè)擊破，再取其交集”，只是要解的不等式更多些，找各個(gè)不等式的解集的公共部分時(shí)更復(fù)雜些而已。

不等式組是表示多個(gè)同時(shí)存在的不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，并非每個(gè)不等式組都有解集，如果一個(gè)不等式組中各個(gè)不等式的解集不存在公共部分。則這個(gè)不等式組無解，例

等式（包括方程）是研究相等關(guān)系的重要工具，而不等式則是研究不等關(guān)系的重要工具，同學(xué)們掌握了不等式的有關(guān)知識(shí)后，就可以更好地分析和解決含不等關(guān)系的問題，方程（組）與不等式（組）之間既有差別，又有聯(lián)系，對(duì)它們加以比較。既有助于溫故知新。又能更好地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)體系。