矩形中厚板彎曲問題的解耦解法

鐘　陽，劉　衡

(大連理工大學(xué) 交通運輸學(xué)院，116024 遼寧 大連)

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矩形中厚板彎曲問題的解耦解法

鐘陽，劉衡

(大連理工大學(xué) 交通運輸學(xué)院，116024 遼寧 大連)

摘要:為簡化中厚板彎曲問題解析解的求解方法，采用解耦法和改進(jìn)的重三角級數(shù)法對問題進(jìn)行求解. 首先從板問題的原始控制方程組出發(fā)，通過引入過渡函數(shù)，用解耦法對變量相互耦合的偏微分方程組進(jìn)行分解化簡，分別解耦成可以直接求解和間接求解的獨立偏微分方程，進(jìn)而在四邊固支邊界條件下，利用改進(jìn)的重三角級數(shù)法，將計算過程中不同的級數(shù)核統(tǒng)一化，分別求得原始控制方程中各個變量的級數(shù)解，最后將所得解析解與有限元解進(jìn)行對比分析. 結(jié)果表明: 隨著級數(shù)項的增加，級數(shù)解與有限元解趨于一致，從而驗證了該方法及推導(dǎo)過程的正確性. 同時，在整個求解過程中，通過對控制方程組的解耦化簡，避免了復(fù)雜的運算過程，使得問題的整個解法更為簡潔、直觀.

關(guān)鍵詞:Mindlin板；四邊固支；彎曲問題；解耦法；重三角級數(shù)法

矩形中厚板是一種常見的結(jié)構(gòu)形式，廣泛應(yīng)用于公路、建筑、航天等領(lǐng)域，實際工程中有很多問題都可以簡化為中厚板的彎曲問題，而隨著現(xiàn)代工業(yè)的發(fā)展，對板結(jié)構(gòu)的分析也提出了更高的要求，因此，更為準(zhǔn)確的研究中厚板的彎曲具有十分重要的理論和實際意義.

目前，處理復(fù)雜板問題的流行辦法是，采用數(shù)值方法來求解問題的數(shù)值解，其中具有代表性的方法包括有限差分法[1]、有限元法[2]等，但數(shù)值解的本質(zhì)是近似解而非精確解，所以在數(shù)值解法不斷發(fā)展的同時，學(xué)者們也針對板問題的解析解進(jìn)行了進(jìn)一步研究，并提出了一些新的求解辦法，例如黃義等[3]采用變分解法，對于彈性地基上四邊自由矩形板的彎曲問題進(jìn)行了求解. 鐘陽等[4]建立了矩形中厚板Hamilton體系的構(gòu)造方法，發(fā)展了矩形薄板和中厚板彎曲問題的辛幾何解法. 另外，鐘陽等[5]還采用有限積分變換法求解了部分邊界條件下的矩形薄板和中厚板問題.

本文采用的是改進(jìn)的重三角級數(shù)法，來求解Mindlin板彎曲問題控制方程，求解過程中采用了解耦法，先通過引入新變量，將原來的二階偏微分方程組，解耦為4個獨立的偏微分方程，再以改進(jìn)的重三角級數(shù)法，來分別求解完全獨立的方程，進(jìn)而簡化了求解過程.

1Mindlin板控制方程以及方程的解耦

Mindlin板彎曲問題控制方程為

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

進(jìn)而，分別對式(1)進(jìn)行改寫，將式(2)對x求導(dǎo)，將式(3)對y求導(dǎo)相加，經(jīng)過整理得到

(6)

(7)

又由式(6)、(7)括號內(nèi)變量，得到

(8)

(9)

再對式(1)分別進(jìn)行x和y的求導(dǎo)，得到

(10)

(11)

將式(10)乘以系數(shù)(1+μ)/2，再與式(2)作相減，消去方程中的φy項，得到w與φx的獨立關(guān)系表達(dá)式為

(12)

其中常系數(shù)Q=2C/[D(1-μ)]. 同理，由式(11)乘以系數(shù)(1-μ)/2，和式(3)作相減，消去方程中的φx項，得到w與φy的獨立關(guān)系表達(dá)式為

(13)

再由式(6)，對式(12)、(13)中的括號內(nèi)變量進(jìn)一步簡寫，得

(14)

(15)

至此，求解Mindlin板彎曲問題控制方程組，可以歸結(jié)為分別求解獨立方程(8)、(9)、(14)、(15). 其中式(8)、(9)分別為關(guān)于w和M的獨立偏微分方程，求其解的過程會大大簡化于式(1)～(3)所表示的耦合二階偏微分方程組.

2問題的求解

為了求得四邊固支Mindlin板彎曲問題的解析解. 本文利用改進(jìn)的重三角級數(shù)法，對解耦的方程組展開求解，四邊固支邊界條件表達(dá)式為

(16)

根據(jù)邊界條件表達(dá)式，設(shè)3個廣義位移變量w、φx和φy的重三角級數(shù)解的基本形式為

(17)

其中αn=nπ/a，βm=mπ/b. 另外根據(jù)M的定義表達(dá)式(5)，故不妨也設(shè)M的重三角級數(shù)解形式為

(18)

將外荷載q也進(jìn)行雙重正弦級數(shù)展開，可以得到

(19)

其中Qnm為傅里葉積分常數(shù).

將式(18)、(19)代入到關(guān)于M的獨立偏微分方程(8)中，得到

(20)

由級數(shù)展開的唯一性定理，等式成立則等式兩端級數(shù)項前系數(shù)相等，故解得

(21)

將式(21)代回式(18)中,得到M的級數(shù)解表達(dá)式為

(22)

同理將式(17)和式(22)代入式(9)中，得到w的級數(shù)解表達(dá)式為

(23)

至此，就求得了M和w的級數(shù)解(22)、(23)，然后將它們分別代入式(14)、(15)中，得到

(24)

(25)

其中Mnm和Wnm已求得.

顯然，等式(24)、(25)兩側(cè)的級數(shù)核不同，不可以直接使用級數(shù)展開的唯一性定理，來求得項前系數(shù)Xnm和Ynm，故使用改進(jìn)的重三角級數(shù)法，利用級數(shù)核的變換關(guān)系為

(26)

其中

將上述級數(shù)變換關(guān)系代入式(24)、(25)，經(jīng)整理得到

(27)

(28)

從而經(jīng)過級數(shù)核的變換，等式兩端級數(shù)形式統(tǒng)一，再由級數(shù)展開的唯一性定理，直接解得項前系數(shù)Xnm和Ynm分別為

WrmQ]hnrαr,

(29)

WnsQ]hmsβs.

(30)

hnrαrsinαnxsinβmy，

(32)

(33)

(34)

3算例

為驗證本方法的正確性，以四邊固支均布荷載作用下的矩形中厚板為例，取板的尺寸a=b，泊松比μ=0.3，設(shè)δ=a/h為板的邊長厚度比. 圖1為δ=3時矩形中厚板彎曲問題撓度無量綱化變化情況示意圖.

圖1　矩形中厚板彎曲問題撓度變化情況

表1中列出了算例條件下，中厚板中點撓度以及固支邊中點彎矩的數(shù)值求解結(jié)果. 結(jié)果表明，除δ=5時的彎矩解析解與有限元解存在0.2%的相對誤差外，在級數(shù)項m,n取至30時，本文所得的其他解析結(jié)果與有限元結(jié)果基本一致，從而可以證明本方法及推導(dǎo)的正確性. 另外，通過解析解還可以研究剪切變形占總變形比例隨板厚度的變化情況，從而探討板種類的劃分問題，相關(guān)內(nèi)容會在之后的工作中具體討論.

表1　中厚板的撓度與彎矩解析解

4結(jié)論

1)采用解耦法和改進(jìn)的重三角級數(shù)法，求解了四邊固支條件下矩形中厚板彎曲問題的解析解，在本文最后的算例中，將所得結(jié)果與有限元軟件計算結(jié)果進(jìn)行了對比，通過比對結(jié)果，證明了本文方法及推導(dǎo)的正確性.

2)在求解的過程中，由于解耦法的使用避免了復(fù)雜的推導(dǎo)運算，大大簡化了推導(dǎo)及計算過程；此外，該解耦方法還可以推廣到其他板問題，用于簡化相關(guān)解析解的求解過程.

參考文獻(xiàn)

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[2] 監(jiān)凱維奇. 有限元方法基礎(chǔ)理論[M].2版. 北京：世界圖書出版社，2008.

[3] WANG M G, HUANG Y. Rectangular plates on elastic half a space [J]. Journal of Applied Mechanics, 1994, 11(4):120-127.

[4] ZHONG Yang, LI Rui. Exact bending analysis of fully clamped rectangular thin plates subjected to arbitrary loads [J]. Mechanics Research Communications, 2009, 36(6): 707-714.

[5] ZHONG Yang, TIAN Bin. The analysis of free rectangular thick plates with finite integral transform method on elastic foundation[J]. Journal of Geotechnical Engineering, 2006, 28(11): 2019-2021.

(編輯魏希柱)

Ananalytical method for bending rectangular plates with all edges clamped supported

ZHONG Yang, LIU Heng

(School of Transportation and Logistics, Dalian University of Technology, 116024 Dalian,Liaoning，China)

Abstract:In order to simplifying the analytic method of bending problem of rectangular thick plate, the decoupling method and the modified Navier method are combined for accurate bending analysis of rectangular thick plates with all edges clamped supported. By using the transition function, the basic governing equations for Mindlin plates are first decoupled into independent differential equations which can be solved separately. With the different series corns unified by modified navier method, analytic solution of rectangular thick plate with all edges clamped supported is derived simply. Numerical comparisons show the correctness and accuracy of the results at last. The method used in this paper leaves out the complicated derivation for calculating coefficients and obtain the solution to problems directly.

Keywords:Mindlin plates; clamped supported; bending problem; decoupling method; modified Navier method

中圖分類號:TB125

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號:0367-6234(2016)03-0143-04

通信作者:鐘陽， zhongyang58@vip.tom.com.

作者簡介:鐘陽(1955—)，男，教授，博士生導(dǎo)師.

收稿日期:2015-11-26.

doi：10.11918/j.issn.0367-6234.2016.03.024