預(yù)設(shè)追問，讓習(xí)題教學(xué)走向開放

☉江蘇省蘇州高新區(qū)實驗初級中學(xué)　朱秋芳

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預(yù)設(shè)追問，讓習(xí)題教學(xué)走向開放

☉江蘇省蘇州高新區(qū)實驗初級中學(xué)朱秋芳

我們知道，南京大學(xué)哲學(xué)系鄭毓信教授從2001年首次提出“開放式教學(xué)”之后，圍繞“開放題”與“開放式教學(xué)”又推出系列文章，特別是2007年鄭教授在《“開放的數(shù)學(xué)教學(xué)”新探》中指出：“開放的數(shù)學(xué)教學(xué)主要包括教學(xué)思想、教學(xué)方法、教學(xué)目標(biāo)等三個不同的層面.”然而就我們在一線課堂聽課所見，包括在相關(guān)專業(yè)刊物上發(fā)表或推介的不少課例來看，我們在“開放的數(shù)學(xué)教學(xué)”方面仍然有很長的路要走.本文擬結(jié)合習(xí)題教學(xué)中精選例題，預(yù)設(shè)系列追問的視角，探討如何讓習(xí)題教學(xué)走向開放，提供研討.

一、案例展示與解讀

案例1關(guān)于x的一元二次方程kx2-3x+1=0的兩個不相等的實數(shù)根都在0和1之間（不包括0和1），則k的取值范圍是（）.

教學(xué)預(yù)設(shè)：先計算根的判別式Δ=9-4k>0，k ＜，且k≠0，再從函數(shù)角度思考一元二次方程的兩個實數(shù)根，拋物線y=kx2-3x+1的圖像如圖1所示，通過圖1的直觀演示，可以很好地讓學(xué)生確認(rèn)當(dāng)x=1時，函數(shù)值一定為正數(shù)，據(jù)此可得出k的另一范圍.講評過程中，可以預(yù)設(shè)如下啟發(fā)問題：

圖1

問題1：初看這道題，你首先想到要從哪些角度思考k的取值范圍呢？（二次項系數(shù)不為零、根的判別式為正數(shù)）

問題2：條件“兩個不相等的實數(shù)根都在0和1之間（不包括0和1）”有什么作用？有人想到從函數(shù)圖像“形”的角度來思考，你覺得可行嗎？

變式再練：關(guān)于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的兩個不相等的實數(shù)根都在-1和0之間（不包括-1和0），則a的取值范圍是__________.

案例2如圖2，矩形OABC的對角線AC、BO交于點D，雙曲線y=過點D且與邊BC、AB相交于點E、F，點E坐標(biāo)為（2，12），則DF的長為（）.

A.6 B.5 C.4 D.3

圖2

教學(xué)預(yù)設(shè)：這道題的主要難點是依次解讀反比例函數(shù)的解析式、點D的坐標(biāo)、點F的坐標(biāo).其中以點D的坐標(biāo)破譯是關(guān)鍵一步，充分利用了矩形的性質(zhì).因此我們預(yù)設(shè)如下問題輔助學(xué)生思考：

問題1：根據(jù)點E的坐標(biāo)能求出雙曲線的解析式嗎？（擬安排學(xué)有困難的學(xué)生回答，暴露他們的思維過程）

問題2：點D作為矩形的中心，它的坐標(biāo)與點C、點A有沒有關(guān)系？你能求出點C或點A的坐標(biāo)嗎？

問題3：點D的坐標(biāo)求出之后，你能得出點A、點B的坐標(biāo)嗎？點F的坐標(biāo)如何求呢？

變式再練：如圖3，矩形OABC的對角線AC、BO交于點D，雙曲線y=過點D且與邊AB、BC相交于點E、F，點E坐標(biāo)為（8，3），求DF的長.

圖3

案例3設(shè)x1、x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+x+n-2=mx的兩個實數(shù)根，且x1<0，x2-3x1<0，則m、n的取值范圍是（）.

教學(xué)預(yù)設(shè)：這道習(xí)題求解的關(guān)鍵是解讀兩根都是負(fù)數(shù)，再利用韋達(dá)定理（根與系數(shù)關(guān)系）處理，根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗，學(xué)生的主要障礙在兩個地方：一是一元二次方程一般式的及時變形整理；二是沒有能根據(jù)“且x1<0，x2-3x1<0”破解出兩根都是負(fù)數(shù).所以我們在講評時預(yù)設(shè)了如下兩個啟發(fā)式的問題（利用PPT動畫功能漸次呈現(xiàn)）：

問題1：有同學(xué)根據(jù)已有條件竟然推定這個方程的兩個實數(shù)根都是負(fù)數(shù)！你覺得他是怎樣思考的？

問題2：有一個同學(xué)初看這道題時，非?？鄲溃哼@個方程中的字母太多了，都辯認(rèn)不清一元二次方程的各項系數(shù)了！你們能幫助他理解嗎？

變式再練：設(shè)x1、x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+x+n-2=mx的兩個實數(shù)根，且x1<0，2015x2-2016x1<0，則m、n的取值范圍是（）.

二、進(jìn)一步的解讀與思考

由于受到應(yīng)試教育的影響，習(xí)題教學(xué)是當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂教學(xué)最主要的課堂教學(xué)形式，如果讓習(xí)題教學(xué)的品質(zhì)得到提升，并走向深處，是值得深入研究的話題.我們列舉上述題例的系列設(shè)問，也是想基于習(xí)題教學(xué)可以通過精心預(yù)設(shè)追問實現(xiàn)從封閉的教師講解思路走向“以學(xué)為中心”的開放式習(xí)題講評，以下再圍繞從“精選習(xí)題、預(yù)設(shè)追問、變式再練”三個角度給出一些操作性建議.

1.精選習(xí)題，深研思路，反思結(jié)構(gòu)

題海茫茫，特別當(dāng)下網(wǎng)絡(luò)信息傳播的便捷，使得海量習(xí)題隨手可得，然而如何精選習(xí)題進(jìn)入課堂是非常重要的，我們常常見到很多習(xí)題課、復(fù)習(xí)課，因為選題不當(dāng)，使得教學(xué)主題偏離，特別是“內(nèi)容效度”極低（比如，在聽一節(jié)二次函數(shù)復(fù)習(xí)課時，某教師因為選用一道中考壓軸題，該題是以二次函數(shù)為載體的幾何最值問題，除去解題開始時要解一下二次函數(shù)解析式之外，其他的問題都是坐標(biāo)系下的幾何問題，如相似、最值探究等，這是由于選題不當(dāng)，造成內(nèi)容效度不夠），造成訓(xùn)練的目標(biāo)落空.所以精選習(xí)題是第一位的，接著是深研思路，反思問題的本質(zhì)和深層結(jié)構(gòu)，唯有這樣才是后續(xù)跟進(jìn)設(shè)問的前提，如果教師本人對問題的思路、結(jié)構(gòu)還沒有明確的認(rèn)識，就很難引領(lǐng)學(xué)生深入其中，也難以有效預(yù)設(shè)學(xué)生的可能受阻點和障礙所在.上面我們提供的三個案例中的教學(xué)預(yù)設(shè)部分都顯示了教師在課前對該題的深入思考和結(jié)構(gòu)揭示.

2.預(yù)設(shè)追問，搭建鋪墊，促進(jìn)思考

在選題并貫通思路之后，教師基于自己對習(xí)題主要難點及學(xué)生可能遇到的障礙等作出初步研判之后，預(yù)設(shè)系列啟發(fā)式問題，這些啟發(fā)式問題可以通過PPT的動畫功能漸次呈現(xiàn)出來，其目的是搭建鋪墊，把學(xué)生的思維盡可能“卷入”到課堂思考中來.比如，在案例3中，我們預(yù)設(shè)了“有同學(xué)根據(jù)已有條件竟然推定這個方程的兩個實數(shù)根都是負(fù)數(shù)！”這樣的虛擬學(xué)生思考的問題，也是為了親近學(xué)生，站在學(xué)生的立場，引起他們的興趣和共鳴，為的是他們能更快地進(jìn)入這個數(shù)學(xué)問題的思考；再如，在案例2中，我們預(yù)設(shè)的第一個問題是整個問題的起點，且比較簡單，所以預(yù)設(shè)該問題時還應(yīng)設(shè)計好擬安排哪些類型的學(xué)生來作答，這也是預(yù)設(shè)階段教師“心中有學(xué)生”的體現(xiàn)，也是章建躍博士提出的“三個理解”中的“理解學(xué)生”.

3.變式再練，跟進(jìn)檢測，拓展講評

通過上面的解說，我們知道習(xí)題的系列設(shè)問主要是為了讓學(xué)生參與進(jìn)來，且這些問題的解答并不唯一，促進(jìn)了學(xué)生對話與課堂生成，這當(dāng)然也就追求了鄭毓信教授所倡導(dǎo)的開放的數(shù)學(xué)教學(xué).出于教學(xué)實踐的經(jīng)驗，在一線教學(xué)的教師都知道，有時學(xué)生聽懂了，但并不意味著他們都掌握了，特別是能否獨立解答這類問題還要通過跟進(jìn)檢測來加強(qiáng)教學(xué)效果的反饋，于是作為開放式教學(xué)的必要跟進(jìn)，我們認(rèn)為還應(yīng)該重視“變式再練”環(huán)節(jié)，即把講評的問題通過簡單改編，比如，在不破壞問題結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)下改變數(shù)據(jù)、改換字母等方式，設(shè)計出變式問題，讓學(xué)生跟進(jìn)檢測，在此基礎(chǔ)上再拓展講評.比如，在案例2中，不僅安排一個同類簡單改編字母和數(shù)據(jù)的練習(xí)，還設(shè)計出體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的拓展變式，為這類問題的拓展講評提供素材，追求“做一題，會一類，通一片”的教學(xué)和訓(xùn)練效果.

三、寫在最后

開放的數(shù)學(xué)教學(xué)是一個很廣泛的研究課題，我們從“小處著眼”、基于習(xí)題教學(xué)設(shè)問的視角踐行開放的數(shù)學(xué)教學(xué)才剛起步，還不成熟，希望有更多同行“一起上路”，為我們提供研討和幫助.

參考文獻(xiàn)：

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2.鄭毓信.再論開放題與開放式教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2002（6）.

3.鄭毓信.“開放的數(shù)學(xué)教學(xué)”新探［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2007（7）.

4.劉東升.開放需要放開，對話促進(jìn)生成——“二次函數(shù)復(fù)習(xí)”展評課的設(shè)計、對話與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2012（11）.

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