淺談開啟線性代數(shù)理論與應(yīng)用大門的鑰匙

劉麗敏 向修棟

摘 要：矩陣作為線性代數(shù)最基本的數(shù)學工具，它貫穿線性代數(shù)的始終，為了進一步探討線性代數(shù)理論結(jié)構(gòu)體系和豐富的實際應(yīng)用，該文通過實例介紹矩陣與線性方程組、行列式、向量組、二次型等線性代數(shù)主要內(nèi)容的密切聯(lián)系，從而揭示矩陣在線性代數(shù)課程中的重要地位，并且還從現(xiàn)實出發(fā)，讓抽象的理論與方法變得更貼近實際，提高理論的應(yīng)用性和趣味性，使得理論不再枯燥，從而提高學生學習的積極性。

關(guān)鍵詞：矩陣 線性代數(shù) 線性方程組

中圖分類號：O151.2 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2016）02（b）-0157-04

矩陣是數(shù)學中的一個重要的基本概念，是代數(shù)學的一個主要研究對象，也是數(shù)學研究和應(yīng)用的一個重要工具?！熬仃嚒边@個詞是由西爾維斯特首先使用的，他是為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式而發(fā)明了這個述語[1]。在《線性代數(shù)》這門課程中，行列式、向量組及向量空間、線性變換、線性方程組、特征值和特征向量、二次型等的研究都是以矩陣為依托的[2-3]。

1 矩陣與線性方程組

求解線性方程組或許是數(shù)學問題中最重要的問題。超過75%的科學研究和工程應(yīng)用中的數(shù)學問題，在某個階段都涉及求解線性方程組。利用新的數(shù)學方法，通?？梢詫⑤^為復雜的問題化為線性方程組。線性方程組廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟學、社會學、生態(tài)學、人口統(tǒng)計學、工程學以及物理學等領(lǐng)域。因此，掌握解線性方程組的方法至關(guān)重要。為了進一步將理論與實踐結(jié)合起來，提高學習興趣，提高學習效率，再引入方程組解法時，用以下實例：

例1：如圖1所示，給出了某城市單行線圖，其中的數(shù)字表示該路段每小時按箭頭方向行駛的車流量，流量單位為：輛。問：圖1中的4個未知量都需要統(tǒng)計嗎？[4]

解：假設(shè)每個交叉路口進入和離開的車輛數(shù)目一樣，則根據(jù)圖1，在①，②，③，④4個路口進出車輛數(shù)目分別滿足：

由圖1可知，給出線性方程組：

從上式，可以看到均與有關(guān)系，一旦確定，將隨之確定，所以，只需統(tǒng)計。同理，亦可將中的一個看作自由未知量，其余變量隨之確定。故在4個未知量中，只需統(tǒng)計其中一個。在線性代數(shù)的講授過程中，適當引入實例，能引發(fā)學生的興趣，調(diào)動學生學習的積極性，更好地掌握相關(guān)的概念及理論。

為了引導學生進一步熟悉求解線性方程組，簡化求解過程，引入矩陣和初等變換。在上述用消元法解線性方程組的過程中，只有方程組的系數(shù)和常數(shù)參與運算，而未知數(shù)并未參與運算。方程組（1）的系數(shù)和常數(shù)構(gòu)成其增廣矩陣：

對比，可以發(fā)現(xiàn)，對線性方程組的增廣矩陣進行初等行變換化為行階梯形矩陣，也可以達到解線性方程組的效果。且消元法解線性方程組，過程散亂且冗長。而通過矩陣這一工具，使得整個解題過程變得整齊有序、一目了然，且不需要重復書寫不參加運算的未知數(shù)，節(jié)省運算時間。

對于求解線性方程組，還需要考慮幾個問題，就是非齊次線性方程組在什么時候無解？在什么時候有解？有解時，又有多少解？齊次線性方程組在什么時候只有零解？在什么時候有非零解，又有多少非零解？這些問題，統(tǒng)統(tǒng)可以用矩陣來解決。

對非齊次線性方程組來說，首先寫出它所對應(yīng)的增廣矩陣?，然后對其進行初等行變換，化為行最簡形矩陣。這時，可以比較增廣矩陣?的秩r（?）和系數(shù)矩陣A的秩r（A）之間的關(guān)系。若r（?）>r（A），則非齊次線性方程組無解；若r（?）=r（A），則非齊次線性方程組有解；進一步判斷，不妨設(shè)非齊次線性方程組中未知量的個數(shù)為，若r（?）=r（A）=n，則非齊次線性方程組有唯一解；若r（?）=r（A）

對齊次線性方程組來說，它始終有零解。首先寫出它所對應(yīng)的系數(shù)矩陣A，不妨設(shè)齊次線性方程組中未知量的個數(shù)為，若r（A）=n，則非齊次線性方程組有唯一零解；若r（A）

這樣，求解線性方程組就可以完全借助于矩陣這一工具來進行了。通過上面的實例，一方面對于矩陣求解線性方程組的來龍去脈有了深刻的了解；另一方面實例的引入更加說明矩陣應(yīng)用的廣泛性，使得方法不再枯燥，提高學生的學習的興趣和積極性。

2 矩陣與行列式

方陣的可以計算其行列式，從這個角度講，行列式的概念實際是矩陣的概念的推廣。而由伴隨矩陣法，方陣的逆矩陣?？梢?，矩陣的定義也是離不開行列式的。另外，在隱函數(shù)求導時也常常用到行列式。

行列式的概念是伴隨著線性方程組的求解而發(fā)展起來的。當線性方程組的方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相等時，其系數(shù)矩陣是一個方陣，根據(jù)方陣的行列式的定義，可以求出其對應(yīng)的行列式。當行列式不等于0時，應(yīng)用克拉默法則即可求出線性方程組的解。而在二次型標準化的過程中，特征值和特征向量的求解，本質(zhì)上就是行列式及線性方程組的求解，因而與矩陣關(guān)系密切。

3 矩陣與向量

事實上，向量是矩陣的一種特殊形式，維行向量可以看成行矩陣，維列向量可以看成列矩陣。顯然，維行向量的相等和加法、減法及數(shù)乘運算的定義，與把它看作行矩陣時的相應(yīng)運算的定義是一致的。同理，也可以定義列向量的相等和加法、減法及數(shù)乘運算，這與把它看成列矩陣時的相應(yīng)運算的定義是一致的。

矩陣與其列向量組或行向量組之間是一一對應(yīng)的，故向量組之間的關(guān)系可以借助矩陣來研究。

例3：現(xiàn)有兩種原料都是由A、B、C、D4種成分混合而成，這兩種原料4種成分的配比分別為2∶3∶1∶1和1∶2∶1∶2。現(xiàn)在需要一種新型材料，其中4種成分的比例為4∶7∶3∶5，問新型材料能否由原有兩種的材料按一定比例配制而成？

解：若記，把向量組作為列向量組成矩陣，利用初等行變換將化為行最簡形矩陣：

易得，且.所以只要兩種原料按份量的配比混合就能得到新型材料。

例3的本質(zhì)問題就是判斷新型材料的4種成分對應(yīng)的向量與兩種原料4種成分分別對應(yīng)的向量所成的向量組的線性相關(guān)性，找出其中一個極大線性無關(guān)組，并將其余向量用此極大線性無關(guān)組線性表示。解決此類問題，有兩種方法：一種是根據(jù)極大線性無關(guān)組的定義；另一種就是初等變換法，即例題中所用方法。按定義尋找給定向量組的一個極大線性無關(guān)組，是用嘗試法把屬于極大線性無關(guān)組的向量留下，把不屬于極大線性無關(guān)組的向量逐個排除。這個過程比較抽象，如果給定的向量組中向量個數(shù)較少的話，可以采用此方法，但是給定的向量組中向量個數(shù)較多的話，這種方法就比較麻煩了。而且此種方法并不能一步到位，只是找出極大線性無關(guān)組，要把其余向量用此極大線性無關(guān)組線性表示還需額外計算。而采用初等變換法，在例題中恰當?shù)膽?yīng)用矩陣，即可使得問題變得具體化、簡單化。只需要把給定的向量組按列構(gòu)成矩陣，對此矩陣進行初等行變換化為行最簡形矩陣，觀察行最簡形矩陣，首非零元所在列對應(yīng)的向量構(gòu)成的部分組就是原向量組的一個極大線性無關(guān)組，且不屬于極大線性無關(guān)組的其余向量與極大線性無關(guān)組的線性關(guān)系也一目了然。

向量空間作為線性代數(shù)中一個較為抽象的概念，可以把它看作一個很大的向量組，它的基就相當于向量組的極大線性無關(guān)組，它的維數(shù)就相當于向量組的秩。

4 矩陣與二次型

二次型理論擁有很明顯的幾何意義，盡管二次型的標準型不唯一，但由慣性定理知：標準形中所含正負項個數(shù)是唯一的，因而其二次型所表示的圖形所屬類型也是固定的。任給一個二次型，就唯一地確定一個對稱矩陣，利用這個對稱矩陣就可以將二次型化成標準形。

例4：設(shè)二次型

，則在空間直角坐標下表示的二次曲面為雙葉雙曲面。（2016年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學一試題）

二次型化為標準形，于是表示曲面，是雙葉雙曲面。

解法二：初等變換法。

在例4中，線性代數(shù)的知識同高等數(shù)學中的空間解析幾何聯(lián)系在一起，用代數(shù)的方法去解決幾何問題。法一所用配方法在線性代數(shù)課程里面屬于一種新的方法，學生需要重新理解，重新掌握，這給他們帶來一定的困擾，且在用配方法化二次型為標準形的過程中，如果未知量較多，使用此方法會讓過程變得更復雜。而借助于矩陣這一工具，化二次型為標準形的過程就簡單多了，且此種方法貫穿于線性代數(shù)中，是學生用的較多且較熟練的一種方法，掌握起來也簡單的多。

線性代數(shù)理論與實例的完美結(jié)合，不僅提高了學生學習的積極性，而且拓展了學生的視野，提高了學生應(yīng)用所學知識解決實際問題的能力。矩陣作為線性代數(shù)知識架構(gòu)與實際應(yīng)用的關(guān)鍵，貫穿于整個線性代數(shù)課程的始終，是學生開啟線性代數(shù)學習的鑰匙。只要掌握好矩陣的相關(guān)概念和性質(zhì)，并將其與線性方程組、向量、二次型等部分聯(lián)系起來，形成一個完整的體系，線性代數(shù)的學習就簡單多了。

參考文獻

[1]Howard Anton，Chris Rorres.Elementary Linear Algebra-Applications[M].John Wiley&Sons，Inc.2010.

[2]David C Lay.線性代數(shù)及其應(yīng)用[M].3版.劉深泉，洪毅，馬東魁，等，譯.北京：機械工業(yè)出版社，2005.

[3]戴斌祥.線性代數(shù)[M].2版.北京：北京郵電大學出版社，2014.

[4]楊慶.線性代數(shù)在數(shù)學建模中的一些應(yīng)用[J].科技資訊，2012（8）：199-200.

[5]陳鳳娟.線性代數(shù)的教學研究[J].高師理科學刊，2012，32（1）：74-76.