活用變式教學(xué)巧建數(shù)學(xué)模型

蔣南慶

一、緣起

初中生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，思維的發(fā)散能力往往欠缺，對于知識的遷移能力也弱，更談不上舉一反三了.因此教學(xué)中常常發(fā)現(xiàn)學(xué)生重復(fù)犯錯(cuò)，老師強(qiáng)調(diào)的內(nèi)容還是不會做或者做錯(cuò).其實(shí)，出現(xiàn)這些情況，緣于在平時(shí)的教學(xué)中，師生沒有及時(shí)地總結(jié)數(shù)學(xué)模型.將數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型是完成知識遷移的關(guān)鍵環(huán)節(jié).

《課程標(biāo)準(zhǔn)》對數(shù)學(xué)建模提出了明確的要求：強(qiáng)調(diào)“從學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解析與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度和價(jià)值觀方面得到進(jìn)步和發(fā)展”. 根據(jù)這一要求，教師要有目標(biāo)、有層次、有變化地設(shè)計(jì)教學(xué)，適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生將問題模型化，求解，證實(shí)，再解決，進(jìn)而提高數(shù)學(xué)意識和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.并潛移默化地促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、創(chuàng)新精神.

二、教學(xué)片斷

秉承“問題情境—建立模型—解釋、應(yīng)用與拓展”的教學(xué)模式開展教學(xué)活動，并在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)建模，在應(yīng)用新知識解決實(shí)際問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)、綜合思維和分析、解決問題的多種能力，取得了較好的成效.

片斷1：變一題，通一片

1.如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，CF∥AB，交AD延長線于F點(diǎn)，則△是等腰三角形.

變式一如圖2，在△ABC中，AD平分∠BAC，BF∥AD，交CA延長線于F點(diǎn)，則△是等腰三角形.

兩個(gè)小題解決后，教師不失時(shí)機(jī)地追問：請同學(xué)們想一想，剛才我們做的兩道題有沒有什么共同特點(diǎn)？學(xué)生甲：好像都有角平分線和平行線.教師：觀察很仔細(xì).學(xué)生乙：都能找到等腰三角形.教師點(diǎn)撥：那么這里出現(xiàn)一個(gè)什么巧妙的圖形組合呢？

片斷2：變一變，滲透通性通法

2.如圖3，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△PnAn-1An都是等腰直角三角形，點(diǎn)P1，P2，P3，…，Pn在函數(shù)y=4x （x>0）的圖象上，斜邊OA1，A1A2，A2A3，…，An-1An都在x軸上，則點(diǎn)A1的坐標(biāo)是，點(diǎn)A2的坐標(biāo)是，點(diǎn)A2006的坐標(biāo)是.

此題的模型構(gòu)建，需要遵循“特殊”——“一般”的化歸思想.求A1，A2就是特殊點(diǎn)，利用形表示出P2點(diǎn)的坐標(biāo)（4+m，m），再將該點(diǎn)代人解析式可得關(guān)于m的方程.余下的點(diǎn)用同樣方法求得，最后找規(guī)律求得P2006的坐標(biāo).解決這個(gè)問題用到了很多的數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合，方程，化歸等.教師重點(diǎn)是幫助他們構(gòu)建數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)模型，即“利用形表示點(diǎn)坐標(biāo)”——“利用數(shù)求得點(diǎn)坐標(biāo)”.并能夠深切體會它的妙用.教師緊跟兩個(gè)變式.

變式一若正△P1OA1與正△P2A1A2，頂點(diǎn)P1，P2在圖象上，求A2點(diǎn)的坐標(biāo).

變式二若正方形ABCO和正方形DEFA的頂點(diǎn)B，E在圖象上.求E點(diǎn)的坐標(biāo).

兩個(gè)變式把幾何背景變成了等邊三角形和正方形.變式旨在讓學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)方法.會把初步概括的模型，深入應(yīng)用.經(jīng)過一段時(shí)間的思考，學(xué)生自然體會到“數(shù)形結(jié)合”模型的妙處，果然可以活學(xué)活用.不難發(fā)現(xiàn)，這樣的方法在這里仍然適用，而且恰到好處.經(jīng)過兩個(gè)變式的鞏固，學(xué)生進(jìn)一步掌握了“利用形表示點(diǎn)坐標(biāo)”——“利用數(shù)求得點(diǎn)坐標(biāo)”的模型.

三、結(jié)語

初中生的發(fā)散思維欠缺，舉一反三的能力較弱，對知識的遷移能力和應(yīng)變能力也不強(qiáng)；思維雖活躍，但深度和廣度都不夠，而運(yùn)用變式手法恰好是訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生思維的最佳手段，能夠順利有效的強(qiáng)化數(shù)學(xué)模型.數(shù)學(xué)建模應(yīng)提倡學(xué)生主動參與，讓學(xué)生親身經(jīng)歷建模的過程，自主完善模型.這樣做能使學(xué)生興趣濃、印象深，對于自己的勞動成果充滿自豪感.以后涉及相關(guān)的習(xí)題時(shí)，學(xué)生往往自覺地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)模型、規(guī)律.學(xué)生思維活躍，教學(xué)效果事半功倍.

數(shù)學(xué)模型有著“以不變應(yīng)萬變”的功效，讓學(xué)生體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣.“問渠哪得清如許，為有源頭活水來”.學(xué)生的思維是“清渠”，而數(shù)學(xué)模型是源頭的“活水”.希望我們能用活水滋潤清渠常流不息.