探析極大似然估計的解法

馬瑩

1821年，德國數(shù)學(xué)家高斯最先提出極大似然估計.1922年，英國統(tǒng)計學(xué)家費歇在他所寫的文章中重新提出并進(jìn)一步研究，極大似然估計這一名稱也是費歇給的.極大似然估計法的思想：對參數(shù)進(jìn)行估計時，總傾向于該參數(shù)可能取值范圍內(nèi)挑選出使樣本發(fā)生概率的最大參數(shù)值.

一、極大似然估計法原理

已知甲乙兩射手命中靶心的概率分別為0.9和0.4.今有一張靶紙的彈著點表明10槍6中.已知靶紙肯定是甲乙兩射手所射.如果推測，則最有可能是誰射的？

從直觀上看，甲的槍法屬上乘，命中靶心率為0.9，不至于打得那么差，而乙的槍法不足以打出這么好的成績，但二者取一這更像乙所射.那么計算一下可能性.

L（θ）則為定義的似然函數(shù)，那么問題轉(zhuǎn)化為求θ使L（θ）最大.

求最大似然估計的一般步驟如下：

步驟1：由總體分布導(dǎo)出樣本的聯(lián)合概率函數(shù)（或聯(lián)合概率密度）；

步驟2：把樣本聯(lián)合概率函數(shù)（或概率密度）中自變量看成已知常數(shù)，而把參數(shù)θ看成自變量，得到似然函數(shù)L（θ）；

步驟3：求似然函數(shù)L（θ）的最大值點；

步驟4：在最大值的表達(dá)式中，將樣本值代入就得參數(shù)θ的最大似然估計.

三、似然函數(shù)的計算方法

1.微分法

當(dāng)似然函數(shù)關(guān)于參數(shù)可導(dǎo)時，常常通過取對數(shù)求導(dǎo)來求得極大似然估計.觀察似然函數(shù)L（θ）>0，當(dāng)L（θ）最大時，即lnL（θ）.令lnL（θi）θi=0，則θ有可能為極值點.0-1分布和指數(shù)分布是概率論中常見的分布，下面以似然估計法來解決未知參數(shù)，根據(jù)極大似然原理，給出常見分布的參數(shù)估計.

2.定義法

若似然函數(shù)單調(diào)無駐點或不可導(dǎo)時，并不說明最大似然估計法失效，只是說明不能用微分法來計算，只能根據(jù)最大似然估計法原理進(jìn)行直接計算.

所以似然函數(shù)在p=rsx附近達(dá)到最大值，p=rsx，代入已知量可得p=500，所以蜂箱中有500只蜜蜂.

本文從生活中的實例引發(fā)極大似然估計的概念，這樣加強(qiáng)學(xué)生對知識的理解以及概念的理解，同時教學(xué)過程顯得融會貫通.本文給出了極大似然函數(shù)的常見解法，當(dāng)然還有些似然函數(shù)無解，以及不是唯一解的情況，這還需要進(jìn)一步探討.極大似然估計求出的是一種統(tǒng)計量，要知道所求估計量的優(yōu)劣，還需考察無偏性、有效性、一致性等評判標(biāo)準(zhǔn)，它的誤差大小還要做區(qū)間估計.