失諧葉盤結(jié)構(gòu)減振問題研究綜述

張　亮,劉鐵箭,李　欣,霍緒堯

(遼寧工業(yè)大學機械工程與自動化學院，遼寧錦州　121001)

?

失諧葉盤結(jié)構(gòu)減振問題研究綜述

張亮,劉鐵箭,李欣,霍緒堯

(遼寧工業(yè)大學機械工程與自動化學院，遼寧錦州121001)

摘要：葉盤結(jié)構(gòu)是航空發(fā)動機、燃氣輪機的重要零部件，在工程實際中應(yīng)用廣泛。失諧普遍存在于葉盤結(jié)構(gòu)中，并且會破壞葉盤系統(tǒng)原有的振動特性，是導(dǎo)致葉盤高周疲勞失效的原因之一，因此研究如何降低葉盤結(jié)構(gòu)振動是非常有必要的。在梳理國內(nèi)外相關(guān)研究的基礎(chǔ)上，介紹了葉盤結(jié)構(gòu)失諧振動的機理，歸納了失諧葉盤系統(tǒng)減振的主要技術(shù)方法，如人為主動失諧、碰撞阻尼、摩擦阻尼、優(yōu)化葉片安裝排序減振等，提出了今后的一些研究方向。

關(guān)鍵詞：振動控制理論；失諧葉盤結(jié)構(gòu)；碰撞阻尼；摩擦阻尼；優(yōu)化算法

在工程實際中，葉盤結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于航空發(fā)動機、燃氣輪機及汽輪機中。理論上葉盤結(jié)構(gòu)是圓周周期對稱結(jié)構(gòu)，但是由于加工制造中的誤差、材料質(zhì)地不均勻、工作中的磨損以及為抑制顫振人為的改變參數(shù)等因素，使得各葉片之間存在微小的差異(即失諧)。通常失諧會改變?nèi)~盤結(jié)構(gòu)的循環(huán)周期性，使若干少量的葉片具有較大的振動能量，易導(dǎo)致循環(huán)疲勞失效，從而產(chǎn)生安全隱患。因此，很有必要對如何減輕失諧造成的葉盤結(jié)構(gòu)振動局部化開展深入研究。隨著對失諧引起的葉盤結(jié)構(gòu)振動局部化機理的認識，人們開始采取一系列措施對葉盤結(jié)構(gòu)進行減振[1]。

1葉盤結(jié)構(gòu)失諧振動

1.1失諧振動機理

葉片-輪盤系統(tǒng)(葉盤系統(tǒng))受迫振動方程一般可表示為

(1)

式中：x為位移矩陣；M,C,K,f(t)分別為質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣和激振力矩陣。由于失諧普遍存在，往往使M,C,K存在一定的失諧量ΔM,ΔC,ΔK。

圖1　波傳播表示葉片振動傳遞的示意圖Fig.1　　　Schematic diagram of blade vibration 　　　transfer by wave propagation

圖2　葉盤結(jié)構(gòu)集中參數(shù)模型Fig.2　Lumped parameter model of bladed disk

振動在葉盤系統(tǒng)中各葉片間的傳遞可以利用單波通過多層介質(zhì)的傳播過程來模擬[2]，見圖1?？梢杂貌煌俣仍谌~盤結(jié)構(gòu)周向傳遞波的疊加來解釋葉片受迫振動響應(yīng)，假如相鄰兩葉片差異較大(頻響函數(shù)相差較大)，則振動波在傳播過程中反射分量幅值大，振動能量不易傳遞就會被抑制在1個或多個葉片上，使得這些葉片的振幅遠大于其他葉片，這就是失諧引起葉盤系統(tǒng)振動局部化的機理。葉盤系統(tǒng)振動局部化主要包括模態(tài)局部化和振動響應(yīng)局部化[3-4]。

1.2葉盤結(jié)構(gòu)模型

葉盤結(jié)構(gòu)模型主要有集中參數(shù)模型、連續(xù)參數(shù)模型和有限元模型，近期人們在有限元模型基礎(chǔ)上提出了高保真有限元減縮模型。

1)集中參數(shù)模型

用彈簧-質(zhì)量集中參數(shù)來模擬葉盤結(jié)構(gòu)的每個基本扇區(qū)，且與基礎(chǔ)相連，扇區(qū)與扇區(qū)之間耦合作用采用無質(zhì)量的彈簧模擬(見圖2)。在單自由度、多自由度模型中無質(zhì)量的彈簧分別模擬葉片間耦合、輪盤扇區(qū)耦合。

集中參數(shù)模型能夠方便地揭示葉盤結(jié)構(gòu)振動的一般機理以及特性規(guī)律[4-7]。該模型在建模過程中僅考慮了周期性特征，對于其他因素都予以省略，因而求解精度低，誤差比較大，適用于對葉盤結(jié)構(gòu)振動定性的研究，是一種用于分析葉盤結(jié)構(gòu)振動的最簡單模型。

圖3　葉盤結(jié)構(gòu)連續(xù)參數(shù)模型 Fig.3　Continuous parameter model of bladed disk

2)連續(xù)參數(shù)模型

連續(xù)參數(shù)模型分別用梁和板等連續(xù)參數(shù)結(jié)構(gòu)件模擬葉片和輪盤，用無質(zhì)量的彈簧模擬它們之間的耦合(見圖3)。

連續(xù)參數(shù)模型在研究葉盤系統(tǒng)時，可以考慮葉片的彎曲、扭轉(zhuǎn)、轉(zhuǎn)速、裂紋等因素對振動的影響，因此，相對集中參數(shù)模型，連續(xù)參數(shù)模型模擬精度較高。早在1973年，EWINS[8]便利用梁模擬葉片進行葉片-輪盤結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的分析，但梁中沒有考慮阻尼。TURCOTTE等[9]利用具有結(jié)構(gòu)阻尼的Euler-Bernoulli梁來模擬葉片，并在其根部用彈簧連接起來考慮葉片間的耦合。SEUNG等[10]通過建立連續(xù)參數(shù)模型分析了由于轉(zhuǎn)動慣量、長度和彈性模量的失諧對葉盤振動局部化的影響。

圖4　葉盤系統(tǒng)有限元模型Fig.4　Finite element model of bladed disk

3)有限元減縮模型

IRRETIER等[11]最早建立失諧葉盤結(jié)構(gòu)有限元模型(見圖4)，分析葉盤振動特性。由于有限元模型更能精確地模擬葉盤系統(tǒng)，計算機技術(shù)的發(fā)展為計算提供了方便簡潔的工具，因此，有限元模型被廣泛地應(yīng)用在葉盤系統(tǒng)失諧振動研究中。由于葉盤結(jié)構(gòu)曲線輪廓的復(fù)雜性，建立高保真實際葉盤結(jié)構(gòu)有限元模型的工程量較大，況且失諧是一個隨機問題，因此在求解時會花費較大的精力和時間。為了在保證精度的同時提高效率，研究人員提出了高保真有限元減縮模型。

減縮模型根據(jù)基體的不同分為基于部件和基于整體的減縮模型?；谡w的減縮模型，在經(jīng)典模態(tài)分析方法的基礎(chǔ)上對整體結(jié)構(gòu)進行減縮以降低自由度，避免了結(jié)構(gòu)分解帶來的誤差?；诓考臏p縮模型叫作子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法(CMS), 在分析過程中將葉片和輪盤作為兩類子結(jié)構(gòu)，單獨計算每個部件的模態(tài)，并根據(jù)邊界條件將所有子結(jié)構(gòu)連接起來。按照邊界條件的不同，CMS分為自由界面子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法(Free-interface CMS)、固定界面子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法(Fixed-interface CMS)、混合界面子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法(hybrid interface substructure CMS)等。TRAN[12]采用CMS對葉盤系統(tǒng)減縮建模并分析其振動特性，減少了計算時間。MOYROUND等[13]在分析葉冠間的摩擦振動時，對帶冠葉盤結(jié)構(gòu)進行了減縮建模。BLADH等[14]基于綜合模態(tài)分析法提出減縮模型(ROM)用于計算受迫響應(yīng)的概率問題，為進一步提高計算效率又提出二次模態(tài)縮減模型。MARINESCU等[15]基于固定界面二次降階(CBSRM)方法，提出了一種組合縮減方法。MARTEL等[16]把基本失諧模型推廣到頻率轉(zhuǎn)向區(qū)，從物理機理上揭示了失諧對受迫響應(yīng)的影響，稱之為漸進失諧減縮模型。LIM等[17]又提出了一種新的子結(jié)構(gòu)分解方法(CMM),將失諧葉盤分解為諧調(diào)葉盤與整圈的失諧葉片兩部分,這種方法可考慮大失諧和非比例失諧問題。王培屹等[18]在減縮建模的基礎(chǔ)上提出CHBM方法，此法在對失諧葉盤響應(yīng)計算分析中比CMS的效率更高。臧朝平等[19-20]對失諧葉盤結(jié)構(gòu)進行減縮建模及魯棒性研究，該建模方法既能夠保證較高精度，又大大減少了計算過程中的求解維度。

如何建立高精度、實用性的葉盤模型，對后期研究其振動特性起著關(guān)鍵作用，也將成為以后研究葉盤系統(tǒng)的重點問題。

1.3耦合對振動的影響

葉盤系統(tǒng)通常作為獨立系統(tǒng)建模，而這忽略了它們與軸及相鄰級耦合的作用，一些學者對此做了相應(yīng)的研究。CHIU 等[21-22]對葉片-輪盤-軸系統(tǒng)耦合振動進行研究，發(fā)現(xiàn)存在4種類型的耦合振動模態(tài)，分別是軸-葉片模態(tài)(shaft-blade)、軸-輪盤-葉片模態(tài)(shaft-disk-blade)、輪盤-葉片模態(tài)(disk-blade)和葉片-葉片(blade-blade)模態(tài)。YANG等[23]分析了輪盤彈性對葉盤-軸系統(tǒng)耦合振動特性的影響，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)耦合振動模態(tài)類型隨輪盤彈性變化而改變。王紅建[4]研究了不同耦合狀態(tài)時失諧葉片-輪盤系統(tǒng)模態(tài)局部化，以及耦合強度對系統(tǒng)受迫響應(yīng)局部化程度的影響。王培屹等[24]研究了系統(tǒng)中輪盤-葉片耦合振動頻率轉(zhuǎn)向特性隨輪盤扇區(qū)剛度及葉片剛度變化的規(guī)律。孫浩琳等[25]利用ANSYS軟件研究整體葉盤系統(tǒng)耦合振動模態(tài)。

但是多級多部件耦合是十分復(fù)雜的，這些復(fù)雜的耦合可能以不同的耦合形式出現(xiàn)?，F(xiàn)有對耦合的研究還不足，需要學者對此進行大量研究。

1.4失諧靈敏度

由于不同的系統(tǒng)參數(shù)對失諧葉盤結(jié)構(gòu)振動的影響程度不等，一些學者對其進行失諧靈敏度的研究[1，21-36]。KENYON等[29]研究了較小失諧對葉盤系統(tǒng)振動響應(yīng)靈敏度的影響。廖海濤等[26]運用GA-SQP混合算法研究隨機失諧時系統(tǒng)最大強迫響應(yīng)幅值和相應(yīng)最壞失諧模式，用靈敏度系數(shù)評估失諧強度對葉片振幅的影響。PETROV[35]指出可以采用靈敏度標準優(yōu)化葉盤結(jié)構(gòu)有限元模型。HSU等[27]利用靈敏度系數(shù)預(yù)測影響失諧葉盤的空氣動力阻尼值。

2葉盤結(jié)構(gòu)減振的相關(guān)研究

葉盤結(jié)構(gòu)減振的主要技術(shù)方法包括主動失諧減振、利用葉片阻尼實現(xiàn)減振、優(yōu)化葉片安裝排序減振等。

2.1主動失諧減振

葉片-輪盤系統(tǒng)振動形式主要分為2種[3]：顫振和受迫振動。顫振會導(dǎo)致葉片振幅趨于發(fā)散，其中氣流速度、葉片固有頻率和模態(tài)振型都會對顫振有較大影響。如果氣流速度超出臨界值，振動幅度將迅速增加。研究人員發(fā)現(xiàn)人為地改變?nèi)~片參數(shù)可以抑制葉片顫振，但是這樣就會使葉盤系統(tǒng)產(chǎn)生人為的主動失諧。

CASTANIER等[32-33]研究發(fā)現(xiàn)，對于一些諧波失諧形式，當主動失諧系統(tǒng)振幅較小時，其振幅放大因子呈現(xiàn)出了一個峰值，相反當振幅較大時，轉(zhuǎn)子的振動可能會對隨機失諧不敏感。CHOI等[28]研究還發(fā)現(xiàn)非諧調(diào)形式的主動失諧可以改善葉盤系統(tǒng)對隨機失諧的敏感性，并給出了2種簡單減輕失諧振動的葉片排列順序，可以消除蒙特卡羅效應(yīng)。一般情況下，主動失諧能夠降低轉(zhuǎn)子對隨機失諧的敏感性。SLATER等[34]研究發(fā)現(xiàn)，采用設(shè)計有效的主動失諧方式的辦法，雖然可以降低系統(tǒng)受迫振動共振幅值，但會加大共振范圍，因此該方法容易使系統(tǒng)發(fā)生共振。PETROV[35]在理論方面研究了葉片失諧對受迫響應(yīng)的影響關(guān)系，認為合理的設(shè)計失諧方式可以降低振動；假設(shè)在結(jié)構(gòu)變形較小，并考慮線性氣動力對響應(yīng)的影響時，提出通過優(yōu)化方法尋找合理失諧來降低振動響應(yīng)的方案。KENYON等[29]利用諧波法研究發(fā)動機葉盤結(jié)構(gòu)失諧強迫振動，分析失諧靈敏度系數(shù)對系統(tǒng)強迫振動響應(yīng)的影響，得出主動失諧對葉盤結(jié)構(gòu)的響應(yīng)與隨機失諧相比其魯棒性較好，可以用來指導(dǎo)優(yōu)化葉盤結(jié)構(gòu)設(shè)計以及轉(zhuǎn)子設(shè)計。LIM等[30]通過研究主動失諧與葉片振動響應(yīng)的關(guān)系，給出了靈敏度系數(shù)法對實際葉盤結(jié)構(gòu)有限元模型優(yōu)化的指導(dǎo)方針，并在不考慮結(jié)構(gòu)穩(wěn)健性的條件下，從振動能量傳遞角度分析了錯頻失諧減振理論。王建軍等[36]利用“錯頻失諧”研究葉盤機構(gòu)模態(tài)局部化特性，發(fā)現(xiàn)“錯頻失諧”可以有效地抑制結(jié)構(gòu)顫振，但是相對于諧調(diào)結(jié)構(gòu)會引發(fā)振動局部化現(xiàn)象。鄭赟等[37]在研究葉片頻率錯頻如何影響葉片氣動彈性穩(wěn)定性時，發(fā)現(xiàn)頻率錯頻能夠使葉柵的氣動阻尼系數(shù)增加，并且使葉片氣動彈性穩(wěn)定性得到提高。趙志彬等[38]在葉盤結(jié)構(gòu)振動試驗中設(shè)計葉片主動失諧，研究發(fā)現(xiàn)葉片主動失諧引起的振幅放大因子小于隨機失諧。段勇亮等[20]發(fā)現(xiàn)在同等級失諧強度時，相比隨機失諧，主動失諧葉盤的響應(yīng)幅值較小，并且魯棒性更好。

2.2利用葉片阻尼實現(xiàn)減振

理論和試驗研究發(fā)現(xiàn)，葉片阻尼器可以有效地抑制葉片振動，降低葉片動應(yīng)力。常用的葉片減振阻尼有材料阻尼、氣動阻尼、沖擊阻尼和摩擦阻尼。材料阻尼受工作環(huán)境影響較大，氣動阻尼在工作時有時會引起顫振，因此它們在實際應(yīng)用中所占比例都很小。以下主要對沖擊阻尼和摩擦阻尼在葉片減振中的研究進行簡述。

圖5　碰撞機理模型Fig.5　Collision mechanism model

圖6　摩擦阻尼葉片模型Fig.6　Friction damping blade model

1)沖擊阻尼葉片減振

沖擊阻尼減振原理：在系統(tǒng)振動時葉片間的碰撞阻尼器反復(fù)相互碰撞，消耗系統(tǒng)中一部分振動能量，減小系統(tǒng)的振幅，從而達到減振效果。王棟[39]詳細解釋了沖擊減振器對結(jié)構(gòu)振動能量的耗散過程。圖5為碰撞機理的物理模型。

LU等[40-41]對含有碰撞阻尼器的系統(tǒng)在不同狀態(tài)下的振動做了許多研究：單自由度系統(tǒng)在不同動態(tài)負載下，各種結(jié)構(gòu)參數(shù)影響碰撞阻尼器對系統(tǒng)的作用結(jié)果；兩自由度系統(tǒng)進行3種不同方式的激勵，得到最佳的激勵方式；在考慮不同方向的任意水平激勵時，相比其他阻尼器，碰撞阻尼器的作用比較明顯；指出在一定程度上增加阻尼質(zhì)量可以提高阻尼器的減振效果。DUFFY等[42]提出了自調(diào)諧碰撞阻尼，并通過試驗驗證了此結(jié)構(gòu)對旋轉(zhuǎn)葉片的減振優(yōu)于簡單碰撞阻尼結(jié)構(gòu)。KANEKO等[43]研究旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下的自帶冠葉片，發(fā)現(xiàn)離心力作用使得葉片整圈的連接為一體并在冠間發(fā)生碰撞，從而消耗葉片的振動能量。盧緒祥等[44-46]簡述了自帶冠葉片碰撞減振研究中取得的成果，發(fā)現(xiàn)碰撞振動表現(xiàn)為非線性，帶冠葉片會因為接觸碰撞達到減振的作用，其葉冠間隙是否對稱與間隙大小都會影響減振的效果。李錄平等[47]在實驗中驗證了葉冠間隙非對稱形式優(yōu)于其他形式的減振效果。董明晶等[31]研究發(fā)現(xiàn)，斜碰撞直接影響整圈自帶冠葉盤系統(tǒng)的振動局部化，使得葉片對失諧更加敏感，且葉片剛度失諧比冠間間隙失諧更敏感。趙亞英等[48]基于有限元分析軟件ALGOR對帶冠葉片中的碰撞減振進行仿真研究。馬曉峰等[49]考慮了氣流激振力對葉冠碰撞減振的影響，并解釋了葉片冠間間隙接觸碰撞的原理。

2)利用摩擦阻尼實現(xiàn)葉片減振

摩擦阻尼件在抑制葉盤系統(tǒng)振動中應(yīng)用廣泛，其減振原理：相鄰葉片阻尼件接觸面相對滑動，產(chǎn)生非線性的摩擦阻尼運動，以此消耗結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動能量，從而抑制顫振和降低振動響應(yīng)，其模型見圖6。

GRIFFIN等[50]最早使用簡單的集中參數(shù)模型研究摩擦部件對抑制失諧葉盤系統(tǒng)受迫響應(yīng)的影響。ALLARA[51]提出一種新的接觸摩擦模型，用接觸剛度和摩擦系數(shù)來模擬摩擦接觸面的剛度和阻尼，研究摩擦接觸對發(fā)動機葉片強迫振動的響應(yīng)。WEI等[52]通過建立多自由度集中參數(shù)模型，分別研究了干摩擦阻尼與黏性阻尼對周期結(jié)構(gòu)振動局部化的影響，得出阻尼可以降低結(jié)構(gòu)的振動局部化，干摩擦阻尼比黏性阻尼影響更靈敏。CARDONA[53]提出多諧波平衡法可以用作研究具有干摩擦阻尼葉盤系統(tǒng)振動響應(yīng)的預(yù)測方法。單穎春等[54]運用時頻轉(zhuǎn)換方法分析凸肩結(jié)構(gòu)對葉片的減振效果，該方法可以為以后研究帶凸肩葉片的振動提供理論支持。陳璐璐等[55]通過優(yōu)化葉片凸肩位置實現(xiàn)抑制葉片振動應(yīng)力幅值。漆文凱等[56]在基于二維整體-局部統(tǒng)一滑動模型的基礎(chǔ)上，研究分析了不同參數(shù)對帶緣板阻尼塊葉片振動響應(yīng)的影響，發(fā)現(xiàn)緣板阻尼塊還能調(diào)節(jié)葉片的激振頻率，從而避免共振，降低振動幅值。李全通等[57]在實驗中驗證了在葉片間添加緣板阻尼器可以有效地實現(xiàn)葉片減振。陳香等[58]通過設(shè)計渦輪帶冠葉片干摩擦阻尼減振試驗，采用不同參數(shù)的阻尼塊研究對渦輪葉片減振效果的影響，為干摩擦阻尼器的設(shè)計提供數(shù)據(jù)依據(jù)。謝永慧等[59]通過搭建汽輪機葉片振動特性實驗臺，研究圍帶和拉筋兩種阻尼結(jié)構(gòu)對葉片振動特性的影響規(guī)律，并且分析了阻尼結(jié)構(gòu)在不同轉(zhuǎn)速和正壓力情況下對葉片起到減振效果的差異。

2.3優(yōu)化葉片安裝排序減振

研究發(fā)現(xiàn)，葉片的不同安裝順序?qū)ο到y(tǒng)整體振動有一定的影響。于是，研究人員應(yīng)用不同算法對葉片進行排序，以求找到最佳的葉片安裝順序，以使得系統(tǒng)的振動達到最小。文獻[60—61]基于單親遺傳算法與退火算法，建立了退火單親遺傳算法(SA-PGA)，并將其應(yīng)用于優(yōu)化壓氣機葉片的排列順序。SA-PGA在優(yōu)化過程中具有可靠性較高、尋優(yōu)速度快、便于葉片順序在線調(diào)整、滿足靜力學配平的優(yōu)點。文獻[62—64]運用遺傳算法平衡轉(zhuǎn)子葉片安裝后質(zhì)量矩和頻率的不平衡量，為目標優(yōu)化安裝順序，從而達到減小葉片安裝后不平衡量造成的振動過大及發(fā)動機顫振。YANG等[65]運用混合遺傳算法(HGA)，以諧響應(yīng)幅值為尋優(yōu)的目標函數(shù)對1 007 MW核電廠的低壓蒸汽渦輪機轉(zhuǎn)子進行優(yōu)化。李丹丹等[66]以降低同一級葉片安裝后殘余不平衡量為目的，運用改進的蟻群算法對汽輪機葉片的安裝順序進行優(yōu)化，并在實驗測試中有效地將葉輪安裝后的殘余不平衡量控制在滿足要求的范圍內(nèi)。彭國華等[67]基于混合遺傳算法優(yōu)化葉片安裝方案，使轉(zhuǎn)子同時滿足質(zhì)量和頻率兩方面的要求。袁惠群等[68]運用多種算法對航空發(fā)動機葉片的安裝順序進行優(yōu)化，利用改進的嵌套遺傳算法對某型航空發(fā)動機轉(zhuǎn)子葉片的安裝排序進行了優(yōu)化，使得葉片-輪盤系統(tǒng)的強迫振動響應(yīng)幅值達到最??；文獻[69]以葉盤模態(tài)局部化參數(shù)最小為優(yōu)化標準，文獻[70]以振動響應(yīng)局部化參數(shù)為評定標準，運用人工蟻群算法對葉片安裝排序進行優(yōu)化，從而降低系統(tǒng)的失諧振動。李巖等[71]將離散粒子群算法(DPSO)和標準遺傳算法結(jié)合，解決了標準遺傳算法的某些缺點，并改善了粒子群算法的全局優(yōu)化能力，應(yīng)用于葉片的優(yōu)化排序，降低了整個葉盤系統(tǒng)的振動，減輕了系統(tǒng)的振動局部化程度。

3研究展望

由于葉盤結(jié)構(gòu)普遍存在于周期循環(huán)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，其振動狀態(tài)直接影響到結(jié)構(gòu)整體是否正常工作，因此研究如何減輕葉盤系統(tǒng)在工作中的振動，對于航空發(fā)動機和燃氣輪機等的研制與設(shè)計具有重要意義。今后的研究應(yīng)在以下幾個方面展開：

1)探索建立精度更高更準確地反映實際葉盤的減縮模型，為研究葉盤結(jié)構(gòu)的減振提供理論模型。

2)開展顫振機理相關(guān)研究。已有研究發(fā)現(xiàn)人為改變結(jié)構(gòu)參數(shù)造成的失諧，雖然可以改善葉片顫振，但是同樣會加劇系統(tǒng)的受迫振動響應(yīng)。因此，關(guān)于如何在兼顧振動響應(yīng)的同時，抑制葉片顫振的研究，是今后研究的一個難點問題。

3)在葉片間的碰撞阻尼振動研究方面，還需對碰撞動力學理論、碰撞模型的建立、結(jié)構(gòu)柔性與碰撞過程的相互作用機理、數(shù)值求解方法和碰撞阻尼結(jié)構(gòu)實驗等方面做進一步的研究和探索。

4)有學者已經(jīng)深入研究了摩擦減振機理，但今后還應(yīng)進一步研究如何考慮接觸點的運動，以及計算接觸點的非線性摩擦力；接觸面往往發(fā)生復(fù)雜的運動狀態(tài)，研究如何選擇更加符合實際的接觸模型，尋求非線性摩擦系統(tǒng)的求解方法。

5)在實際中影響系統(tǒng)振動的因素很多，它們往往共同存在，并且其相互的耦合亦十分復(fù)雜。針對這些復(fù)雜的耦合形式進行深入研究是今后的一個研究方向。

6)現(xiàn)階段利用不同算法優(yōu)化葉片排序時，基本上以某一目標作為尋優(yōu)標準，今后在尋優(yōu)過程中還應(yīng)開展兼顧多標準的研究。

參考文獻/References:

[1]PETROV E P. Reduction of forced response levels for bladed discs by mistuning: Overview of the phenomenon[C]//ASME Conference Proceedings 2010. [S.l.]:[s.n.], 2010: 1039-1051.

[2]姚宗健，于桂蘭. 失諧循環(huán)周期結(jié)構(gòu)振動模態(tài)局部化問題的研究[J]. 科學技術(shù)與工程,2005,5(21): 1616-1622.

YAO Zongjian, YU Guilan. Research on vibration mode localization in mistuned cyclic periodic structures[J]. Science Technology and Engineering, 2005,5(21): 1616-1622.

[3]MYHRE M, MOYROUD F M, FRANSSON T H. Numerical investigation of the sensitivity of forced response characteristics of bladed disks to mistuning[C]// Proceedings of ASME Turbo Expo 2003.[S.l.]:[s.n.], 2003: GT2003-38007.

[4]王紅建. 復(fù)雜耦合失諧葉片-輪盤系統(tǒng)振動局部化問題研究[D]. 西安: 西北工業(yè)大學，2006.

WANG Hongjian. Investigation of the Vibration Localization Problem of the Mistuned Bladed Disk with Complicated Coupling[D]. Xi’an: Northwestern Polytechnical University, 2006.

[5]PIERRE C. Mode localization and eigenvalue loci veering phenomena in disordered structures[J]. Journal of Sound and Vibration, 1988, 126(3): 485-502.

[6]KENYON J A, GRIFFIN J H, KIM N E. Sensitivity of tuned bladed disk response to frequency veering[J]. Journal of Engineering for Gas Turbines and Power, 2005, 127(4): 835-842.

[7]HOU J. Cracking-induced mistuning in bladed disks[J]. AIAA Journal, 2006, 44(11): 2542-2546.

[8]EWINS D J. Vibration characteristics of bladed disk assemblies[J]. Journal of Mechanical Engineering Science, 1973, 15(3): 165-186.

[9]TURCOTTE J S, HOLKAMP J J, GORDON R W. Vibration of mistuned blade-disk assembly using structurally damped beams[J]. AIAA Journal,1998, 36 (12): 2225-2228.

[10]SEUNG M K, HONG H Y. Vibration localization of mistimed rotating multi-packet blade system undergoing external cyclic harmonic force[J]. Journal of Mechanical Science and Technology, 2011, 25(11): 2769-2774.

[11]IRRETIER H, SCHMIDT H I. Mistuned bladed disks-dynamical behavior and computations[C]//Proceedings of the IFToMM International Conference on Rotordynamic Problems in Power Plants. [S.l.]:[s.n.], 1982: 215-226.

[12]TRAN D M. Component mode synthesis methods using interface modes: Application to structures with cyclic symmetry[J]. Computers and Structures, 2001, 79(2): 209-222.

[13]MOYROUND F, RESEARCH A, FRANSSON T, et al. A comparison of two finite element reduction techniques for mistuned bladed disks[J]. Journal of Engineering for Gas Turbines and Power, 2002, 124(4): 942-952.

[14]BLADH R, CASTANIER M P, PIERRE C. Component-mode-based educed order modeling techniques for mistuned bladed disks(part Ⅰ): Theoretical models[J]. Journal of Engineering for Gas Turbines and Power, 2001, 123(1): 89-99.

[15]MARINESCU O, EPUREANU B I, BANU M. Reduced order models of mistuned cracked bladed disks[J]. Journal of Vibration and Acoustics, 2011, 133(5):1-9.

[16]MARTEL C, CORRAL R. Asymptotic description of maximum mistuning amplification of bladed disk forced response[J]. Journal of Engineering for Gas Turbines and Power, 2009, 131(2):1-10.

[17]LIM S, BLADH R, CASTANIER M P. Compact, generalized component mode mistuning representation for modeling bladed disk vibration[J]. AIAA Journal, 2007, 45(9): 2285-2298.

[18]王培屹，李琳. 用于失諧葉盤動力學特性分析的減縮計算方法[J]. 航空動力學報,2014,29(6):1395-1402.

WANG Peiyi, LI Lin. Reduced order computational for analysis of mistuning bladed disk dynamics characteristic[J]. Journal of Aerospace Power, 2014, 29(6): 1395-1402.

[19]臧朝平，段勇亮，PETROV E P. 失諧葉片輪盤的減縮建模及動力響應(yīng)預(yù)測方法[J]. 航空學報,2015,36(10):3305-3315.

ZANG Chaoping, DUAN Yongliang, PETROV E P. Reduced-order modelling and dynamic response prediction method for mistuned bladed disks[J]. Acta Aeronautica Et Astronautica Sinica, 2015, 36(10): 3305-3315.

[20]段勇亮，臧朝平，PETROV E P. 主動失諧葉盤振動特性及魯棒性研究[J]. 航空發(fā)動機, 2015,41(6): 6-10.

DUAN Yongliang, ZANG Chaoping, PETROV E P. Research on vibration performance and robustness of bladed disks with intentional mistuning[J]. Aeroengine, 2015, 41(6): 6-10.

[21]CHIU Y J, HUANG S C. The influence on coupling vibration of a rotor system due to a mistuned blade length[J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2007, 49(4): 522-532.

[22]CHIU Y J, HUANG S C. The influence of a mistuned blade’s staggle angle on the vibration and stability of a shaft-disk-blade assembly[J]. Shock and Vibration, 2008, 15(1): 3-17.

[23]YANG C H, HUANG S C. The influence of disk's flexibility on coupling vibration of shaft-disk-blades systems[J]. Journal of Sound and Vibration, 2007, 301(1/2): 1-17.

[24]王培屹，李琳. 葉盤結(jié)構(gòu)盤片耦合振動特性的參數(shù)敏感性[J]. 航空動力學報, 2014,29(1):81-90.

WANG Peiyi, LI Lin. Parametric sensitivity for coupling vibration characteristics of bladed disk[J]. Journal of Aerospace Power, 2014, 29(1): 81-90.

[25]孫浩琳，吳婭輝，朱振宇. 某航空發(fā)動機整體葉盤耦合振動特性分析[J]. 計測技術(shù),2015,35(5):28-31.

SUN Haolin, WU Yahui, ZHU Zhenyu. Coupling vibration characteristics analysis of holistic bladed disk[J]. Metrology & Measurement Technology, 2015, 35(5): 28-31.

[26]廖海濤，王建軍，李其漢. 隨機失諧葉盤結(jié)構(gòu)失諧特性分析[J]. 航空動力學報,2010,25(1):160-168.

LIAO Haitao, WANG Jianjun, LI Qihan. Mistuning characteristics analysis of mistuned bladed disk assemblies[J]. Journal of Aerospace Power, 2010, 25(1): 160-168.

[27]HSU K, HOYNIAK D. A fast influence coefficient method for aerodynamically mistuned disks aeroelasticity analysis[J]. Journal of Engineering for Gas Turbines and Power, 2011, 133(12): 1-10.

[28]CHOI B K, LENTZ J, RIVAS G A, et al. Optimization of intentional mistuning patterns for reduction of forced response effects of unintentional mistuning: Formulation and assessment[C]//ASME Turbo Expo 2001: Power for Land, Sea, and Air.[S.l.]: American Society of Mechanical Engineers, 2001:V004T03A052.

[29]KENYON J A, GRIFFIN J H. Forced response of turbine engine bladed disks and sensitivity to harmonic mistuning [J]. Journal of Engineering for Gas Turbines and Power, 2003, 125(1): 113-120.

[30]LIM S, CASTANIER M P, PIERRE C. Intentional mistuning design space reduction based on vibration energy flow in bladed disks[C]//Proceedings of the ASME Turbo Expo 2004. Vienna: American Society of Mechanical Engineers, 2004: 373-384.

[31]董明晶，丁千. 整圈自帶冠葉盤系統(tǒng)斜碰撞振動局部化研究[J]. 航空動力學報,2014,29(12): 2914-2923.

DONG Mingjing, DING Qian. Study on vibration localization of oblique impact of whole-circle bladed disk with tips system[J]. Journal of Aerospace Power, 2014, 29(12): 2914-2923.

[32]CASTANIER M P, PIERRE C. Consideration of the benefits of intentional blade mistuning for the forced response of turbomachinery rotors[C]//Analysis and Design Issues for Modern Aerospace Vehicles.[S.l.]:[s.n.], 1997: 419-425.

[33]CASTANIER M P, PIERRE C. Investigation of the combined effects of intentional and random mistuning on the forced response of bladed disks[C]//Proc of the 34th AIAA/ASME/SAE/ASEE Joint Propulsion Conference and Exhibit.[S.l.]:[s.n.],1998:AIAA-98-3720.

[34]SLATER J C, MINKIEWICZ G R, BLAIR A J. Forced response of bladed disk assemblies: A survey[J]. Shock Vib Digest, 1999,31(1): 17-24.

[35]PETROV E P. A method for forced response analysis of mistuned bladed disks with aerodynamic effects included[J]. Journal of Engineering for Gas Turbines and Power, 2010, 132(6):1-10.

[36]王建軍，于長波，李其漢. 錯頻葉盤結(jié)構(gòu)振動模態(tài)局部化特性分析[J]. 航空動力學報,2009,24(4):788-792.

WANG Jianjun, YU Changbo, LI Qihan. Localization characteristics of vibratory mode for bladed disk assemblies[J]. Journal of Aerospace Power, 2009, 24(4): 788-792.

[37]鄭赟，王靜. 錯頻對葉片的氣動彈性穩(wěn)定性影響[J]. 航空動力學報, 2013,28(5): 1029-1036.

ZHENG Yun, WANG Jing. Influence of frequency mistuning on aeroelastic stability of blade[J]. Journal of Aerospace Power, 2013, 28(5): 1029-1036.

[38]趙志彬，賀爾銘，陳熠，等. 葉盤結(jié)構(gòu)受迫振動響應(yīng)特性和主動失諧技術(shù)實驗研究[J]. 西北工業(yè)大學學報, 2011,29(6): 892-897.

ZHAO Zhibin, HE Erming, CHEN Yi, et al. A successful experimental investigation on the forced response of random and intentional mistuning bladed disks[J]. Journal of Northwestern Polytechnical University, 2011, 29(6): 892-897.

[39]王棟. 沖擊減振器對振動能量耗散性能分析[J]. 機械工程學報,2014, 50(7): 87-92.

WANG Dong. Analysis of vibration energy dissipation with vibro-impact absorber[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2014, 50(7): 87-92.

[40]LU Z, LU X L, MASRIB S F. Studies of the performance of particle dampers under dynamic loads[J]. Journal of Sound and Vibration, 2010,26(20): 5415-5433.

[41]LU Z, MASRIB S F, LU X L. Studies of the performance of particle dampers attached to a two-degrees-of-freedom system under random excitation[J]. Journal of Vibration and Control, 2011, 17 (10): 1454-1471.

[42]DUFFY K P, BAGLEY R L, MEHMED O. On a self-tuning impact vibration damper for rotating turbo machinery[C]//Proc of the 36th AIAA/ASME/SAE/ASEE Joint Propulsion Conference and Exhibit.[S.l.]:[s.n.],2000:AIAA-2000-3100.

[43]KANEKO Y, MORI K, OHYAMA H. Development and verification of 3000 rpm 48 inch integral shroud blade for steam turbine[J]. JSME International Journal, 2006, 49(2): 205-211.

[44]盧緒祥，黃樹紅，劉正強，等. 汽輪機自帶冠葉片碰撞減振的研究現(xiàn)狀與發(fā)展[J]. 振動與沖擊,2010,29(2):11-16.

LU Xuxiang, HUANG Shuhong, LIU Zhengqiang, et al. Impact-damping studies for integral shroud blades of a turbine machinery[J]. Journal of Vibration and Shock, 2010, 29(2): 11-16.

[45]盧緒祥，黃樹紅，劉正強，等. 基于諧波平衡法的帶冠葉片接觸碰撞減振特性研究[J]. 動力工程學報,2010,30(8):578-583.

LU Xuxiang, HUANG Shuhong, LIU Zhengqiang, et al. Study on contact-impact damping characteristics of shrouded blades based on harmonic balance method[J]. Journal of Chinese Society of Power Engineering, 2010, 30(8): 578-583.

[46]盧緒祥，劉正強，黃樹紅，等. 含間隙碰撞振動系統(tǒng)的非線性振動特性[J]. 動力工程學報, 2012,32(5): 388-393.

LU Xuxiang, LIU Zhengqiang, HUANG Shuhong, et al. Nonlinear vibration characteristics of a vibro-impact system with clearance[J]. Journal of Chinese Society of Power Engineering, 2012,32(5): 388-393.

[47]李錄平，汪燕，盧緒祥，等. 自帶冠葉片碰撞減振過程阻尼特性實驗研究[J]. 汽輪機技術(shù),2010,52(4): 259-262.

LI Luping, WANG Yan, LU Xuxiang, et al. Experimental research on damping characteristics for vibration-impact process of steam turbine blades with integral shroud[J]. Turbine Technology, 2010, 52(4): 259-262.

[48]趙亞英，陳長秀，趙熹. 汽輪機帶冠葉片阻尼振動特性的有限元分析[J]. 安徽理工大學學報(自然科學版),2014, 34(1): 61-67.

ZHAO Yaying, CHEN Changxiu, ZHAO Xi. The finite element analysis on damping vibration dynamic characteristics for shrouded blades of steam turbine[J]. Journal of Anhui University of Science and Technology(Natural Science), 2014, 34(1): 61-67.

[49]馬曉峰，劉占生，侯憲科. 葉片冠間接觸碰撞數(shù)值模擬及實驗研究[J]. 振動與沖擊,2010, 29(3): 34-38.

MA Xiaofeng, LIU Zhansheng, HOU Xianke. Numerical simulation and experimental research on impact-contact between tips of blades[J]. Journal of Vibration and Shock, 2010, 29(3): 34-38.

[50]GRIFFIN J H, SINHA A. The interaction between mistuning and friction in the forced response of bladed disk assemblies[J]. Journal of Engineering for Gas Turbines and Power,1985, 107(1): 205-211.

[51]ALLARA M. A model for the characterization of friction contacts in turbine blades[J]. Journal of Sound and Vibration, 2009, 320(3):527-544.

[52]WEI S T, PIERRE C. Effects of dry friction damping on the occurrence of localized forced vibrations in nearly cyclic structures[J]. Journal of Sound and Vibration, 1989, 129(3): 397-416.

[53]CARDONA A. A multi harmonic method for non-linear vibration analysis[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2008, 37(9): 1593-1608.

[54]單穎春，朱梓根，劉獻棟. 凸肩結(jié)構(gòu)對葉片的干摩擦減振研究——理論方法[J]. 航空動力學報, 2006,21(1): 168-173.

SHAN Yingchun, ZHU Zigen, LIU Xiandong. Investigation of the vibration control by frictional constraints between blade shrouds-theoretical method[J]. Journal of Aerospace Power, 2006, 21(1): 168-173.

[55]陳璐璐，張大義，文敏，等. 帶凸肩風扇葉片振動特性及設(shè)計方法研究[J]. 推進技術(shù), 2015,36(9): 1389-1394.

CHEN Lulu, ZHANG Dayi, WEN Min, et al. Dynamical effects of shrouds on fan blade vibration and its corresponding design method[J]. Journal of Propulsion Technology, 2015, 36(9): 1389-1394.

[56]漆文凱，張云娟. 帶緣板阻尼塊渦輪葉片減振特性研究[J]. 南京航空航天大學學報,2014,46(2): 280-284.

QI Wenkai, ZHANG Yunjuan. Reduced vibration characteristics of turbine blade with platform damper[J]. Journal of Nanjing University of Aeronautics & Astronautics, 2014, 46(2): 280-284.

[57]李全通，廖明夫，陳衛(wèi)，等. 緣板干摩擦阻尼器葉片減振實驗研究[J]. 機械科學與技術(shù),2008,27(11): 1392-1396.

LI Quantong, LIAO Mingfu, CHEN Wei, et al. An experimental study of decreasing vibration on blade with platform dry friction damper[J]. Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering, 2008, 27(11): 1392-1396.

[58]陳香，朱靖，李光輝，等. 渦輪帶冠葉片干摩擦阻尼減振試驗[J]. 航空動力學報, 2012,27(4):817-823.

CHEN Xiang, ZHU Jing, LI Guanghui, et al. Experiment on dry friction damping of shrouded turbine blades[J]. Journal of Aerospace Power, 2012, 27(4): 817-823.

[59]謝永慧，吳君，張荻，等. 具有整體圍帶和凸臺拉筋汽輪機長葉片阻尼振動特性實驗研究[J]. 汽輪機技術(shù),2011,52(2): 81-85.

XIE Yonghui, WU Jun, ZHANG Di, et al. Experimental study on vibration characteristics of a steam turbine blade with integral shroud and tie wire[J]. Turbine Technology, 2011, 52(2): 81-85.

[60]張海，浦健，張嘯澄. 基于退火單親算法的壓氣機葉片排序[J]. 燃氣輪機技術(shù),2009, 22(4): 49-53.

ZHANG Hai, PU Jian, ZHANG Xiaocheng. A opmizing sequencing of compressor vanes based on simulated annealing partheno genetic algorithm[J]. Gas Turbine Technology,2009, 22(4): 49-53.

[61]陳曉敏，王科. 基于退火單親遺傳算法的壓氣機葉片排序算法[J]. 西南師范大學學報(自然科學版),2009,34(4): 156-158.

CHEN Xiaomin, WANG Ke. The sort algorithm for the air-compressor blade based on simulated annealing partheno genetic algorithm[J]. Journal of Southwest China Normal University(Natural Science Edition), 2009, 34(4): 156-158.

[62]賀爾銘，耿炎，賀利，等. 遺傳算法在發(fā)動機轉(zhuǎn)子葉片平衡排序中的應(yīng)用[J]. 機械科學與技術(shù),2002,22(4):553-555.

HE Erming, GENG Yan, HE Li, et al. Application of genetic algorithm in blade arrangement of engine[J]. Mechanical Science and Technology, 2002, 22(4): 553-555.

[63]戴義平，江才俊，盧世明. 基于遺傳算法的葉片安裝排序優(yōu)化系統(tǒng)的開發(fā)及應(yīng)用[J]. 汽輪機技術(shù),2003, 45(5): 270-272.

DAI Yiping, JIANG Caijun, LU Shiming. Development and application of blades installation arrangement order optimizing system based on genetic algorithm[J]. Turbine Technology, 2003, 45(5): 270-272.

[64]楊訓，邢建華. 基于遺傳算法的轉(zhuǎn)子葉片優(yōu)化排序[J]. 計算機仿真,2008,25(11): 94-97.

YANG Xun, XING Jianhua. Optimum arrangement of rotor blades based on genetic algorithms[J]. Computer Simulation, 2008, 25(11): 94-97.

[65]YANG B S, CHOI S P, KIM Y C. Vibration reduction optimum design of a steam-turbine rotor-bearing system using a hybrid genetic algorithm[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2005, 30(1): 43-53.

[66]李丹丹，陳勇，于達仁. 基于改進的蟻群算法的汽輪機葉片安裝優(yōu)化排序研究[J]. 中南大學學報(自然科學版),2011,42(sup1): 187-191.

LI Dandan, CHEN Yong, YU Daren. Research of optimizing arrangement for turbine blade installation based on ant colony algorithm[J]. Journal of Central South University(Science and Technology), 2011, 42(sup1): 187-191.

[67]彭國華，余遷，王罡. 混合遺傳算法在葉片排序問題中的應(yīng)用[J]. 西南民族大學學報(自然科學版),2006,32(1): 8-12.

PENG Guohua, YU Qian, WANG Gang. Application of hybrid genetic algorithm in blade arrangement of engine[J]. Journal of Southwest University for Nationalities(Natural Science Edition), 2006, 32(1): 8-12.

[68]袁惠群，張亮，韓清凱. 航空發(fā)動機轉(zhuǎn)子失諧葉片減振安裝優(yōu)化分析[J]. 振動、測試與診斷,2011, 31(5): 647-651.

YUAN Huiqun, ZHANG Liang, HAN Qingkai. Reducing vibration mounting optimization for aero-engine rotor mistuned Blade[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2011, 31(5): 647-651.

[69]袁惠群，楊少明，吳震宇，等. 基于蟻群算法和模態(tài)局部化參數(shù)的失諧葉盤減振研究[J]. 東北大學學報(自然科學版),2010,31(11): 1611-1614.

YUAN Huiqun, YANG Shaoming, WU Zhenyu, et al. Vibration reduction of mistuned blade-disc by ant colony algorithm and modal localization parameter[J]. Journal of Northeastern University(Natural Science), 2010, 31(11): 1611-1614.

[70]袁惠群，張亮，韓清凱，等. 基于蟻群算法的航空發(fā)動機失諧葉片減振排布優(yōu)化分析[J]. 振動與沖擊,2012,31(11): 169-172.

YUAN Huiqun, ZHANG Liang, HAN Qingkai, et al. Optimization of mistuning blades arrangement for vibration absorption in an aero-engine based on artificial ant colony algorithm[J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(11): 169-172.

[71]李巖，袁惠群，梁明軒. 基于改進DPSO算法的航空發(fā)動機失諧葉片排序[J]. 東北大學學報(自然科學版),2013,34(4): 569-572.

LI Yan, YUAN Huiqun, LIANG Mingxuan. Mistuned blade sorting based on improved DPSO algorithm for aero-engine[J]. Journal of Northeastern University(Natural Science), 2013, 34(4): 569-572.

Research overview on vibration damping of mistuned bladed disk assemblies

ZHANG Liang, LIU Tiejian, LI Xin, HUO Xuyao

(College of Mechanical Engineering and Automation, Liaoning University of Technology, Jinzhou, Liaoning 121001, China)

Abstract:Bladed disk assemblies are very important parts in auto engine and gas turbine, and is widely used in practical engineering. The mistuning existing commonly in the bladed disk assemblies can destroy the vibration characteristics of the bladed disk assemblies, which is one of the reasons for the high cycle fatigue failure of bladed disk assemblies, so it is necessary to research how to reduce the vibration of the bladed disk assemblies. On the basis of the review of relevant research at home and abroad, the mistuning vibration mechanism of the bladed disk assemblies is introduced, and the main technical methods of the vibration damping of bladed disk assemblies are reviewed, such as artificially active mistuning, collision damping, friction damping and optimization of the blade position. Some future research directions are presented.

Keywords:vibration control theory; mistuned bladed disk; collision damping; friction damping; optimization algorithm

中圖分類號：V232.3

文獻標志碼：A

作者簡介：張亮(1983—)，男，遼寧葫蘆島人，副教授，博士，主要從事失諧葉盤結(jié)構(gòu)減振方面的研究。

基金項目：國家自然科學基金(51505206)；遼寧省教育廳科學研究項目(L2014246)；遼寧工業(yè)大學校立基金(X201202)

收稿日期：2015-12-04；修回日期：2016-02-07；責任編輯：馮民

doi:10.7535/hbkd.2016yx02001

文章編號：1008-1542(2016)02-0109-09

E-mail:zhangliang545238@163.com

張亮,劉鐵箭,李欣,等.失諧葉盤結(jié)構(gòu)減振問題研究綜述[J].河北科技大學學報,2016,37(2):109-117.

ZHANG Liang, LIU Tiejian, LI Xin, et al.Research overview on vibration damping of mistuned bladed disk assemblies[J].Journal of Hebei University of Science and Technology,2016,37(2):109-117.