淺析納什均衡中的數(shù)學(xué)理論

熊傳霞

摘 要：納什均衡NEP在眾多領(lǐng)域，尤其是經(jīng)濟、社會科學(xué)、工程等各個方面都有所應(yīng)用。近些年來，隨著實際中應(yīng)用的需要，對于納什均衡的研究逐漸轉(zhuǎn)向廣義納什均衡問題GNEP。一些領(lǐng)域中出現(xiàn)了各種廣義納什均衡的特殊數(shù)值模型，例如：工程學(xué)、道路交通、電力系統(tǒng)等，并得到了直接且有效的應(yīng)用。該文介紹了納什均衡在數(shù)學(xué)中的運用，并對概率納什均衡的計算進行了討論。

關(guān)鍵詞：納什平衡 博弈論 算法

中圖分類號：TP301 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2016）02（c）-0158-02

1 博弈論與納什均衡的發(fā)展

博弈論，它的形成背景來自于經(jīng)濟學(xué)理論中關(guān)于經(jīng)濟行為沖突的量化和行為推斷。隨著各個領(lǐng)域中對博弈系統(tǒng)的運用，人們逐漸發(fā)現(xiàn)：博弈論的應(yīng)用可以趨于更多元化，除了經(jīng)濟學(xué)家們將博弈論在經(jīng)濟領(lǐng)域的應(yīng)用，還有更多的學(xué)科和領(lǐng)域可以運用博弈論以及相關(guān)知識和思維，最相關(guān)聯(lián)的就是數(shù)學(xué)和計算機領(lǐng)域，目前階段，許多數(shù)學(xué)和計算機專業(yè)的科學(xué)家已經(jīng)針對博弈論與數(shù)學(xué)之間的基本理論和數(shù)學(xué)描述結(jié)合相關(guān)聯(lián)系展開了研究。

納什均衡是著名博弈論專家納什提出的，也是他對博弈論做出的重要貢獻，即是非合作博弈論均衡，是博弈論當中的重要術(shù)語。納什均衡是指這樣一種均衡，在這一均衡中，每個參與人都確信在給定其他參與人戰(zhàn)略的情況下他選擇了最優(yōu)戰(zhàn)略以回應(yīng)對手的戰(zhàn)略。零和博弈相對來說很好描述，因為博弈兩方一般來說是一勝一負，納什想進行的研究是兩人以上的研究。而在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)問題中，常見的方法一般是由一個定理出發(fā)、尋找出一個解決方案，而納什不這樣，他把目光轉(zhuǎn)向過程的分析。他從數(shù)學(xué)的角度，將交易得到成功的條件改變?yōu)殡p方都滿意，從根本上改變看待問題的方式，即對于交易對立面的兩方看來都可利益最大化的一種解決方式。在廣泛的博弈論語言當中，納什證明，參與博弈中的每個人都有一個特定的方案，用于對抗其他參與者采取的策略?；谶@種意義上，博弈可以達到一種平衡，現(xiàn)在稱為“納什均衡”。納什從數(shù)學(xué)上證明了，存在這樣一個必然的平衡，從而使博弈論應(yīng)用到了更多現(xiàn)實的經(jīng)濟情景中。

2 廣義納什均衡

比較傳統(tǒng)的納什均衡問題，每個參與者的可使用策略是一個固定不變的集，不受其他參與者所選策略的影響，但隨著實際應(yīng)用的發(fā)展，之前納什平衡理論在應(yīng)用過程中有了局限性，經(jīng)過推廣，提出了針對實際應(yīng)用的問題-廣義納什均衡問題，在此理論當中，每個參與者策略的所選范圍不再是固定集合，而是根據(jù)其余參與者所選的策略決定?；谶@個理論，在數(shù)學(xué)中的模型有：以Nikaido-Isoda函數(shù)為基礎(chǔ)的松弛算法，ODE算法，牛頓法，罰函數(shù)法，以及其轉(zhuǎn)化形成的擬變分不等式和進一步求解的算法。

3 納什平衡的存在與穩(wěn)定性

關(guān)于納什平衡的穩(wěn)定性這一問題，要分情況討論，例如：在混合博弈也叫作概型博弈中的納什平衡是恒存在的，但在另一種情況下，純博弈中，納什平衡的存在就有多種可能性，不一定存在。對一個純博弈系統(tǒng)進行分析來看，從一個純博弈系統(tǒng)中可以誘導(dǎo)出一個概型博弈系統(tǒng)。但依據(jù)一種自然的想法來判斷的話，純博弈系統(tǒng)中的納什平衡不存在這種現(xiàn)象。于是研究重點可以放在怎樣從概型博弈系統(tǒng)的納什平衡中找到一個決定純博弈系統(tǒng)中近似納什平衡的因素。由于關(guān)于納什平衡存在性的判定問題，有了一系列相關(guān)的納什平衡判定問題（Nash Equilibrium Problem），舉例而言：首先，給出一個純博弈系統(tǒng)G=（A，T，{S 1， ，S n }），要判定的問題為：此系統(tǒng)G=（A，T，{S 1， ，S n }）中是否存在一個納什平衡。將此問題進行分析，可以看到，對于關(guān)于納什平衡判定這一類型的問題，我們的關(guān)注點應(yīng)集中于在何種充分條件下，納什平衡的存在性是一定的。

同時，納什平衡的多重性也一直是一個令各個專家感到十分棘手的問題。有的情況下，平衡點不止一個，甚至可能有無窮多個的可能性，這種情況是在實際問題中無法真正達到的。因此，針對這一問題，正在尋求一種更合理而且可以得到認可的機制來選擇平衡并進行精煉，這一項目也是非合作博弈論系統(tǒng)中一直需要解決的問題。

在對于納什均衡研究最活躍的領(lǐng)域內(nèi)，改進和精練平衡的機制和方法一直在尋找當中，其中包括：1994年Harsanyi和Selten獲得諾貝爾獎的成果“子博弈精煉納什平衡”，以及2002年根據(jù)策略集的擾動與策略有關(guān)的思想從策略空間到策略集擾動之間建立了函數(shù)關(guān)系的n人有限非合作博弈CKM擾動的概念。

4 納什平衡（如果存在）的有效算法及計算復(fù)雜性

4.1 離散概型博弈系統(tǒng)

在上文中，提到混合博弈，它其中的納什平衡是恒存在的。它是在純博弈系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，考慮在策略集上引入一個概率分布，接下來引入離散概型博弈，也就是通常所稱的混合博弈。而將它稱為離散概型博弈主要是因為其中所引入的概率分布。將此博弈系統(tǒng)進行討論分析，可以看到：從形式上將策略先擇用引入的概率分布代替策略先擇，用引入的概率分布表示支付。將所給定的有限集Δ={e1，em}看作一個有限的離散樣本空間，那么一組非負數(shù)μ={p1，pm}稱為有限集上的一個概率分布，那么如果m∑pk=1，可記為Prμ[ei]=pi，為了不混淆，可簡記為：Prμ[ei]=pi。

值得慶幸的是：任意給定一個離散概型博弈，概型納什平衡的恒存在性不會變，這一點可運用不動點定理相關(guān)知識進行證明。

4.2 概率納什平衡計算

首先納什平衡中有兩部分，為“純戰(zhàn)略納什均衡”和“混合戰(zhàn)略納什均衡”。

純戰(zhàn)略是指在比賽中將完整的賽局定義提供給玩家。在比賽中純戰(zhàn)略決定在所有任何一種情況下要做出的戰(zhàn)略移動。而戰(zhàn)略集合其實就是由玩家能所有夠施行的純戰(zhàn)略所組成的集合。而混合戰(zhàn)略具有更多的隨機性，它是對每個純戰(zhàn)略分配一個機率而形成的戰(zhàn)略。在混合戰(zhàn)略的比賽中，允許玩家隨機選擇一個純戰(zhàn)略。由于這樣的隨機性所以混合戰(zhàn)略博弈均衡中要用概率分布計算，在某一情況下達到某一概率時，從而可以實現(xiàn)支付最優(yōu)。同時機率是連續(xù)的，所以即使戰(zhàn)略集合的數(shù)量是有限的，但產(chǎn)生的混合戰(zhàn)略是無限多的，用數(shù)學(xué)語言表示為：對于一般的μ1=（p1，1p1）、μ2=（p2，1p2）（0≤p1，p2≤1），有：v1（μ1，μ2）=μ1[C1]gv1（C1；μ2）+μ1[F1]gv1（F1；μ2）=p1（2p2+（1p2）*0） （+1p1）（2p21）=p12p21。

5 結(jié)語

該文在第一部分首先給出了博弈論與納什均衡的發(fā)展，從納什均衡存在與穩(wěn)定性的基本知識與博弈系統(tǒng)的形式概念描述，混合博弈的實質(zhì)為，在純博弈系統(tǒng)框架下在策略集上為基礎(chǔ)，進一步引入概率分布的概念。對于納什均衡中數(shù)學(xué)理論的結(jié)合，進行了基本的引例和分析，以及對于其中各種數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)分析，展現(xiàn)了其穩(wěn)定性和多重性的復(fù)雜性。正是每個參與者之間的不合作性，才可以表現(xiàn)出分布之間策略的獨立性。這一概念可以幫助理解各個博弈系統(tǒng)之間的聯(lián)系，并且結(jié)合概率論相關(guān)知識在博弈論中各個方面的應(yīng)用。以及對其中一個典型的概型博弈系統(tǒng)的納什平衡的性質(zhì)及其計算方法作了進一步的探討和研究。目前來看，關(guān)于廣義納什平衡問題算法的研究雖然也有很多，但其中主要的思路基本為轉(zhuǎn)化為一些極小化問題，再運用已知結(jié)果進行轉(zhuǎn)化，然而這些算法基本上都具有一些局限性，由于各種過強的附加條件，很多原系統(tǒng)的問題無法滿足，即使如此，在GNEP的道路上，依然期待有更好的發(fā)展前景。

參考文獻

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