混合流體巖石介電常數(shù)的CRI模型與Maxwell-Garnett模型研究

潘保芝, 栗猛, 張瑞

(吉林大學地球探測科學與技術學院, 吉林 長春 130026)

0 引 言

盡管EPT、DPT測井在20世紀70年代就推出了,由于儀器數(shù)據(jù)采集質量和精度的限制、介電頻散帶來的解釋困難以及核磁共振測井儀器的發(fā)展使得早期的介電測井未得到充分推廣。斯倫貝謝公司的多頻介電頻散測井儀器工作在20 MHz～1 GHz的4個頻率,在碳酸鹽巖結構分析、重油流動性評價、變礦化度或低礦化度地層評價等方面取得不錯的應用效果[1]。中國在逐步應用這種儀器,需要深刻理解儀器原理和解釋模型、方法,但研究資料較少。

不含水巖石的介電特性較為簡單,極化類型主要是位移極化,介電常數(shù)取決于礦物成分和含量且與測量頻率無關。地層介電特性研究的難點是混合流體巖石的介電性質復雜引起的,水溶液的存在使得巖石的極化變得復雜,同時存在界面極化、電化學極化、轉向極化和位移極化。國外對多相巖石介電模型做了很多研究,如Clausisus-Mossotti混合模型、Maxwell-Garnett(M-G)模型、Polder-van Santen模型等[2],中國多是借鑒國外的研究成果或采用地區(qū)經驗公式。對于水的介電模型,Gadani D H詳細比較了Klein-Swift模型和Stogryn模型的計算值與實驗數(shù)據(jù)的差異[3],2種模型都很符合實驗數(shù)據(jù),都可以計算水溶液的介電常數(shù),但Stogryn模型適用的礦化度范圍更大。盡管提出的混合流體巖石介電常數(shù)模型有很多,模型計算結果與實驗數(shù)據(jù)的符合程度各不相同。斯倫貝謝公司進行了大量巖石物理研究,最終選擇了CRI模型和M-G模型作為解釋模型。本文研究了新一代介電測井儀器采用的的解釋模型,對水溶液介電模型的選擇了采用礦化度范圍比較大的Stogryn模型,研究了25 ℃時20 MHz～1 GHz頻率下比表面、礦化度、飽和度對飽和流體巖石介電常數(shù)的影響及模型的適用范圍。計算模型時未考慮泥質對巖石介電常數(shù)的影響。將2種模型計算結果與前人巖石介電實驗數(shù)據(jù)對比,驗證了CRI模型和M-G模型的合理性。中國對巖石M-G模型的研究應用較少,本文對于多頻介電測井的研究工作和實驗室?guī)r石介電常數(shù)研究具有一定參考價值。

1 水溶液介電常數(shù)的計算模型

水溶液復介電常數(shù)εw由Debye方程給出

(1)

ε0=ε0(T,0)a(N)

τ=τ(T,0)b(N,T)

(2)

式中,N是當量濃度;T是溫度;其中各系數(shù)如下

a(N)=1.000-0.2551N+5.151×10-2N2-

6.889×10-3N3

b(N,T)=0.1463×10-2NT+1.000-

0.04896N-0.02967N2+5.644×10-3N3

ε0(T,0)=87.74-0.40008T+9.398×10-4T2+

1.410×10-6T3

τ(T,0)=(1.1109×10-10-3.824×10-12T+

6.938×10-14T2-5.096×10-16T3)/(2π)

(3)

當量濃度N與礦化度K的關系

N=K(1.707×10-2+1.205×10-5K+
4.058×10-9K2),0≤K≤260

(4)

式中,礦化度K單位為mg/L。對于NaCl溶液,σw有

σw=σw(25,N)[1.000-1.962×10-2Δ+

8.08×10-5Δ2-(3.020×10-5+3.92×10-5Δ)+

N(1.721×10-5-6.584×10-6Δ)]

Δ=25-T

σw(25,N)=N(10.394-2.3776N+0.68258N2-
0.13538N3+1.0086×10-2N4)

(5)

圖1是Stogryn模型NaCl溶液介電常數(shù)與測量頻率關系圖,T=25 ℃。在1 GHz以下,水溶液的介電常數(shù)幾乎不變,不存在頻散現(xiàn)象,水溶液的介電常數(shù)一般介于50～80,遠大于其他介質,這是轉向極化導致的,只有在幾GHz之后轉向極化才跟不上測量電磁場頻率的變化,溶液的介電常數(shù)變小。

圖2是Stogryn模型1 GHz計算的NaCl溶液介電常數(shù)與礦化度的關系。礦化度越大,溶液的介電常數(shù)越小。這是由于溶液離子濃度增大,阻礙了水分子轉向極化。由分子熱運動,溫度越高,水分子轉向極化越弱。本文計算都取T=25 ℃。

圖1 NaCl溶液介電常數(shù)與頻率關系圖

圖2 NaCl溶液1 GHz下介電常數(shù)與礦化度的關系

2 CRI模型與Maxwell-Garnett模型

2.1 CRI模型

不同于水溶液和干巖樣的介電常數(shù),混合水溶液流體巖石的介電特性復雜。在MHz～GHz頻段內有轉向極化、界面極化、位移極化作用存在,而轉向極化一般在200 MHz以上就很弱了。

對于混合水溶液流體巖石的有效介電常數(shù),有一系列隨m值變化的混合模型。

(6)

式中,fj是j相介質體積含量;εj是j相介質介電常數(shù);m取1即是體積模型,m取2即是CRI模型。CRI模型是基于麥克斯韋方程組推導的,在MHz～GHz頻段都適用,是常用的計算巖石介電特性的方法。當巖石含混合油水兩相流體時,對應的飽和流體巖石介電常數(shù)的計算公式為

(7)

式中,φ為孔隙度;εm、εw、εoil分別為骨架、水、油的介電常數(shù);Sw為含水飽和度。

2.2 Maxwell-Garnett模型

CRI模型未考慮巖石結構的影響,M-G模型考慮了飽和流體以及巖石顆粒系統(tǒng)中結構的影響。該模型適用于計算多相介質的介電常數(shù),把不同的相都看作是橢球顆粒,其特點是假設介質是電動力學上的各向同性;混合物參數(shù)與電磁場強度無關;顆粒尺寸小于有效介質內的波長;參數(shù)不隨時間而變化;各相物質均是隨機取向橢球體等[4]。其計算公式為

εeff=εcri+

(8)

巖石復介電常數(shù)分為實部和虛部,虛部對應電導率信息,有

(9)

式中,ε′、ε″、σ分別為巖石介電常數(shù)的實部、虛部和電導率,本文主要研究了巖石介電常數(shù)的實部。退極化因子的計算方法如下。

為簡化模型,選取旋轉橢球體作為顆粒模型,對于j相旋轉橢球體,設3個軸長分別為a、b、c,b=c,a為短軸。各方向退極化因子之和為1,則有

(10)

令b/a=q,q>1,代表軸比[6]。則有

(11)

圖3是顆粒各方向退極化因子大小與q值的關系。對于常見骨架q值一般介于1～30,a軸退極化因子在0.33～1之間迅速變化,可見顆粒軸比對退極化因子影響明顯。

骨架比表面為

(12)

對于石英砂巖骨架,顆粒密度取ρ=2.65 g/cm3。圖4是骨架顆粒比表面與q值的關系,結果表明M-G模型的骨架比表面與顆粒長軸長度成反比,與軸比近似成正比。

圖3 骨架顆粒各方向退極化因子大小與q值的關系

圖4 不同軸長骨架顆粒比表面與q值的關系

2.3 2種模型的比較

砂巖骨架和油的介電常數(shù)分別取4.65、2。圖5是孔隙度30%、含水飽和度100%、礦化度0.3%、水的q取10時CRI模型與不同骨架q值的M-G模型和頻率的關系。圖6是M-G模型中水的q值取10的情況下礦化度0.30%、孔隙度30%、含水飽和度100%時改變骨架q值的4種頻率下的計算結果。

圖5中M-G模型不同q值曲線在低頻高頻兩端的交會和圖6在20 MHz頻率以下的異常結果表明M-G模型只適合幾十MHz以上的測量頻段。高q值對應更加扁平的顆粒,有著高的比表面,液體與骨架顆粒作用面積越大,結構影響越強,界面極化越強,介電常數(shù)越大,可以看作是由一個個小的平行板電容器造成介電常數(shù)的增大。在1 GHz處,M-G模型和CRI模型計算結果差別不大,說明此時結構幾乎不起作用。

圖5 不同q值的M-G模型與CRI模型與頻率的關系

圖6 不同頻率下M-G模型介電常數(shù)與骨架q值的關系

圖7是改變溶液礦化度對巖石介電常數(shù)的影響?？梢钥闯?頻率的影響很大。20 MHz時2種模型的計算結果相差較大,CRI模型的計算結果遠大于M-G模型。200 MHz以上,2種模型相差很小。礦化度越高,2種模型的介電常數(shù)越大,且CRI模型受其影響更明顯。1 GHz時礦化度對2種模型得影響都很小。但礦化度非常大的話,影響依然不可忽略。

上述結果看出,1 GHz頻率下結構、礦化度的影響都很弱,這也是早期EPT測井選擇1.1 GHz的測量頻率的原因,當時的測量信號主要反映的是含水體積。

圖7 CRI、M-G模型與NaCl溶液礦化度的關系

圖8 CRI、M-G模型與含水飽和度的關系

圖8是改變含水飽和度2種模型的計算結果。CRI模型隨含水飽和度近似于線性增加,M-G模型在200 MHz以上也是近似線性增大的。200 MHz以下介電常數(shù)隨含水飽和度而增大的速率先快后慢。事實上,這是由于開始增加的水與顆粒接觸密切,存在的界面極化使得介電常數(shù)增大速率快,后來增大的水的體積主要是自由水,介電常數(shù)增大速率就慢了。而且,界面極化受頻率影響很大,頻率越高,界面極化越弱,200 MHz以上就很微弱了。至于孔隙度對巖石介電常數(shù)的影響,就是巖石介電常數(shù)受含水體積的影響。

3 與前人實驗結果對比

根據(jù)唐煉、張守謙等和唐煉、韓有信等的研究[7-8],1.1 GHz頻率下巖石的介電常數(shù)隨礦化度變化很小。礦化度增加時,介電常數(shù)的增大幅度與頻率有關,頻率越高,增大幅度越小。驗證了2種模型礦化度的計算結果。圖9、圖10分別是唐煉等實驗測量數(shù)據(jù)與本文計算結果,石英骨架取4.65。計算結果與測量結果符合較好,相差一般在一個單位之內。

圖9 實測巖樣介電常數(shù)與礦化度的關系[8]

圖10 理論計算巖樣介電常數(shù)與礦化度的關系

根據(jù)高衛(wèi)國、謝然紅的實驗研究[9],47 MHz頻率時巖石介電常數(shù)隨含水飽和度而增大的速率大于200 MHz的情況,47 MHz時巖石介電常數(shù)隨含水飽和度增大速率先快后慢,200 MHz則近似線性增大,符合M-G模型介電常數(shù)隨含水飽和度變化的計算結果;47 MHz受礦化度影響大于200 MHz,且?guī)r樣比表面越大,介電常數(shù)越大,測量頻率越高,比表面的影響越低,這都與本文計算符合,對47 MHz和200 MHz條件下巖石介電常數(shù)隨含水飽和度的變化規(guī)律的差異解釋為水分子轉向極化和界面極化作用強弱的影響,200 MHz以上主要是轉向極化的作用,47 MHz時2種作用都影響。

馮啟寧、李曉明等[10]的實驗也發(fā)現(xiàn),隨含水飽和度的增加,介電常數(shù)增高,含水飽和度達到某一特定值后,介電常數(shù)的變化趨于平緩,并且特定值和巖性與比表面有關。這與計算結果吻合。

圖11 巖樣介電常數(shù)與含水飽和度的關系[9]

前人實驗結果與理論模型的計算結果符合很好,說明應用這2種模型計算巖石介電常數(shù)與各種因素的關系很適合。CRI模型是M-G模型的基礎,在頻率較低(200 MHz以下)采用M-G模型符合實際情況,頻率較高時2種模型差別不大。

4 結 論

(1) 采用Stogryn模型計算水的介電常數(shù)礦化度適用范圍大,水的介電常數(shù)取決于溫度、礦化度、測量頻率,但1 GHz以下無頻散,其值一般介于50～80。

(2) 20 MHz～1 GHz下含水飽和度、礦化度、孔隙度、顆粒軸比增大都會使巖石介電常數(shù)增大且測量頻率越高,水的影響越突出,其他因素的影響越弱,1 GHz頻率時基本只和含水量有關。巖石在200 MHz以下介電常數(shù)隨含水飽和度增大而增大的速率先快后慢是界面極化作用導致的。

(3) CRI模型與Maxwell-Garnett模型計算結果在200 MHz以上差別不大,在200 MHz以下,兩者計算結果差異較大,這是結構的作用導致的。且頻率越低,結構的影響越大,且Maxwell-Garnett模型有一定頻率適用范圍。

參考文獻:

[1] Romulo Carmona, Eric Decoster, Jim Hemingway, et al. 介電測井新技術與應用 [J]. 國外測井技術, 2013(5): 62-74.

[2] Seleznev N, Boyd A, Habashy T, et al. Dielectric Mixing Laws for Fully and Partially Saturated Carbonate Rocks [C]∥SPWLA 45th Annual Logging Symposium, June 6-9, 2004.

[3] Gadani D H, Rana V A, Bhatnagar S P. Effect of Salinity on the Dielectric Properties of Water [J]. Indian Journal of Ure&Applied Physics, 2012(50): 405-410.

[4] Koledintseva M Y, Du Broff R E, Schwartz R W. A Maxwell-Garnett Model for Dielectric Mixtures Containing Conducting Particles at Optical Frequencies [J]. Progress in Electromagnetics Research, 2006, PIER 63: 223-242.

[5] Seleznev N, Habashy T, Boyd A. Formation Properties Derived from a Multi-frequency Dielectric Measurement [C]∥SPWLA 47th Annual Logging Symposium, June 4-7, 2006.

[6] 吳亞敏, 陳國慶, 謝秉川. 橢球形介質的退極化因子 [J]. 無錫教育學院學報, 1999, 13(3): 60-64.

[7] 唐煉, 張守謙, 安豐全. 超高頻巖石介電特性的研究 [J]. 測井技術, 1992, 16(5): 323-326.

[8] 唐煉, 韓有信. 高頻段巖石介電頻散現(xiàn)象的實驗研究 [J]. 石油物探, 1995, 34(3): 109-113.

[9] 高衛(wèi)國, 謝然紅. 冀東油田介電測井實驗研究 [J]. 測井技術, 2000, 24(2): 83-87.

[10] 馮啟寧, 李曉明, 鄭和華. 1 kHz～15 MHz巖石介電常數(shù)的實驗研究 [J]. 地球物理學報, 1995, 38(1): 331-335.