三質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的孤立系統(tǒng)的線性振動本征頻率和解析解

胡艷敏 胡雪蘭 馬龍 秦哲 張艷峰

摘 要：從最基本的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律出發(fā)在慣性參考系中建立三質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的孤立系統(tǒng)的微分方程，利用矩陣方法求解系統(tǒng)微振動問題并進(jìn)行分析和討論，從而得到系統(tǒng)振動的本征頻率和解析解。

關(guān)鍵詞：三質(zhì)點(diǎn)；振動本征頻率；解析解

中圖分類號：0213 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

多質(zhì)點(diǎn)振動問題是理論力學(xué)中的一個(gè)基本問題，近年來一直被人們所關(guān)注和研究。在處理實(shí)際問題中除了采用適當(dāng)?shù)哪Ｐ徒埔院侠砗喕瘑栴}外，仍需利用一些近似計(jì)算方法，如微擾法、亞當(dāng)斯（Adams）多步法等，這些近似方法均有其適用范圍和優(yōu)缺點(diǎn)。給定系統(tǒng)參數(shù)和初始條件后，由于某些振動系統(tǒng)的運(yùn)動方程比較復(fù)雜而一般找不到系統(tǒng)振動的特征頻率，進(jìn)而得不到其解析解，系統(tǒng)振動的運(yùn)動圖像也無法進(jìn)行分析。對于多自由度力學(xué)系統(tǒng)的微振動問題，分析得到的方程均為線性微分方程，一般利用解析法可以得到方程的解析解，比較常見的是對單個(gè)或兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的微振動系統(tǒng)求解。本文從基本的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律出發(fā)以孤立CO2分子為例來討論三質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的孤立系統(tǒng)的微振動問題，在慣性參考性中根據(jù)牛頓第二定律建立線性微分方程，利用矩陣方法具體詳細(xì)地求解系統(tǒng)振動的本征頻率和解析解。

考慮由三原子構(gòu)成的孤立CO2分子的振動模型，可以簡化為勁度系數(shù)均為k，原長為l0的兩彈簧連接的三個(gè)質(zhì)點(diǎn)，如圖1所示。

首先，我們來證明質(zhì)心參考系是慣性參考系。

不考慮外力的情況下，由于原子與原子之間存在相互作用力，故由三個(gè)原子構(gòu)成的該系統(tǒng)是贗孤立的。系統(tǒng)質(zhì)心定義為：

在慣性參考系Rg中應(yīng)用牛頓第二定律，我們有：

故為常數(shù)，即不隨時(shí)間變化，則有。

因此質(zhì)心G在慣性參考系Rg中做勻速直線運(yùn)動，質(zhì)心參考系亦為慣性參考系。

下面我們來對每個(gè)質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行受力分析，在中分別建立其偏離平衡位置的位移x1、x2和x3的微分方程。

對于左邊的O原子：

C原子：

右邊O原子 ：

在中應(yīng)用牛頓第二定律，即

又其中Mie為每個(gè)原子振動的平衡位置。

由于Xie不隨時(shí)間變化，故有

把以上三個(gè)微分方程分別投影方向，得：

（1）

（2）

（3）

這是三個(gè)關(guān)于x1、x2和x3耦合的微分方程。

接下來我們來求解三質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的孤立系統(tǒng)的固有頻率。設(shè)系統(tǒng)的固有圓頻率為ωj，三位移xi（i=1，2，3）對應(yīng)的一般解應(yīng)有以下形式：

xi，j=Ai，jcos（ωjt+φi，j）

則

代入三個(gè)微分方程，有：

（-moωj2 +k）x1-kx2=0 （1）

-kx1+（-mcωj2 +2k）x2-kx3=0 （2）

-kx2+（-moωj2 +k）x3=0 （3）

該方程組有非零解的條件為當(dāng)且僅當(dāng)由其系數(shù)構(gòu)成的下列行列式的值等于0，即：

則（-moωj2 +k）[（-moωj2 +k）（-mcωj2 +2k）-（-k）2]-（-k）[（-k）（-moωj2 +k）]=0

化簡后有ωj2 （-moωj2 +k）（momcωj2 - k（2mo+mc））=0

于是得到三個(gè)不同的特征頻率：ωj2 =0=>ωj=ω1=0

（-moωj2 +k）=0=>ωj=ω2=

momcωj2 -k（2mo+mc）=0=>ωj=ω3=

至此，我們得到了由三個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的孤立系統(tǒng)進(jìn)行線性微振動時(shí)存在的三個(gè)本征頻率。

那么在每個(gè)特征頻率下質(zhì)點(diǎn)隨著時(shí)間的變化是如何運(yùn)動的呢？在每個(gè)時(shí)刻的位移又是怎樣的呢？下面我們來分析不同本征頻率對應(yīng)的解的情況。

（a）當(dāng)ω=ω1=0時(shí)，xi，1=aj，1+bi，1t且x1，1=x2，1=x3，1

即a1，1=a2，1=a3，1=a1，b1，1=b2，1=b2，1=b1。由此我們得出在這種情況下三質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的相位一致。更確切地說，三質(zhì)點(diǎn)同時(shí)做統(tǒng)一的、共同的運(yùn)動，即做質(zhì)心運(yùn)動。

（b）當(dāng)ω=ω2時(shí)，xi，j=Ai，2cos（ω2t+ φi，2）

從微分方程（1）、（2）和（3）構(gòu)成的方程組來看，須有x1，2=-x3，2且x2，2=0。

于是A2，2=0，A1，2=A3，2=a2且φ1，2=φ2，φ3，2=φ2+π。我們說兩個(gè)O原子以ω=ω2的圓頻率沿相反的方向振動，而C原子不振動。

當(dāng)ω=ω3時(shí)，xi，j=Ai，3cos（ω3t+φi，3），須有

即A1，3=A2，3=a3，且φ1，3=φ3，3=φ3，φ2，3=φ3+π。

由此可見，在相同的圓頻率ω=ω3下，兩邊質(zhì)點(diǎn)做同相位的振動，即沿相同的方向運(yùn)動，而中間的質(zhì)點(diǎn)的相位則多出一個(gè)π，即與他們做相反方向的振動。

于是，系統(tǒng)振動的全解為：

x1=a1+b1t+a2cos（ω2t+φ2）+a3cos（ω3t+φ3）

x3=a1+b1t-a2cos（ω2t+φ2）+ a3cos（ω3t+φ3）

其中ai、bi、φi（i=1，2，3）為待定系數(shù)。

若給定初始條件：

xi（0）=xi0（i=1，2，3）et（i=1，2，3）

于是有：

于是我們可以得到系統(tǒng)的解析解：

綜上，我們以孤立的CO2分子為例分析得到了三質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的孤立系統(tǒng)的振動本征頻率，并在給定初始條件的情況下得到了系統(tǒng)的解析解。盡管我們簡化了模型，但我們僅從質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的基本規(guī)律出發(fā)，利用矩陣的方法分析得到了系統(tǒng)線性振動的本征頻率和解析解，在大學(xué)物理的教學(xué)中有一定的參考價(jià)值。

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