巧選參考系 突破疑難問題

李睿

摘 要：在處理相對運動的問題中，巧選參考系可使物理情景清晰轉(zhuǎn)化為我們熟知的規(guī)律，解題過程變得十分簡單。本文就巧選參考系，來研究探討相對運動問題。

關(guān)鍵詞：相對運動；巧選參考系；方法規(guī)律；高中物理；高考

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2016）4-0039-3

在研究物體的運動中必須選擇參考系，從道理或原則上講參考系的選取是任意的，高中階段選取的慣性參考系多數(shù)指以地球表面為參考系，或相對地球表面靜止或勻速直線運動的物體。但對有些問題按上述方法選擇參考系時可能使問題復(fù)雜化，甚至無法求解。若選取的參考系恰到好處，常?？墒刮锢砬榫扒逦D(zhuǎn)化為我們熟知的規(guī)律，解題過程變得十分簡單。所以，我們不要受限于默認的參考系即地球或地面，以免束縛了自己的思維和學習能力的提高。運用相對運動法處理運動學問題時要注意[1]：①位移、速度、加速度都必須是相對所選定的參考系；②相對所選參考系，物體的運動性質(zhì)、運動規(guī)律應(yīng)是自己所熟悉的，以便用已有知識求解。下面用一些例子討論。

1 一維相對運動

例1 有人逆水行舟，途中從船上掉下一漂浮物，10分鐘后發(fā)現(xiàn)，并立即調(diào)頭追趕，人劃船相對靜水的速度大小保持不變，則追上漂浮物需多少分鐘？

解析 本題若以河岸為參考系，要考慮水的運動問題，處理起來非常復(fù)雜，若取水為參考系，化水動為水靜，則漂浮物落水后不再運動，船以v向上游行駛10分鐘后調(diào)頭再運動到漂浮物落水處，因船的往返速率和路程均相同，故往返時間必相同，即返回時間也為10分鐘，就如同人在操場跑道上往返一樣。計算如下，設(shè)船的速度為v，水的速度為v，船向上游速度為正，取水為參考系，船對水的速度為v-（-v），t時間內(nèi)運動位移為[v-（-v）]t=x，返回時相對速度大小為（v+v）。設(shè)追上物體所用時間為t'，則（v+v）t'=x，所以 t'=t。

例2 在平直道路上，甲汽車以速度v勻速行駛。當甲車司機發(fā)現(xiàn)前方距離為d處的乙汽車時，立即以大小為a1的加速度勻減速行駛，與此同時，乙車司機也發(fā)現(xiàn)了甲，立即從靜止開始以大小為a2的加速度沿甲運動的方向勻加速運動。若兩車恰好不相撞，則v、a1、a2應(yīng)滿足的關(guān)系是？

解析 常規(guī)解法，在兩車速度相等時，恰好不發(fā)生碰撞，則v-a1t=a2t，得到t=，則d=vt-a1t2-a2t2=，解得v=。

若巧選參考系，以乙車為參考系，向右為正，則甲車相對乙車的初速度為v，相對末速度為0，相對加速度為a=-（a1+a2），甲車做勻減速運動，由運動學公式得：0-v2=-2（a1+a2）d ，所以v=。顯然，巧選參考系理解和計算都較簡單。

例3 如圖1所示，在勻速轉(zhuǎn)動的電動機帶動下，足夠長的水平傳送帶以恒定速率v1勻速向右運動，一質(zhì)量為m的滑塊從傳送帶右端以水平向左的速率v2（v2>v1）滑上傳送帶，最后滑塊返回傳送帶的右端。求：滑塊與傳送帶間摩擦產(chǎn)生的熱量。

解析 由于v2>v1則返回到傳送帶的右端時，滑塊的速度和皮帶的速度相同。若以傳送帶為參考系，類似于滑塊在水平面上以恒定的加速度做勻減速直線運動，直到停止，摩擦產(chǎn)生的熱量等于動能的減少量。設(shè)v2為正，則相對初速度為v2-（-v1）=v2+v1，相對末速度為0。有功能關(guān)系，產(chǎn)生的熱量為滑塊動能的減少量，即Q=m（v1+v2）2。顯然，巧選參考系比常規(guī)方法（即用摩擦力與相對路程的乘積等于產(chǎn)生的熱量）更簡單。

例4 （2015年新課標全國卷I）一長木板置于粗糙水平地面上，木板左端放置一小物塊，在木板右方有一墻壁，木板右端與墻壁的距離為4.5 m，如圖2所示。t=0時刻開始，小物塊與木板一起以共同速度向右運動，直至t=1 s時木板與墻壁碰撞（碰撞時間極短）。碰撞前后木板速度大小不變，方向相反，運動過程中小物塊始終未離開木板。已知碰撞后1 s時間內(nèi)小物塊的v-t圖線如圖3所示。木板的質(zhì)量是小物塊質(zhì)量的15倍，重力加速度大小g取10 m/s2。求

（1）木板與地面間的動摩擦因數(shù)μ1及小物塊與木板間的動摩擦因數(shù)μ2；

（2）木板的最小長度。

注：第二問的求解若巧選參考系，以木板為參考系找出滑塊的相對初速度和相對加速度求解很方便。

解析 （1）規(guī)定向右為正方向，木板與墻壁相碰前，小物塊和木板一起向右做勻變速運動，設(shè)加速度為a1，小物塊和木板的質(zhì)量分別為m和M，由牛頓第二定律有：

-μ1 （m+M）g = （m+M）a1。

由圖3可知，木板與墻壁碰前瞬間的速度v1= 4 m/s ，由運動學公式得：

v1=v0+a1t1 。

式中t1=1 s，s0=4.5 m是木板碰前的位移，v0是小物塊和木板開始運動時的速度。

聯(lián)立以上各式和題給條件得：μ1=0.1。

在木板與墻壁碰撞后，木板以-v1的初速度向左做勻變速運動，小物塊以v1的初速度向右做勻變速運動。設(shè)小物塊的加速度為a2，由牛頓第二定律有：

-μ2mg = ma2。

由圖可得： a2=。

式中t2=2 s， v2=0 ，聯(lián)立上式和題給條件得：μ2=0.4。

（2）巧選參考系：設(shè)碰撞后木板對地的加速度為a3，由牛頓第二定律得

μ2mg +μ1（m+M）g = Ma3，

a3=4/3 m/s2。

以木板為參考系，碰撞后小物塊相對木板的初速度為2v1=8 m/s，相對末速度為0，相對加速度為a=a1+a3=4+4/3=16/3 m/s2。

由運動學公式（2v1）2=2aΔs，Δs=6.0 m。

因為運動過程中小物塊沒有脫離木板，所以木板的最小長度應(yīng)為6.0 m。

巧選參考系解法比高考所給參考答案更簡單，也好理解。

2 二維相對運動

例5 （2014·上海） 如圖4所示，寬為L的豎直障礙物上開有間距d=0.6 m的矩形孔，其下沿離地高h=1.2 m。離地高H=2 m的質(zhì)點與障礙物相距x，在障礙物以v0=4 m/s勻速向左運動的同時，質(zhì)點自由下落，為使質(zhì)點能穿過該孔，L的最大值為______m；若L=0.6 m，x的取值范圍是________m。（取g=10 m/s2）

3 天體間的周期性相對運動

例6 [2014大綱全國卷Ⅰ]已知地球的自轉(zhuǎn)周期和半徑分別為T和R，地球同步衛(wèi)星A的圓軌道半徑為h。衛(wèi)星B沿半徑為r（r

1）衛(wèi)星B做圓周運動的周期；

2）衛(wèi)星A和B連續(xù)地不能直接通訊的最長時間間隔（信號傳輸時間可忽略）。

解析 1）設(shè)衛(wèi)星B繞地心轉(zhuǎn)動的周期為T′，地球質(zhì)量為M，衛(wèi)星A、B的質(zhì)量分別為m、m′，根據(jù)萬有引力定律和圓周運動的規(guī)律有：

（2）

聯(lián)立（1）（2）兩式解得：T'=（）T （3）

2）本題若以地心為參考系同時考慮地球與A衛(wèi)星及B衛(wèi)星的運動，問題將變得比較復(fù)雜， 巧選衛(wèi)星A和地球為參考系，幾何關(guān)系如圖5，A和B連續(xù)地不能直接通訊的最長時間間隔為t，則B對A的相對角速度 △ω=ωA-ωB。其中，ωB=，ωA=，

總結(jié)，高考常有相對運動的問題出現(xiàn)，我們在解答時，可以選取其中一個物體為參考系，求出另外一個物體的相對初速度、相對加速度或相對角速度[2]，就很容易轉(zhuǎn)化為我們熟知的簡單的物理規(guī)律。把復(fù)雜的問題簡單化，疑難問題就比較容易解決。

參考文獻：

[1]趙西耕.巧選參考系 速解運動學問題[J].物理教學探討，2006，24（2）：4—5.

[2]黃振平.巧選參考系 妙解物理題[J].物理通報，2010（02）：39—40.

（欄目編輯 羅琬華）