水平井陣列持水率測(cè)井資料成像插值算法分析

宋紅偉，郭海敏油氣資源與勘探技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(長(zhǎng)江大學(xué))，湖北 武漢長(zhǎng)江大學(xué)地球物理與石油資源學(xué)院，湖北 武漢

水平井陣列持水率測(cè)井資料成像插值算法分析

宋紅偉1,2，郭海敏1,2
1油氣資源與勘探技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(長(zhǎng)江大學(xué))，湖北 武漢2長(zhǎng)江大學(xué)地球物理與石油資源學(xué)院，湖北 武漢

隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，成像觀測(cè)技術(shù)越來(lái)越先進(jìn)。流動(dòng)成像測(cè)井方面，國(guó)外各大測(cè)井公司均推出了全井眼測(cè)量陣列持率測(cè)井儀，測(cè)量在井中相同深度上套管內(nèi)壁附近或分布在不同半徑的圓周上的局部持水率。基于電容陣列持水率測(cè)井儀CAT的測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)特征，分析了簡(jiǎn)單距離反比加權(quán)插值、高斯徑向基函數(shù)插值、普通克里金插值和克里金中的變差函數(shù)距離反比插值算法的原理，然后對(duì)4種插值算法在理論和實(shí)際應(yīng)用方面進(jìn)行了比較，試驗(yàn)數(shù)據(jù)成像處理效果圖和誤差綜合分析結(jié)果表明，普通克里金插值算法的成像效果和誤差估計(jì)總體比其他3種插值算法好，能較直觀反映井內(nèi)油水介質(zhì)的分布和井筒截面上總的持水率值。

水平井，陣列持水率儀，流動(dòng)成像，生產(chǎn)測(cè)井

Received: Aug. 30th, 2015; accepted: Jan. 7th, 2016; published: Mar. 15th, 2016

Copyright ? 2016 by authors, Yangtze University and Hans Publishers Inc.

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1. 引言

隨著水平井鉆采技術(shù)應(yīng)用規(guī)模的快速擴(kuò)大，對(duì)水平產(chǎn)出剖面測(cè)井的需求也日益迫切。持水率作為油井生產(chǎn)剖面評(píng)價(jià)的一個(gè)重要流動(dòng)參數(shù)，對(duì)找準(zhǔn)產(chǎn)水層位、采取措施提高油氣產(chǎn)量至關(guān)重要。在水平井中多相流并不以混合狀態(tài)存在，而是以水平層流為主的復(fù)雜流型，最重要的流動(dòng)信息存在于沿井筒直徑的垂直面上，通常用于垂直井中的常規(guī)生產(chǎn)測(cè)井儀器的各個(gè)傳感探頭居中并分散到井筒長(zhǎng)距離內(nèi)，使得其測(cè)量水平復(fù)雜狀態(tài)的參數(shù)非常困難，常規(guī)生產(chǎn)測(cè)井儀器不再適用[1]。目前國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)報(bào)道的在水平井中應(yīng)用較好的陣列持水率測(cè)井儀器主要有Flowview Plus (8個(gè)探頭)、GHOST (4個(gè)探頭)、DEFT (6個(gè)探頭)、RAT (12個(gè)探頭)和CAT (12個(gè)探頭)等[2]。

陣列持水率成像測(cè)井屬于對(duì)非均勻介質(zhì)動(dòng)態(tài)的非線性測(cè)量[3]，獲取多相流體的二維分布信息，通過(guò)對(duì)油氣井內(nèi)多相流體在有限點(diǎn)分布信息的成像處理，實(shí)時(shí)成像顯示整個(gè)井筒截面上的流體分布情況，實(shí)現(xiàn)流型辨識(shí)和確定相含率，克服傳統(tǒng)測(cè)量技術(shù)難以解決的問(wèn)題，為生產(chǎn)油井動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)提供更精確的測(cè)井信息，成為解決油田動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)難題的新“武器”[2]。筆者以電容陣列持水率測(cè)井儀CAT的測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)為例，探討陣列持水率測(cè)井資料的成像插值算法，并結(jié)合試驗(yàn)資料予以驗(yàn)證，提高了陣列持水率測(cè)井資料解釋精度。

2. 成像插值算法

CAT儀器是用來(lái)解決在水平井或大斜度井中區(qū)別井下流相的分布，它在井中居中測(cè)量，并且和井斜儀配合測(cè)量。由于油、氣、水有不同的介電常數(shù)，每個(gè)探頭的輸出頻率隨著它周?chē)黧w的不同而變化，對(duì)儀器進(jìn)行刻度可準(zhǔn)確地鑒別探頭周?chē)黧w的性質(zhì)。儀器由12個(gè)特定的微小的電容傳感器組成，并安裝于每個(gè)彈簧弓里，每個(gè)探頭測(cè)量其周?chē)黧w的介電常數(shù)，12個(gè)值同時(shí)傳送給地面或存儲(chǔ)單元，通過(guò)數(shù)據(jù)處理和儀器在油和水中的刻度將響應(yīng)值轉(zhuǎn)化為每個(gè)探頭的局部持水率[4]。CAT儀器的12個(gè)探頭均勻分布在井筒截面圓周上，為單環(huán)模式(見(jiàn)圖1、圖2)。根據(jù)12個(gè)探頭的測(cè)井響應(yīng)值對(duì)井截面進(jìn)行插值成像，實(shí)際上就是根據(jù)12個(gè)探頭的響應(yīng)值對(duì)井筒截面上其他點(diǎn)的局部響應(yīng)值進(jìn)行插值估計(jì)，再根據(jù)井筒截面上持水率的高低分配以不同的顏色顯示，展示出整個(gè)井筒截面上的流體分布情況。

上述插值成像的數(shù)據(jù)場(chǎng)可視化需要通過(guò)對(duì)離散數(shù)據(jù)場(chǎng)進(jìn)行區(qū)域剖分，建立數(shù)學(xué)模型插值后，利用傳統(tǒng)的計(jì)算機(jī)圖形學(xué)方法加以顯示，從而獲取對(duì)數(shù)據(jù)場(chǎng)內(nèi)部信息的觀察。因此，利用圖形學(xué)成像，插值是其中關(guān)鍵的一步，插值過(guò)程就是建立所研究變量完整的數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。采用不同的插值方法建立的數(shù)學(xué)模型會(huì)有差別，后期對(duì)其規(guī)律的顯示從效果上看也是不相同的[5]。數(shù)據(jù)場(chǎng)可視化常用的插值算法一般有簡(jiǎn)單距離反比加權(quán)插值算法、高斯徑向基函數(shù)插值算法、普通克里金插值算法和克里金中的變差函數(shù)距離反比插值等。

Figure 1. CAT single ring mode of capacitance array water holdup logging tool圖1. 電容陣列持水率測(cè)井儀CAT單環(huán)模式圖

Figure 2. The profile di stribution of 12 probes of CAT instrument圖2. CAT儀器12個(gè)探頭的剖面分布示意

2.1. 簡(jiǎn)單距離反比加權(quán)插值原理

設(shè)Pi(xi, yi)為井截面上的點(diǎn)坐標(biāo)，Dij為第i個(gè)CAT探頭點(diǎn)到井截面上非探頭點(diǎn)Pj(xj, yj)的距離，Ti為 CAT第i個(gè)探頭測(cè)井響應(yīng)值，Tj為井筒截面上非探頭點(diǎn)Pj(xj, yj)處的持水率預(yù)測(cè)值。假設(shè)CAT探頭局部持率在井筒截面上的分布連續(xù)變化是合理的，那么點(diǎn)和點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)性隨著距離的增大而連續(xù)減小。簡(jiǎn)單距離反比加權(quán)的插值是就是基于源值對(duì)其他點(diǎn)的影響隨著距離增大而減小考慮的，其插值原理是，井筒截面上待插值點(diǎn)預(yù)測(cè)的持水率值是待插點(diǎn)區(qū)域內(nèi)已知CAT探頭持水率值的加權(quán)平均，權(quán)系數(shù)的大小與待插點(diǎn)和區(qū)域內(nèi)CAT探頭位置之間的距離有關(guān)，是距離的k (0≤k≤2) (k一般取2)次方的倒數(shù)。即：

2.2. 高斯徑向基函數(shù)插值原理

插值算法中權(quán)值是插值處理的關(guān)鍵[6]，高斯徑向基函數(shù)是與距離有關(guān)的權(quán)系數(shù)計(jì)算函數(shù)，具有連續(xù)的一階和二階倒數(shù)，源點(diǎn)對(duì)周?chē)c(diǎn)的影響程度隨著距離的增大而平穩(wěn)減小，且源點(diǎn)對(duì)周?chē)c(diǎn)的影響程度在過(guò)了一定的范圍后，隨著距離的增大而迅速減小。該特性和CAT探頭的測(cè)量值所反映的范圍是有限的這個(gè)規(guī)律很相符。該次研究引用的高斯徑向基函數(shù)φ(r)為：

式中：r為待插點(diǎn)與CAT探頭的距離；σij為i、j這2點(diǎn)間的遞減控制系數(shù)。

高斯徑向基函數(shù)插值算法中，函數(shù)為權(quán)值系數(shù)，即井筒截面上待插值點(diǎn)預(yù)測(cè)的持水率為：

2.3. 普通克里金插值原理

克里金(Kriging)方法又稱(chēng)空間局部插值法，是以變差函數(shù)理論和結(jié)構(gòu)分析為基礎(chǔ)，在有限區(qū)域內(nèi)對(duì)區(qū)域化變量進(jìn)行無(wú)偏最優(yōu)估計(jì)的一種方法，是地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的主要內(nèi)容之一。其實(shí)質(zhì)是利用區(qū)域化變量的原始數(shù)據(jù)和變差函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，對(duì)未知樣點(diǎn)進(jìn)行線性無(wú)偏、最優(yōu)估計(jì)。無(wú)偏是指偏差的數(shù)學(xué)期望為0，最優(yōu)是指估計(jì)值與實(shí)際值之差的平方和最小。

λi( i=1,2,3,…,12)為待求權(quán)系數(shù)，無(wú)偏性和估計(jì)方差最小被作為λi選取的標(biāo)準(zhǔn)，即：

式中：E為數(shù)學(xué)期望；Var為方差。

從本征假設(shè)出發(fā)，可知E[Z(x)]為常數(shù)，有：

可得到關(guān)系式：

應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，達(dá)到估計(jì)方差最小要求，即：

式中：λj為拉格朗日乘子；μ為拉格朗日因子。

進(jìn)一步推導(dǎo)，可得求解權(quán)系數(shù)λi的方程組：

求出權(quán)系數(shù)后，就可以根據(jù)式(4)求出井截面上非探頭點(diǎn)的持水率預(yù)測(cè)值。

當(dāng)隨機(jī)函數(shù)不滿(mǎn)足二階平穩(wěn)，而滿(mǎn)足內(nèi)蘊(yùn)(本征)假設(shè)時(shí)，可用待插點(diǎn)與已知采樣點(diǎn)之間的變差函數(shù)γ(xi, xj)來(lái)表示式(9)：

變差函數(shù)定義為：

2.3.1. 克里金插值法中的變差函數(shù)

變差函數(shù)是克里金插值的基礎(chǔ)。插值需要首先確定研究區(qū)域變量的變差函數(shù)。設(shè)z(x)是系統(tǒng)某屬性z在空間位置x處的值，z(x)為一區(qū)域化隨機(jī)變量，并滿(mǎn)足二階平穩(wěn)假設(shè)；h為兩樣本點(diǎn)空間分隔距離，z(xi)和z(xi+ h)分別是區(qū)域化變量z(x)在空間位置xi和xi+ h處的實(shí)測(cè)值[i=1,2,…,N( h)]。那么，變差函數(shù)γ(h)的離散計(jì)算公式為：

2.3.2. 變差函數(shù)的理論模型

變差函數(shù)理論模型一般分為有基臺(tái)值和無(wú)基臺(tái)值兩大類(lèi)。有基臺(tái)值的變差函數(shù)理論模型包括球狀模型、指數(shù)模型、高斯模型等。最常用的是球狀模型[5]，球狀模型公式為：

式中：c0為塊金(效應(yīng))常數(shù)；c為拱高；c0+ c為基臺(tái)值；a為變程。

2.4. 克里金中的變差函數(shù)距離反比插值原理

在克里金插值法和簡(jiǎn)單距離反比插值法的基礎(chǔ)上，可以將簡(jiǎn)單距離反比加權(quán)法中的距離函數(shù)改寫(xiě)成變差函數(shù)，加權(quán)系數(shù)仍為距離的函數(shù)(變差函數(shù)是距離的函數(shù))，但是不按距離平方的倒數(shù)方式減小，而是按變差函數(shù)的性質(zhì)來(lái)減小。具體表達(dá)形式如下：

3. 算法理論分析

距離反比加權(quán)的插值是基于源點(diǎn)值對(duì)其他點(diǎn)的影響隨著距離增大而較小考慮的，插值矩陣是恒定不變的，只與待插值點(diǎn)與源點(diǎn)的距離有關(guān)，源點(diǎn)之?dāng)?shù)值對(duì)待插點(diǎn)的影響沒(méi)有考慮，權(quán)系數(shù)與源點(diǎn)相互之間沒(méi)有任何關(guān)系，只要待插點(diǎn)和源點(diǎn)之間的距離一定，則其權(quán)系數(shù)是相同的。插值矩陣沒(méi)有任何適應(yīng)性，它不能更豐富地表達(dá)流體流動(dòng)的特征，不能表現(xiàn)流量、含水和井斜對(duì)流型的影響[6]。但是，該模型簡(jiǎn)單，實(shí)現(xiàn)起來(lái)容易，效率最高，插值中所需存儲(chǔ)空間最小。所以簡(jiǎn)單距離反比加權(quán)插值模型還是有一定的價(jià)值的。

高斯徑向基函數(shù)插值是采用高斯函數(shù)作為權(quán)系數(shù)計(jì)算函數(shù)，它具有隨距離衰減的特性。該算法通過(guò)遞減控制系數(shù)σij反映流量、井斜等因素對(duì)流型的影響。σij的引入使得高斯徑向基函數(shù)插值算法的插值矩陣對(duì)流量和井斜等特征有了一定的適應(yīng)性。

變差函數(shù)距離反比插值是將距離反比加權(quán)的插值中的距離值用變差函數(shù)代替，這樣，待插點(diǎn)與源點(diǎn)的距離越大，對(duì)應(yīng)該點(diǎn)的權(quán)系數(shù)越小；和距離反比相似，但是不按距離平方的倒數(shù)方式減小，而是按變差函數(shù)的倒數(shù)減小，并且具有歸一化的性質(zhì)。使用該方法時(shí)，需先根據(jù)源點(diǎn)位置及源點(diǎn)測(cè)量值確定變差函數(shù)，失去了距離反比加權(quán)插值算法效率高的特點(diǎn)。

上述3種插值算法的權(quán)函數(shù)與距離的遞減關(guān)系如圖3所示。距離反比加權(quán)函數(shù)在整個(gè)區(qū)域是個(gè)凹函數(shù)，對(duì)距離太敏感，用它作為求取權(quán)系數(shù)的函數(shù)無(wú)法保證算法的相容性，它會(huì)導(dǎo)致插值矩陣成為病態(tài)矩陣。高斯徑向基函數(shù)表示源點(diǎn)對(duì)周?chē)c(diǎn)的影響程度隨著距離的增大而平穩(wěn)減小，當(dāng)距離超過(guò)一定范圍后迅速的減小。相對(duì)來(lái)說(shuō)，它的特性比變差函數(shù)距離反比函數(shù)優(yōu)秀，是對(duì)距離反比加權(quán)算法的一種有效改進(jìn)。

普通克里金插值是先通過(guò)源點(diǎn)之間的距離和源點(diǎn)的測(cè)量值確定所研究區(qū)域的變差函數(shù)，然后通過(guò)求基于變差函數(shù)的克里金方程組得到克里金插值法的權(quán)系數(shù)。這種構(gòu)性集中體現(xiàn)在探頭測(cè)量值的變差函數(shù)(即測(cè)量值的協(xié)方差函數(shù))中。權(quán)系數(shù)不僅與待插點(diǎn)到源點(diǎn)的距離有關(guān)，還與源點(diǎn)上的測(cè)量值有關(guān)，能更好地體現(xiàn)井筒截面流體的流動(dòng)特性。

4. 在實(shí)際應(yīng)用中效果比較

基于上述4種插值算法，采用VC++6.0開(kāi)發(fā)平臺(tái)，編寫(xiě)了CAT測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)處理模塊，可以實(shí)現(xiàn)探頭測(cè)量值的顯示、插值算法的選擇及相關(guān)參數(shù)的調(diào)整(圖4)。

Figure 3. Comparison diagram of inverse distance weighting, Gaussian radial basis function, variation function distance inverse function圖3. 距離反比加權(quán)、高斯徑向基函數(shù)、變差函數(shù)距離反比函數(shù)對(duì)比圖

Figure 4. CAT interpolation image data processing module圖4. CAT插值成像數(shù)據(jù)處理模塊

處理數(shù)據(jù)來(lái)自CAT在多相流動(dòng)模擬裝置上的油水兩相試驗(yàn)采集結(jié)果，試驗(yàn)溫度為13.66℃，壓力約為0.2 MPa，介質(zhì)為自來(lái)水和10號(hào)工業(yè)白油，試驗(yàn)井斜為90° (即井段處于水平狀態(tài))，油水總流量為100 m3/d，含水率分別為20%、40%、60%、80%。試驗(yàn)數(shù)據(jù)根據(jù)儀器在油和水中的刻度值將響應(yīng)值轉(zhuǎn)化為持水率，結(jié)果見(jiàn)表 1。對(duì)該組數(shù)據(jù)分別利用簡(jiǎn)單距離反比加權(quán)插值算法、高斯徑向基函數(shù)插值算法、普通克里金插值算法和克里金中的變差函數(shù)距離反比插值算法對(duì)其插值進(jìn)行成像處理，持率成像處理結(jié)果與試驗(yàn)時(shí)流管側(cè)面照片對(duì)比見(jiàn)圖5。

對(duì)上述測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)插值結(jié)果進(jìn)行交叉驗(yàn)證，即依次刪除一個(gè)探頭的測(cè)井值，利用其他探頭的測(cè)井值插值計(jì)算被刪除探頭的響應(yīng)值，并對(duì)12個(gè)探頭插值計(jì)算結(jié)果與實(shí)際測(cè)井值作比較，進(jìn)行誤差統(tǒng)計(jì)分析，分析結(jié)果見(jiàn)表2。

Table 1. Water holdup of 12 CAT probes in horizontal well表1. 水平井12個(gè)CAT探頭持水率

Table 2. Comparison for cross validation results of interpolation algorithms表2. 插值算法交叉驗(yàn)證結(jié)果比較

Figure 5. CAT experimental data for water holdup imaging processing results under different water cut conditions being compared with the test pictures圖5. 不同含水率情況下CAT試驗(yàn)資料持水率成像處理結(jié)果與試驗(yàn)照片對(duì)比

從插值成像處理結(jié)果與試驗(yàn)時(shí)流管側(cè)面照片對(duì)比來(lái)看，高斯徑向基函數(shù)插值算法和變差函數(shù)距離反比插值算法能更好地反映油水分界面的位置，但成像色差代表的持水率明顯沒(méi)有簡(jiǎn)單距離反比插值算法和克里金插值算法計(jì)算結(jié)果好；簡(jiǎn)單距離反比插值算法和變差函數(shù)距離反比插值算法對(duì)距離太敏感，在探頭位置附近收斂速度過(guò)快，出現(xiàn)持水率變小后形成的圓點(diǎn)；普通克里金插值算法分層能力較高斯徑向基函數(shù)插值算法和變差函數(shù)距離反比插值算法稍差，但比簡(jiǎn)單距離反比插值算法好，成像色差代表的持水率明顯比其他算法好。

從交叉驗(yàn)證結(jié)果看，簡(jiǎn)單距離反比插值算法的誤差最小，其次是普通克里金插值算法，高斯徑向基函數(shù)插值算法誤差最大。高斯徑向基函數(shù)插值算法和變差函數(shù)距離反比插值算法在水層和油層的持水率計(jì)算值誤差較大。結(jié)合成像效果和誤差估計(jì)總體比較可以看出，普通克里金插值算法優(yōu)于其他算法的效果和指標(biāo)。

5. 結(jié)語(yǔ)

陣列持水率測(cè)井儀采用多個(gè)探頭測(cè)量井筒截面上不同方位的持水率，克服了常規(guī)單個(gè)探頭測(cè)量值代表井筒截面持水率總體效應(yīng)的確定，對(duì)于水平及大斜度井中由于重力影響造成油水分布出現(xiàn)各向異性有較好的應(yīng)用效果。對(duì)其測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)進(jìn)行成像處理重建井筒過(guò)流截面油水分布圖像，可以幫助測(cè)井解釋人員直觀了解井筒油水分布及流型。但由于井筒截面上陣列探頭個(gè)數(shù)的局限，不同插值算法權(quán)系數(shù)的確定方法不同，造成成像效果差異較大。成像插值中建立的數(shù)據(jù)模型的關(guān)鍵是探頭測(cè)量值與待插值之間的函數(shù)關(guān)系，要求既要反映井內(nèi)介質(zhì)的分布情況，又要符合井筒整個(gè)截面上總的持水率。通過(guò)水平井段4種含水情況下試驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理分析結(jié)果表明，普通克里金算法的插值效果和誤差結(jié)果優(yōu)于其他算法。

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Analysis on Imaging Interpolation Algorithm for Logging Data of Water Holdup Array Tool in Horizontal Wells

Hongwei Song1,2, Haimin Guo1,2
1Key Laboratory of Exploration Technologies for Oil and Gas Resources (Yangtze University), Ministry of Education, Wuhan Hubei2School of Geophysics and Oil Resources, Yangtze University, Wuhan Hubei

With the progress of science and technology, imaging observation technology was more and more advanced. The large well logging companies abroad pushed out the full well logging tool of array holdup applied in flow imaging logging; this tool could measure the local water holdup at the circular ring inner wall of the casing at the same depth. Based on data feature of logging data of CAT, the principles of simple inverse distance weighting value, Gauss basis function interpolation, ordinary Kriging interpolation and variogram function inverse weighting method were analyzed in this paper. The comparison of these interpolation methods both in theory and in practical application shows that the result of Kriging interpolation method is better than that of the other three methods. The result can better show the distribution of the medium of oil-water in the well and total water holdup clearly and directly.

Horizontal Well, Water Holdup Array Tool, Flow Imaging, Production Logging

宋紅偉(1978-)，男，博士，副教授，現(xiàn)主要從事生產(chǎn)測(cè)井的教學(xué)和科研工作。

2015年8月30日；錄用日期：2016年1月7日；發(fā)布日期：2016年3月15日

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(41474115)；中國(guó)石油天然氣集團(tuán)公司工程技術(shù)重大專(zhuān)項(xiàng)(2013E-3809)。

文章引用： 宋紅偉, 郭海敏. 水平井陣列持水率測(cè)井資料成像插值算法分析[J]. 石油天然氣學(xué)報(bào), 2016, 38(1): 24-32. http://dx.doi.org/10.12677/jogt.2016.381004