極值思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用與實(shí)踐

張啟飛

隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的提出，要求數(shù)學(xué)課堂模式進(jìn)行整改，以學(xué)生為主體，讓學(xué)生感受新型課堂的魅力.在教學(xué)過程中，不僅要培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，更要注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思想意識.而極值思想作為高中數(shù)學(xué)眾多解題思想的重要組成部分，在高中數(shù)學(xué)各類知識中應(yīng)用較為廣泛，老師要引起高度重視，選擇合適的時(shí)機(jī)適當(dāng)?shù)叵驅(qū)W生們滲透極值思想的運(yùn)用原則以及使用環(huán)境，用以提升學(xué)生的解題能力.本人具有多年的高中數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對極值思想在高中各部分知識的應(yīng)用具有一定的研究，下面分享幾點(diǎn)，不足之處，敬請斧正.

一、簡化解題，巧求解集

極值思想的應(yīng)用十分廣泛，在某些求不等式的解集以及變量的取值范圍的題目中經(jīng)常出現(xiàn).極限思想就是可以直接拿來的解題工具，只要學(xué)生能夠在題目中分清兩種極限，再對這兩種極限分別進(jìn)行討論得出相應(yīng)的結(jié)果，就能夠起到簡化解題的作用.不僅能夠幫助學(xué)生簡化計(jì)算過程，還能夠起到化難為易的作用，有利于學(xué)生深化解題思維，使學(xué)生能夠輕松地解決復(fù)雜問題.

例1 （人教版數(shù)學(xué)不等式習(xí)題）對于不等式logx+2>0的解集是

A.[2，3） B.（2，3] C.[2，4） D.（2，4]

根據(jù)題干，我們就可以發(fā)現(xiàn)這道題目是道簡單的求解不等式解集問題，在各類考試中尤其是高考中也是時(shí)常出現(xiàn)的.解決這種以選擇題的形式出現(xiàn)的不等式解集問題，我們可以不必非得按部就班根據(jù)求解應(yīng)用題的方式來求出真正的解集，可以只通過對選項(xiàng)的內(nèi)容進(jìn)行逐一判斷，就能夠得出正確答案.而這道題考查的方式就是通過變量字母并根據(jù)其區(qū)間的端點(diǎn)以及端點(diǎn)的極限情況來解題，我們就要利用選擇題這個(gè)優(yōu)勢來解題.一般情況下，可以采用直接代入選項(xiàng)的方式，來求證答案是否正確.選取選項(xiàng)中幾個(gè)特殊的數(shù)值，代入表達(dá)式中，再進(jìn)行驗(yàn)證，就會得出結(jié)果，然后再進(jìn)行排除.首先，以選項(xiàng)中的2為例，即當(dāng)x無限趨近于2時(shí)，左邊結(jié)果趨近，且當(dāng)x=2時(shí)，不等式有意義，因此可以排除選項(xiàng)B、D.接著，再以選項(xiàng)中C為例，即當(dāng)x無限趨近于4時(shí)，不等式是成立的，再根據(jù)選項(xiàng)內(nèi)容，就可以得出選項(xiàng)A是錯(cuò)誤的.最后再通過排除法，就可以輕松地得出選項(xiàng)D是正確的.

很多學(xué)生之所以不能正確解題的原因，就是他們的思想太過死板，非得通過正常的計(jì)算來求出解題范圍，而此題僅通過計(jì)算來求出結(jié)果是十分困難的.但是，利用上述那種解題方式就可以看出，解決選擇題是可以利用技巧的，排除法就是其中之一.通過對其它選項(xiàng)的判斷與排除，選出正確的答案，這是一種快速解題的方式，需要各位學(xué)生都能夠輕松掌握并靈活應(yīng)用于解題當(dāng)中.

二、優(yōu)化過程，速求范圍

在立體幾何的相關(guān)問題中，也可以使用到極值思想.利用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)可以對某些特殊的位置進(jìn)行判斷，這些位置的選擇就是利用了極值的思想，能夠幫助同學(xué)活化思維，發(fā)現(xiàn)問題的解題思路，培養(yǎng)思維的靈活性.

例2 （人教版數(shù)學(xué)立體幾何習(xí)題）設(shè)四面體四個(gè)面的面積分別為S1，S2，S3，S4，它們的最大值為S，記λ=（S1+S2+S3+S4）/S，則λ一定滿足

A.2<λ≤4 B.3<λ<4

C.2.5<λ≤4.5D.3.5<λ<5.5

這種題目，對于空間想象力不足的同學(xué)，可以在演算紙上先畫出一個(gè)四面體PABC，再對各個(gè)面進(jìn)行相應(yīng)的標(biāo)記，明確哪個(gè)面為S1、S2、S3、S4，然后再進(jìn)行題目解析，選擇合適的解題方案.由于四個(gè)面的面積都是不確定的，我們可以設(shè)置一個(gè)最大面，然后再進(jìn)行極限討論.我們可以先進(jìn)行假設(shè)，令底面ABC的面積最大為S，接下來我們只需要想出在此條件下的兩種極端情況即可.如果四面體是一個(gè)正四面體，那么四個(gè)面的面積一樣大，經(jīng)過計(jì)算我們就可以得出λ的最大值為4.而當(dāng)頂點(diǎn)P無限接近于底面ABC時(shí)，那么四面體的三個(gè)側(cè)面PAB、PBC、PCA也都會隨之而無限接近于底面ABC，此時(shí)，再代入公式之中，進(jìn)行計(jì)算，就可以得出λ無限接近于2.通過這兩種極限的分析，我們就可以得出正確答案為A.

這道題的解題方式就采用了極限的思想，先假定一個(gè)面的面積最大，然后再考慮兩種極端情況，求出λ，這樣就具有代表意義，相當(dāng)于直接求出了答案.解題十分快速，只是需要進(jìn)行的思考較多，考查了學(xué)生的空間想象力.

三、化動為靜，判斷位置

在平面幾何以及解析幾何的很多問題中，極限思維的使用也能夠起到簡化解題步驟的作用，幫助學(xué)生能夠準(zhǔn)確快速地進(jìn)行判斷，得出最佳的解題思路.通常是首先對某種極限情況進(jìn)行考察，再將問題過渡到一般情況，使復(fù)雜的問題簡單化，學(xué)生解決起來也會相對容易.

例3 （人教版數(shù)學(xué)解析幾何習(xí)題）設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為E、F，左右頂點(diǎn)分別為M、N，若果三角形PEF的頂點(diǎn)P在雙曲線上，則三角形PEF的內(nèi)切圓與EF邊的切點(diǎn)位置是

A.在線段MN的內(nèi)部 B.在線段FM或者FN內(nèi)部

C.點(diǎn)N或點(diǎn)MD.不能確定

這道題也是需要同學(xué)們自行畫出示意圖，才能夠順利地解決問題.其中，E、F、M、N是定點(diǎn)，只有點(diǎn)P在雙曲線上移動.我們就可以對P點(diǎn)的極限位置進(jìn)行討論，當(dāng)點(diǎn)P無限接近于點(diǎn)M或者點(diǎn)N時(shí)，則三角形PEF的內(nèi)切圓與邊EF的切點(diǎn)位置無限趨于M或者N.而另一種情況就是，∠EPF趨近于0度，可計(jì)算出FP的長度等于F到三角形PEF的內(nèi)切圓切線的長度.經(jīng)過這兩種情況的分析，我們就可以猜出正確答案就是選項(xiàng)C.

因?yàn)檫@道題是屬于客觀題，我們要選擇最簡單的方法來解題，從而節(jié)省時(shí)間.本題是一道動態(tài)的題目，我們要選取其中的兩個(gè)極限位置進(jìn)行判斷，由于具有代表性，解題就方便很多.其次，我們要有選擇性的進(jìn)行解題，采用上述方式能夠簡化討論過程.但是如果此題采用常規(guī)的方法進(jìn)行解題，計(jì)算量就會相當(dāng)大，學(xué)生做對的幾率就會很小，錯(cuò)過取得高分的機(jī)會.

極限思想是一種基本而又重要的數(shù)學(xué)思想，我們在課堂教學(xué)以及習(xí)題訓(xùn)練中，都要適當(dāng)?shù)叵蛲瑢W(xué)們滲透這一思想的使用方式，給學(xué)生的解題帶來便利.老師也可以為學(xué)生，多多選取一些具有代表性的題目，訓(xùn)練他們的極限思維，讓他們能夠主動地應(yīng)用這一思想，將其內(nèi)化到各類題目解題過程中去，為將來數(shù)學(xué)取得高分打下基礎(chǔ).