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    什么是無理數(shù)?

    2016-05-14 10:10:17周瑜珍
    初中生世界·八年級 2016年8期
    關鍵詞:邊長數(shù)軸實數(shù)

    周瑜珍

    實驗課題

    無理數(shù)的概念.

    實驗背景

    無理數(shù)概念的建立要有一定的抽象思維和初步的極限概念.以往同學們對無理數(shù)概念的意義理解不夠,有時會有一些誤解,如認為“無理數(shù)就是帶根號的數(shù)”,現(xiàn)“蘇科版”教材在初一實數(shù)一章中直接給出無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù),但這可能也會讓同學們體會不到數(shù)的擴充的必要性.

    因此現(xiàn)對無理數(shù)概念的建立做一個新的設計:首先通過活動,讓同學們親身經歷無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的過程,體會無理數(shù)概念的意義,再進一步通過探索活動增進對無理數(shù)概念意義的理解,即無限不循環(huán)的認識.

    實驗目的

    通過活動,讓同學們親身經歷無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的過程,通過探索活動增進對無理數(shù)概念的理解.

    實驗難點

    尋找一個平方為2的數(shù).

    實驗準備

    單位為1的數(shù)軸、單位為1的兩個正方形、圓規(guī)、刻度尺.

    實驗過程

    活動一:有兩個邊長為1的小正方形,剪一剪,拼一拼,設法得到一個大的正方形.

    【活動說明】通過剪紙、拼圖等操作,將兩個正方形組合成一個大正方形,發(fā)現(xiàn)大正方形的面積為2.

    活動二:討論:若設大正方形的邊長為a,則a要滿足什么條件?

    活動想法記錄:

    【活動說明】體會a2=2的幾何意義,感受正方形邊長和面積之間的關系,為將a數(shù)值化做準備.

    活動三:能否在下面的數(shù)軸上找到表示數(shù)值為a的點(單位長度與小正方形單位長度一致).

    【活動說明】可以通過圓規(guī)的量取或是直接將大正方形邊長疊加在數(shù)軸上等試驗方式獲得a點,通過動手操作及圖形直觀,讓同學們了解該點能在數(shù)軸上表示,即a是實數(shù),為下面的學習做鋪墊.

    活動四:根據以上的實驗,請猜想這個數(shù)的值為多少?

    1. 若a是整數(shù),請寫出具體的數(shù)值;若不是,請說明理由.

    2. 若a是分數(shù),請寫出具體的數(shù)值;若不是,請說明理由.

    3. 你有什么發(fā)現(xiàn)?

    【活動說明】通過剛才的實驗,同學們可以確定a顯然不是一個整數(shù),是介于1與2之間的一個數(shù).第二小問是幫助同學們進行思考和討論的,最后可以得出:a既不是整數(shù)也不是分數(shù),它不屬于有理數(shù),但屬于實數(shù).a確實是存在的,但不是有理數(shù),那是什么數(shù)呢?a又究竟是多少呢?通過反復計算、實驗可以發(fā)現(xiàn)a是無限不循環(huán)小數(shù),可類比除不盡的分數(shù),分數(shù)是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù).這發(fā)現(xiàn)也可糾正分數(shù)即有限小數(shù)的錯誤判斷.

    實驗小結

    1. 無理數(shù)定義:

    無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù).

    2. 嘗試畫出實數(shù)分類的思維導圖:

    【活動小結】

    數(shù)學概念具有二重性,即過程性和對象性, 從而決定了數(shù)學思維、理解的兩步性.數(shù)學學習總是與一定的知識背景,即“情境”相互聯(lián)系.在實際情境下進行學習,可以使同學們利用自己的原有認知結構中的有關知識和經驗“同化”和“索引”出當前要學習的新知識,促進對新知識的意義認識.

    同學們的已有經驗是影響概念學習的重要因素之一.有的同學能夠從過去的經驗中找出與新概念相關的概念,在比較它們異同的基礎上建立新的概念,而有的同學則會受這種經驗的干擾,產生錯誤的概念理解,認為a不是整數(shù),那么a就是小數(shù),而小數(shù)就是分數(shù),所以a肯定是分數(shù).這就是有理數(shù)的認知結構對新知識的學習的干擾.

    同學們在實驗過程中可一起討論和交流,在交流中使數(shù)學概念得以深入和發(fā)展.這樣的討論和交流不僅可以更正錯誤認識,彼此達成一致觀點,而且還能建立一個主動探索、自主學習、體驗數(shù)學再發(fā)現(xiàn)的數(shù)學學習習慣.

    (作者單位:江蘇省太倉市雙鳳中學)

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