均勻帶電球面和載流柱面上場強(qiáng)的計(jì)算

田寶國 宿德志 李慧

摘 要：對于均勻帶電球面上一點(diǎn)的電場強(qiáng)度和無限長均勻載流柱面上一點(diǎn)的磁感強(qiáng)度問題，無法采用教材中常用的靜電場高斯定理和磁場安培環(huán)路定理求解，該文分別用電場和磁場疊加原理進(jìn)行了求解，得到了該問題的具體表達(dá)式。

關(guān)鍵詞：均勻帶電球面 均勻載流柱面 高斯定理 安培環(huán)路定理 疊加原理

中圖分類號(hào)：O411 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2016）02（c）-0159-02

在求解均勻帶電球面上電場強(qiáng)度分布時(shí)，一般都是通過靜電場的高斯定理求解，但是對于理想的均勻帶電球面來講，這種方法只能求出球面內(nèi)部和外部的電場強(qiáng)度分布，而對于球面上一點(diǎn)的場強(qiáng)，由于無法確定高斯面內(nèi)電荷分布而無法利用高斯定理求解，對兩邊取極限的方法也無法求出，有些教材只指出在球面上場強(qiáng)值不連續(xù)或有一突變[1，2]，但并沒給出具體值。同樣，在求解無限長均勻載流柱面磁感應(yīng)強(qiáng)度分布時(shí)，一般都是磁場安培環(huán)路定理求解，而對柱面上一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，這種方法也同樣由于無法確定環(huán)路包圍的電流強(qiáng)度大小而無法求解，該文對這兩個(gè)問題分別采用場疊加原理進(jìn)行了計(jì)算。

1 均勻帶電球面上一點(diǎn)的電場強(qiáng)度

圖1為一半徑為的均勻帶電球面，帶電量為，根據(jù)電場的高斯定理，可求得球面內(nèi)外的電場強(qiáng)度分布為[3]：

該結(jié)論并沒有給出球面上任一點(diǎn)（即）處的電場強(qiáng)度，原因在于對理想的均勻帶電球面，利用高斯定理求解該位置處電場強(qiáng)度時(shí)，無法確定高斯面內(nèi)包圍的電荷量。該問題可通過疊加原理進(jìn)行求解。為求球面上任一點(diǎn)點(diǎn)的電場強(qiáng)度，建立圖示的坐標(biāo)系，并將球面分割為無數(shù)多個(gè)半徑不同的無限窄的環(huán)帶，在坐標(biāo)處、取高度為的環(huán)帶如圖1所示，環(huán)帶面元面積為：

所帶電量為：

根據(jù)帶電圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的場強(qiáng)公式可得所取環(huán)帶在點(diǎn)的電場強(qiáng)度大小。

由于各環(huán)帶在點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度方向均沿軸正方向，所以整個(gè)球面在點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為：

利用幾何關(guān)系及可得點(diǎn)總場強(qiáng)：

與球面內(nèi)外場強(qiáng)分布比較可知，該處場強(qiáng)發(fā)生了一突變。

2 無限長均勻載流柱面上一點(diǎn)的磁感強(qiáng)度

圖1所示示為一半徑為、電流沿軸向均勻分布的無限長圓柱面的截面圖，總電流強(qiáng)度為，根據(jù)磁場的安培環(huán)路定理，可得柱面內(nèi)外的磁感強(qiáng)度分布為[3]：

為求柱面上任一點(diǎn)點(diǎn)的電場強(qiáng)度，建立圖1所示的坐標(biāo)系，且將柱面分割為無數(shù)多條截面為圓弧的無限長直線，在圖示截面θ處取所對圓心角為θ的無限長直線，點(diǎn)到直線的距離為，所取直線中流過的電流強(qiáng)度大小為：

根據(jù)無限長載流直線空間磁感應(yīng)強(qiáng)度分布公式可知，該直線在點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向如圖2，大小為：

根據(jù)幾何關(guān)系可得：

通過電流分布的對稱性分析可知，點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度無徑向分量，因此，只需對B的切向、即圖中的方向進(jìn)行積分，B的方向分量為：

根據(jù)幾何關(guān)系和可得

故：

因此，根據(jù)磁場疊加原理可得柱面上任一點(diǎn)點(diǎn)的磁感強(qiáng)度大小為：

方向沿切向。與面內(nèi)面外磁感強(qiáng)度分布比較可知，該處磁感強(qiáng)度也發(fā)生了一突變。

3 結(jié)語

該文分別通過電場和磁場的疊加原理，求解了均勻帶電球面和無限長均勻載流柱面上任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度，豐富補(bǔ)充了教材結(jié)論，使學(xué)生對這類問題中面內(nèi)、面上、面外的場分布有了整體認(rèn)識(shí)。另外也可以通過該方法求出均勻帶電球體和無限長均勻載流柱體上表面上任一點(diǎn)的電場和磁場分布，在此不再給出具體過程，通過求解結(jié)果發(fā)現(xiàn)，這兩類問題的空間電場分布和磁場分布都是連續(xù)分布，不會(huì)在面上發(fā)生突變。

參考文獻(xiàn)

[1] 梁燦彬，秦光戎，梁竹健.電磁學(xué)[M].北京：高等教學(xué)出版社，2004：21-22.

[2] 張三慧.大學(xué)基礎(chǔ)物理學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2003：349-350.

[3] 馬文蔚，周雨青.物理學(xué)[M].6版.北京：高等教學(xué)出版社，2014：179-180.