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    空間二次代數(shù)曲面的最優(yōu)有理參數(shù)化

    2016-05-14 10:48:54侯倩
    科技創(chuàng)新與應(yīng)用 2016年6期

    摘 要:利用三角形網(wǎng)格均勻面積參數(shù)化的思想,提出了有理參數(shù)曲面上曲面片的最優(yōu)參數(shù)化評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)。根據(jù)構(gòu)造具有幾何意義的二次代數(shù)曲面有理參數(shù)化方法,確定了二次代數(shù)曲面上指定曲面片的最優(yōu)或逼近最優(yōu)的有理參數(shù)化方程。最后通過(guò)實(shí)例對(duì)該方法與傳統(tǒng)方法得到的參數(shù)化結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。

    關(guān)鍵詞:代數(shù)曲面;參數(shù)曲面;均勻面積參數(shù)化;最優(yōu)參數(shù)化

    引言

    曲面表示形式主要有參數(shù)曲面和代數(shù)曲面兩種,它們各有其內(nèi)在的優(yōu)點(diǎn),能否將兩種形式的曲面進(jìn)行有效的轉(zhuǎn)換,一直是CAGD的重要研究課題之一[1-3]。從數(shù)學(xué)意義上講,二次代數(shù)曲面的有理參數(shù)化問(wèn)題已完全解決了,但還遠(yuǎn)不能滿足工程制造、醫(yī)學(xué)研究等領(lǐng)域?qū)嶋H應(yīng)用的需求。

    目前,傳統(tǒng)的代數(shù)曲面參數(shù)化算法有很好的顯示效果,根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度的變化構(gòu)造的曲面圖形具有很好的視覺(jué)性和美觀性。但是很難做到在參數(shù)均勻選取時(shí),能有均勻的參數(shù)化效果。三角形網(wǎng)格曲面參數(shù)化[4-5]一直是曲面造型領(lǐng)域的熱點(diǎn)問(wèn)題,但通過(guò)三角網(wǎng)格對(duì)曲面進(jìn)行參數(shù)化,它只是對(duì)物體形狀的逼近,且需要通過(guò)3D掃描技術(shù)獲得曲面表面的所有網(wǎng)格點(diǎn)的幾何信息,然后通過(guò)拓?fù)渲亟ǖ玫饺蔷W(wǎng)格的參數(shù)化。這種方法的缺點(diǎn)是需要采集曲面上的所有點(diǎn)并存儲(chǔ)到計(jì)算機(jī)內(nèi),并且這種參數(shù)化得到的網(wǎng)格也不是均勻的。

    文章利用三角形網(wǎng)格均勻面積參數(shù)化的思想,提出了衡量有理參數(shù)曲面上曲面片的最優(yōu)參數(shù)化評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)。提出了具有幾何意義的二次代數(shù)曲面有理參數(shù)化的構(gòu)造方法,且通過(guò)該方法,得到了二次代數(shù)曲面上任意曲面片的最優(yōu)或逼近最優(yōu)的有理參數(shù)化方程。大量實(shí)例表明,文章方法計(jì)算量小,效率高,效果好。

    1 問(wèn)題描述

    設(shè)f(x,y,z)是關(guān)于x,y,z的三元二次多項(xiàng)式,方程f(x,y,z)=0定義了一個(gè)二次代數(shù)曲面C。S是曲面C上的三角形曲面片,其三個(gè)角點(diǎn)為Vi,j,k,平面Hi,j,k分別經(jīng)過(guò)角點(diǎn)Vj和Vk,Vi和Vk,Vj和Vi,邊界線Li,j,k是平面Hi,j,k與二次曲面C的交線,三個(gè)角點(diǎn)Vi,j,k所在平面為H,i,j,k=1,2,3,且互不相同。如圖1所示。

    事實(shí)上,在確定三角曲面片S的三個(gè)角點(diǎn)的參數(shù)為(0,0),(0,1),(1,0)后, 當(dāng)M點(diǎn)遍歷C-S時(shí),就得到了對(duì)應(yīng)于S的所有二次有理參數(shù)方程。因此,上述參數(shù)化方法實(shí)際上確定了S的二次有理參數(shù)方程的幾何意義。特別,當(dāng)平面H1,H2,H3的交點(diǎn)恰好在曲面C上,并將其取為M時(shí),曲面片S所對(duì)應(yīng)的參數(shù)范圍為以(0,0),(0,1),(1,0)為頂點(diǎn)的直角三角形;當(dāng)平面H1,H2,H3的交點(diǎn)在曲面C外,此時(shí),曲面片S所對(duì)應(yīng)的參數(shù)域曲邊三角形是只有一邊為曲邊的曲邊三角形。

    4 最優(yōu)參數(shù)化

    根據(jù)上節(jié)二次代數(shù)曲面有理參數(shù)方程的構(gòu)造方法,若要得到曲面S的最優(yōu)有理參數(shù)化方程,只需找到點(diǎn)M,使其對(duì)應(yīng)的?祝(P(u,v))最小。首先找出曲面片S上的三條關(guān)鍵曲線,利用文獻(xiàn)[6]和文章代數(shù)曲線的參數(shù)化算法,得到最優(yōu)時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Mi(i=1,2,3);然后利用Mi構(gòu)造曲面片S的最優(yōu)參數(shù)化方程。基本步驟如下:

    (1)記平面Hi,j,k兩兩相交的交線分別為gij,gjk,gik,Vi,j,k兩兩相連的中點(diǎn)分別為Vij,Vjk,Vik,則過(guò)gij和Vij,gik和Vjk,gik和Vik的平面為Ei,j,k,稱Ei,j,k與S的交線di,j,k為曲面片S的三條關(guān)鍵曲線。求交線di,j,k的最優(yōu)有理參數(shù)化方程,找到對(duì)應(yīng)的最優(yōu)參數(shù)化點(diǎn)Mi,j,k,其中i,j,k=1,2,3且互不相同。(2)記點(diǎn)Mi,j,k所構(gòu)成的三角形的重心為Q0,記角點(diǎn)Vi,j,k所構(gòu)成的三角形的重心記為V0,連接V0Q0,與曲面C交于兩點(diǎn),則在曲面C-S上的一點(diǎn)即為曲面片S的最優(yōu)參數(shù)化點(diǎn)M。(3)將M帶入公式(1)(2)(3),得到的就是曲面片S的最優(yōu)參數(shù)化方程。

    5 實(shí)例分析

    6 結(jié)束語(yǔ)

    文章提出了衡量空間代數(shù)曲面最優(yōu)有理參數(shù)化的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)。理論上,最優(yōu)有理參數(shù)化方程可求,但是計(jì)算量非常大。文章根據(jù)二次代數(shù)曲面有理參數(shù)方程的幾何意義,構(gòu)造出了二次代數(shù)曲面上任一三角曲面片的十分接近于最優(yōu)的有理參數(shù)化方程,所用計(jì)算量小,效率高。但由于曲面本身的性質(zhì)決定,其參數(shù)域范圍是一個(gè)由三條二次曲線組成曲邊三角形,在使用時(shí)會(huì)帶來(lái)不便。因此,在實(shí)際應(yīng)用中,可以選擇用平面Hi,j,k與曲面的交點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)域(只有一邊為曲邊的曲邊三角形),來(lái)尋找最優(yōu)。

    參考文獻(xiàn)

    [1]孟祥旭,徐延寧.參數(shù)化設(shè)計(jì)研究[J].計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)報(bào),2002(11):1086-1090.

    [2]白曉亮,張樹(shù)生,劉軍.基于網(wǎng)格簡(jiǎn)化的參數(shù)化方法[J].計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào),2004,16(12):1743-1749.

    [3]王相海.一類三次隱式代數(shù)曲面參數(shù)化研究[J].計(jì)算機(jī)研究與發(fā)展,2003,40(6):821-824.

    [4]厲玉蓉,張彩明.三角網(wǎng)格上的代數(shù)曲面重建[J].計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)報(bào),2007,19(4):460-463.

    [5]姚建強(qiáng),何援軍.三角網(wǎng)格曲面的球面參數(shù)化[J].工程圖學(xué)學(xué)報(bào),2010,4.

    [6]厲玉蓉,胡芳剛.平面二次代數(shù)曲線的最優(yōu)參數(shù)化[J].圖學(xué)學(xué)報(bào),2012,33(2):49-52.

    作者簡(jiǎn)介:侯倩(1988-),女,碩士,主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)圖形學(xué)。

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