深入挖掘 探尋課后習(xí)題的潛在功能

張建

習(xí)題對(duì)于高中數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)講，既是課堂教學(xué)的重要組成部分，更是課后鞏固所學(xué)知識(shí)的必備環(huán)節(jié).雖然數(shù)學(xué)當(dāng)中的知識(shí)內(nèi)容都是通過(guò)課堂教學(xué)來(lái)予以呈現(xiàn)的，但是，課上時(shí)間畢竟有限，學(xué)生們只能完成對(duì)知識(shí)內(nèi)容的初步接受，卻無(wú)法從思維上深入接受并加以運(yùn)用.可以說(shuō)，課堂教學(xué)只完成了數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的一小部分任務(wù)，更重要的在于課后練習(xí).因此，課后習(xí)題對(duì)于高中數(shù)學(xué)的意義不可小覷.對(duì)于課后習(xí)題加強(qiáng)關(guān)注，并深入挖掘出習(xí)題當(dāng)中的每一分價(jià)值，更是高中教師應(yīng)當(dāng)思考的課題.

一、抓住跨學(xué)科習(xí)題，挖掘聯(lián)系功能

數(shù)學(xué)是一門(mén)內(nèi)容滲透十分廣泛的學(xué)科，在生產(chǎn)與生活的每個(gè)角落都能夠發(fā)現(xiàn)它的身影.因此，在很多情況下，數(shù)學(xué)知識(shí)都不是獨(dú)立存在的，以數(shù)學(xué)方法解決其他學(xué)科內(nèi)容的問(wèn)題已經(jīng)逐漸成為了一種常態(tài).特別是在高中階段的學(xué)習(xí)過(guò)程當(dāng)中，這種跨學(xué)科的現(xiàn)象出現(xiàn)得尤為頻繁.這也要求學(xué)生們不僅要學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)本身，還要建立起與其他學(xué)科的聯(lián)系意識(shí).

例如，在完成對(duì)橢圓知識(shí)的教學(xué)后，我為學(xué)生們布置了這樣一道課后習(xí)題：橢圓具有這樣的光學(xué)性質(zhì)：光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)橢圓反射后，反射光線必然經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).現(xiàn)將一個(gè)橢圓形的臺(tái)球盤(pán)水平放置，其兩個(gè)焦點(diǎn)為點(diǎn)A和點(diǎn)B，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是2a，焦距是2c.把一個(gè)半徑忽略不計(jì)的小球從點(diǎn)A直線打出，當(dāng)其經(jīng)橢圓壁反彈后回到點(diǎn)A時(shí)，經(jīng)過(guò)的路程是多少？經(jīng)過(guò)對(duì)已知條件的分析，可以根據(jù)小球的不同運(yùn)動(dòng)情況得出4a、2（a-c）和2（a+c）三種答案.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生清楚地看到了數(shù)學(xué)知識(shí)在物理背景中的應(yīng)用.

在高中數(shù)學(xué)當(dāng)中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)以其他學(xué)科內(nèi)容為背景的習(xí)題，這些跨學(xué)科出現(xiàn)的問(wèn)題，對(duì)于建立學(xué)生們的聯(lián)系意識(shí)來(lái)講很有好處.這不僅可以作用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程之中，拓展學(xué)生們對(duì)于所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用范圍，更可以作用于其他學(xué)科，以數(shù)學(xué)的思維幫助學(xué)生高效解答相應(yīng)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)與相關(guān)學(xué)科學(xué)習(xí)效果的同步提升，全面提升學(xué)生的綜合能力，彰顯數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的魅力.

二、抓住探究性習(xí)題，挖掘拓展功能

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)已經(jīng)進(jìn)入到了一個(gè)比較高級(jí)的階段，它對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)要求已經(jīng)不再停留在知識(shí)本身，而是站在更高角度，對(duì)學(xué)生們的數(shù)學(xué)思維能力提出了要求.也就是說(shuō)，學(xué)生們不僅要將基本知識(shí)理解清楚，還需要從中找到數(shù)學(xué)問(wèn)題的思考方式，以之去解決更為靈活和廣泛的新問(wèn)題.單一的語(yǔ)言敘述很難將學(xué)生們的這種能力建立起來(lái)，借助習(xí)題是一個(gè)有效的途徑.

例如，在學(xué)習(xí)過(guò)導(dǎo)數(shù)內(nèi)容后，我為學(xué)生們布置了這樣一道探究性習(xí)題：設(shè)函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)f ′（x）=g（x），g（x）的導(dǎo)函數(shù)g′（x）在[a，b]上的值為負(fù)的充要條件是y=f（x）是凸函數(shù)（即函數(shù)y=f（x）的圖象在[a，b]上均在其任一點(diǎn)的切線下方）.（1）求函數(shù)f（x）=x+cosx的凸區(qū)間；（2）若區(qū)間D上的凸函數(shù)滿足性質(zhì)：對(duì)x1，x2，…，xn∈D，恒有f（x1）+f（x2）+…+f（xn）n≤f（x1+x2+…+xnn），其中，當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時(shí)等號(hào)成立，求證：在△ABC中，sinA+sinB+sinC≤323.這個(gè)問(wèn)題具有很強(qiáng)的探究性，雖然難度不小，卻是由既有的導(dǎo)數(shù)、不等式等內(nèi)容拓展出來(lái)的，大大延展了學(xué)生們對(duì)所學(xué)知識(shí)的認(rèn)知視角.

高中階段的探究性習(xí)題數(shù)量不少，且經(jīng)常被學(xué)生們視為“老大難”.這個(gè)類型的問(wèn)題由于比較靈活和深入，解答起來(lái)難度較大.而也正是這個(gè)特點(diǎn)，若能把它運(yùn)用得當(dāng)，能夠成為拓展學(xué)生思維廣度的有力武器.

三、抓住實(shí)踐性習(xí)題，挖掘應(yīng)用功能

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與實(shí)際應(yīng)用之間向來(lái)存在著十分密切的聯(lián)系.實(shí)際應(yīng)用既是理論知識(shí)的一個(gè)重要表現(xiàn)形式，也是檢驗(yàn)學(xué)生知識(shí)領(lǐng)會(huì)效果的有力途徑.如果教師能夠?qū)σ恍┑湫偷膶?shí)踐性習(xí)題加以挖掘，對(duì)于學(xué)生知識(shí)學(xué)習(xí)效果的提升將是很有助益的.

例如，在對(duì)函數(shù)內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí)時(shí)，我為學(xué)生設(shè)計(jì)了這樣一道實(shí)踐性習(xí)題：為保持倉(cāng)庫(kù)溫度和濕度，墻上需安裝如圖所示的自動(dòng)通風(fēng)裝置，裝置下部ABCD是矩形，AB長(zhǎng)2米，BC長(zhǎng)0.5米，上不CmD是半圓，固定點(diǎn)E是CD中點(diǎn).△MNE為三角形通風(fēng)窗，可由電腦控制其形狀變化，MN可沿邊框上下滑動(dòng)且始終與AB保持平行（MN與AB、CD均不重合）.那么，當(dāng)MN與AB距離多少米時(shí)，△MNE的通風(fēng)面積最大？通過(guò)解答這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生們真實(shí)地看到了函數(shù)知識(shí)在實(shí)際生活當(dāng)中的有效表現(xiàn)，問(wèn)題的應(yīng)用功能也被成功挖掘出來(lái)了.

在高中數(shù)學(xué)的各類練習(xí)與測(cè)驗(yàn)當(dāng)中，從來(lái)不乏應(yīng)用問(wèn)題的出現(xiàn).這也警示我們，無(wú)論是從應(yīng)試的直接角度考慮，還是從學(xué)習(xí)的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展來(lái)看，將數(shù)學(xué)知識(shí)投入到實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中都是一個(gè)必為之策.教師在布置課后習(xí)題時(shí)，一定要樹(shù)立起勤于應(yīng)用的意識(shí)，打破“學(xué)什么，練什么”的狹隘眼光，讓習(xí)題內(nèi)容豐富起來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生們?cè)诤粚?shí)理論基礎(chǔ)的同時(shí)，將之運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題的解答當(dāng)中去.這樣的教學(xué)過(guò)程才是完成的，更是當(dāng)前高中數(shù)學(xué)所需要的.

一道優(yōu)秀的課后習(xí)題，其價(jià)值絕不僅僅表現(xiàn)在表層的練習(xí)過(guò)程上.對(duì)之進(jìn)行深入挖掘，便可以發(fā)現(xiàn)運(yùn)用該習(xí)題進(jìn)行訓(xùn)練所能實(shí)現(xiàn)的理想效果.當(dāng)然，這不僅需要教師善于發(fā)現(xiàn)的眼睛，還需要學(xué)生們勤于思考的頭腦.通過(guò)本文的敘述便不難發(fā)現(xiàn)，高中數(shù)學(xué)課后習(xí)題的潛在功能是多種多樣的，它隨著習(xí)題的形式與內(nèi)容的變化而變化.高中階段的數(shù)學(xué)知識(shí)難度本就增加了許多，這對(duì)教師的教學(xué)開(kāi)展提出了不小的挑戰(zhàn).如果能夠抓住課后習(xí)題這一巧妙入口，在幫助學(xué)生鞏固所學(xué)的同時(shí)，更能夠?yàn)檎n堂教學(xué)提供有效補(bǔ)充.這對(duì)于教學(xué)實(shí)效的整體提升來(lái)講，作用顯著，值得每位教師予以關(guān)注和推廣.