頁(yè)巖孔隙結(jié)構(gòu)的分形表征及滲透率預(yù)測(cè)

張思勤

(中石化石油工程機(jī)械有限公司第四機(jī)械廠, 湖北 荊州 434022)

0 引 言

很多學(xué)者對(duì)多孔介質(zhì)物理模型的研究總結(jié)將其分為硬圓球顆粒模型和毛細(xì)管模型[1]。但這2種物理模型均無(wú)法精確描述多孔介質(zhì)孔隙結(jié)構(gòu)特征。頁(yè)巖孔隙主要以納米和微米尺度為主[2-3],傳統(tǒng)的模型和方法更無(wú)法精確描述頁(yè)巖儲(chǔ)層的孔隙結(jié)構(gòu)特征。研究表明,自然界中的真實(shí)多孔介質(zhì)在一定尺度范圍內(nèi)具有分形特征[4-6]。從分形理論出發(fā),為頁(yè)巖儲(chǔ)層孔隙結(jié)構(gòu)的表征提供新的思路和研究方法。

SEM掃描電鏡、納米CT和聚焦離子束(FIB)等技術(shù)運(yùn)用于描述頁(yè)巖儲(chǔ)層微觀孔隙結(jié)構(gòu)[7-8],基于成像技術(shù),在頁(yè)巖孔隙成因分析、孔隙類型劃分以及有機(jī)質(zhì)納米孔表征等方面已經(jīng)取得了顯著成果。分形維數(shù)可以定量描述頁(yè)巖孔隙結(jié)構(gòu)的復(fù)雜程度,分形維數(shù)的測(cè)定方法包括壓汞法、小角度中子散射法、氣體吸附法和圖像分析法[9-10]。分形理論可以運(yùn)用于預(yù)測(cè)多孔介質(zhì)的滲透率。國(guó)內(nèi)外學(xué)者在預(yù)測(cè)多孔介質(zhì)滲透率方面已經(jīng)取得了一些進(jìn)展。陳永平等[11]推導(dǎo)了土壤多孔介質(zhì)的滲透率分形模型,該模型包含4個(gè)擬合參數(shù);Yu等[12]提出了多孔介質(zhì)滲透率分析模型,該模型中沒(méi)有擬合參數(shù),但局限性較大,只能適用于牛頓流體;Pitchumani等[13]通過(guò)對(duì)多孔纖維織物的研究,結(jié)合達(dá)西公式得到了基于分析理論的滲透率理論解析解;藺景龍等[14]基于分形理論,結(jié)合Kozeny-Carman方法將儲(chǔ)層的滲透率與孔隙度、彎曲度和孔隙半徑聯(lián)系起來(lái),得到了儲(chǔ)層巖石滲透率的解析解模型。

本文采用圖像分析法研究頁(yè)巖儲(chǔ)層孔隙的分形特征,基于分形理論,推導(dǎo)了頁(yè)巖滲透率的表達(dá)式,分析了最大孔隙半徑、最小孔隙半徑和分形維數(shù)等對(duì)頁(yè)巖滲透率的影響。

1 頁(yè)巖數(shù)字巖心重建

數(shù)字巖心重建方法分為2類:物理實(shí)驗(yàn)方法和數(shù)值重建方法。常用的物理實(shí)驗(yàn)方法有序列成像法、CT掃描法和FIB-SEM。數(shù)值重建方法包括隨機(jī)法和過(guò)程法2大類。本文針對(duì)頁(yè)巖儲(chǔ)層埋藏深(2 000～7 000 m段)、物性差、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、孔隙類型多樣且含有有機(jī)質(zhì)等特點(diǎn),選取馬爾科夫鏈-蒙特卡羅(MCMC)方法重建頁(yè)巖數(shù)字巖心[15-18],重建數(shù)字巖心首先得選取具有代表性的頁(yè)巖二維切片圖像(見(jiàn)圖1)。

為了對(duì)頁(yè)巖孔隙結(jié)構(gòu)進(jìn)行初步分析以及后續(xù)重建過(guò)程的開(kāi)展,必須對(duì)頁(yè)巖的掃描電鏡圖像進(jìn)行處理。圖像處理包括噪聲過(guò)濾和閾值分割2部分。圖像處理如閾值選取不當(dāng),有可能將部分有機(jī)質(zhì)誤認(rèn)為是孔隙部分,或者忽略一些小孔隙。用MATLAB軟件對(duì)頁(yè)巖巖樣切片圖進(jìn)行二值處理,閾值取值為110,所得到的二值圖像見(jiàn)圖2(a),其中基質(zhì)為0(黑色),孔隙為1(白色),原始二值圖像的孔隙度φ=0.018 1。獲取了孔隙的二值圖像后,應(yīng)用MCMC方法分別對(duì)其進(jìn)行遍歷掃描及二維重建,重建的圖像見(jiàn)圖2(b),重建圖像的孔隙度為φ=0.017 8,圖2中黑色部分代表巖石骨架,白色部分代表孔隙空間,孔隙空間的分布與二維圖像特征吻合,多為小而分散的孔隙。

圖1 某頁(yè)巖巖樣掃 圖2 頁(yè)巖二值圖像與重建圖像描電鏡圖像圖

為了進(jìn)一步對(duì)重建圖像和原圖進(jìn)行對(duì)比分析,采用ImageJ軟件分別統(tǒng)計(jì)原始圖像和重建圖像中不同孔隙半徑范圍內(nèi)的分布頻率(見(jiàn)圖3)。圖3中,在不同孔隙半徑范圍內(nèi)重建圖像和原始圖像的孔隙分布頻率相差不大,進(jìn)一步說(shuō)明了MCMC方法重建的數(shù)字巖心圖像能較好地再現(xiàn)原始圖像的性質(zhì)。

圖3 頁(yè)巖圖像孔隙半徑頻率分布

2 頁(yè)巖孔隙結(jié)構(gòu)表征的基本分形理論

2.1 孔隙半徑分布分形模型

按構(gòu)造過(guò)程分類,可將分形模型分為降維生成分形模型、質(zhì)量守恒分形模型和升維生成分形模型3大類。以頁(yè)巖儲(chǔ)層中孔隙為研究對(duì)象,以頁(yè)巖儲(chǔ)層骨架為背景,采用Sierpinski地毯模型研究頁(yè)巖孔隙的分布規(guī)律(見(jiàn)圖4)。圖4中白色表示頁(yè)巖儲(chǔ)層中的骨架,黑色表示頁(yè)巖儲(chǔ)層中的孔隙。

圖4 Sierpinski地毯模型

設(shè)頁(yè)巖孔隙半徑為λ,則大于孔隙半徑λ的孔隙累積數(shù)目N(λ)應(yīng)該滿足條件

(1)

式中,f(λ)為孔隙半徑為λ的分布函數(shù);Df為孔隙半徑分維數(shù)。對(duì)式(1)求導(dǎo)可得孔徑分布的密度函數(shù)為

(2)

2.2 孔隙度概率模型

設(shè)頁(yè)巖孔隙半徑λ的范圍為[λ0,λm],根據(jù)概率分布的定義有

P{λ>λp|λ0<λ<λm}=N(λp)-N(λm)N(λ0)-N(λm)

(3)

由式(3)知分布函數(shù)為

F(λp)=P{λ≤λp|λ0≤λ≤λm}=

1-N(λp)-N(λm)N(λ0)-N(λm)

(4)

將式(1)代入式(4)中可以得到孔隙分布函數(shù)為

將式(5)兩邊同時(shí)對(duì)λp求導(dǎo),可以得到孔隙分布的概率密度函數(shù)表達(dá)式為

2.3 頁(yè)巖孔隙半徑分布分維數(shù)求解與分析

通過(guò)對(duì)頁(yè)巖原始二值圖像和重建二值圖像中孔隙進(jìn)行統(tǒng)計(jì)和分析,得到大于孔徑λ的孔隙數(shù)N(λ)隨孔徑λ在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中的關(guān)系曲線(見(jiàn)圖5)。取數(shù)據(jù)中穩(wěn)定的直線部分的斜率的負(fù)值為孔隙度的分維數(shù)。

計(jì)算孔隙結(jié)構(gòu)分形維數(shù)應(yīng)該根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布情況和孔隙大小范圍進(jìn)行分段回歸,這樣既可以保證數(shù)據(jù)的完整性,又能真實(shí)反映孔隙分布情況。表1

為頁(yè)巖原始圖像和重建圖像的孔隙半徑分維數(shù)。從圖5和表1中可以看出:

(1) 頁(yè)巖孔隙累積個(gè)數(shù)與孔隙半徑大小在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中呈現(xiàn)明顯的線性分段特征,在一定尺度范圍內(nèi)同一段直線上的頁(yè)巖孔隙具有自相似特征,拐點(diǎn)表示頁(yè)巖孔隙結(jié)構(gòu)性質(zhì)發(fā)生變化的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。

(2) 圖5中頁(yè)巖原始圖像和重建圖像均由2段折線構(gòu)成,表明頁(yè)巖孔隙的分布具有多重分形特征。分析原因主要是頁(yè)巖形成過(guò)程復(fù)雜,孔隙結(jié)構(gòu)異常復(fù)雜,存在明顯的多尺度特征,導(dǎo)致圖5在9.5 μm附近出現(xiàn)了拐點(diǎn)。

(3) 圖5中每段折線的擬合相關(guān)系數(shù)均在0.93以上,表明頁(yè)巖孔隙結(jié)構(gòu)具有較好的分形特征,因而應(yīng)用分形理論對(duì)頁(yè)巖孔隙結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行研究是合理的。

(4) 頁(yè)巖孔隙的分維數(shù)在區(qū)間Ⅰ為0.43左右,表明在區(qū)間Ⅰ小孔隙分布均勻;頁(yè)巖孔隙的分維數(shù)在區(qū)間Ⅱ?yàn)?.5左右,表明頁(yè)巖在區(qū)間Ⅱ分布的均質(zhì)性較差,很好地驗(yàn)證了圖3中頁(yè)巖孔隙分布頻率隨孔隙半徑的變化規(guī)律。

(5) 頁(yè)巖原始圖像和重建圖像均具有相似的分段分形特征,進(jìn)一步驗(yàn)證了MCMC數(shù)字巖心重建方法的正確性和準(zhǔn)確性。

圖5 頁(yè)巖孔隙半徑分布分維數(shù)

3 基于分形理論的頁(yè)巖滲透率分析

3.1 頁(yè)巖滲透率模型的建立

頁(yè)巖滲透率是表征頁(yè)巖滲流能力的參數(shù),其大小與孔隙度、液體滲透方向的孔隙的幾何形狀顆粒大小及排列方式等因素有關(guān)[19-20]。根據(jù)Hagen-Poiseulle方程可知,通過(guò)單根毛細(xì)管中滲流流量為

表1 頁(yè)巖孔隙半徑分布分維數(shù)

q(λ)=π128ΔpLt(λ)λ4μ

(7)

由式(6)以及頁(yè)巖的孔隙結(jié)構(gòu)具有多重分形的特征,需要將頁(yè)巖孔隙分布的概率密度函數(shù)進(jìn)行分段表述

(8)

式中,λg為拐點(diǎn)孔隙半徑;D1、D2分別為區(qū)間Ⅰ和區(qū)間Ⅱ的孔隙半徑分維數(shù)。

通過(guò)某個(gè)單元截面A的總流量Q為

(9)

根據(jù)達(dá)西定律,綜合式(7)、式(8)、式(9)可得頁(yè)巖滲透率K為

(10)

圖6 滲透率K與最大孔隙半徑λm的關(guān)系曲線 圖7 滲透率K與拐點(diǎn)半徑λg的關(guān)系曲線 圖8 滲透率K與孔隙半徑分維數(shù)D1的關(guān)系曲線

由于λ0?λg?λm;3+Dt-D1?1和3+Dt-D2?1;另λ1=λ0/λg,λ2=λg/λm;因此,式(10)可簡(jiǎn)化為

3.2 滲透率影響因素分析

由式(11),數(shù)字巖心滲透率由頁(yè)巖孔隙尺寸分維數(shù)D1和D2、迂曲度分維數(shù)Dt、孔隙的結(jié)構(gòu)參數(shù)A、L0和最小孔隙尺寸λ0、最大孔隙尺寸λm和拐點(diǎn)λg共同決定。

研究最大孔隙半徑對(duì)頁(yè)巖滲透率影響,基本參數(shù)選取研究區(qū)域面積A=287 640 μm2,λ0=1 μm,原始圖像和重建圖像的拐點(diǎn)λg分別為10.253 3 μm和9.079 326 μm。原始圖像和重建圖像的孔隙尺寸分維數(shù)D1分別為0.420 7和0.459,孔隙尺寸分維數(shù)D2分別為1.442 6和1.595 4。圖6中最大孔隙半徑λm對(duì)頁(yè)巖滲透率的影響很大,隨著最大孔隙半徑λm的增大,原始圖像和重建圖像中頁(yè)巖滲透率均明顯增大。

研究拐點(diǎn)半徑對(duì)頁(yè)巖滲透率影響,基本參數(shù)選取最大孔隙半徑λm=90 μm,其余參數(shù)與上面相同。圖7中,拐點(diǎn)半徑λg對(duì)頁(yè)巖滲透率的影響較大,頁(yè)巖滲透率隨著拐點(diǎn)半徑λg的增大近似于線性增加。因?yàn)殡S著拐點(diǎn)半徑λg的增加,區(qū)間Ⅰ的范圍變大,該區(qū)間內(nèi)孔隙尺寸的均質(zhì)性變好,使得滲透率增加。

圖8和圖9分別表示區(qū)間Ⅰ和區(qū)間Ⅱ的孔隙半徑分維數(shù)對(duì)頁(yè)巖滲透率的影響。由圖8和圖9,頁(yè)巖滲透率隨孔隙度分維數(shù)D1和D2的增大而減小,且孔隙度分維數(shù)D2對(duì)頁(yè)巖滲透率的影響更加明顯。因?yàn)榭紫抖确志S數(shù)是反映不同孔徑條件下孔隙數(shù)目變化的參數(shù),孔隙度分維數(shù)與孔隙度呈負(fù)相關(guān)性,因而孔隙度分維數(shù)越大,孔隙度越小,頁(yè)巖滲透率越小。

迂曲度分維數(shù)Dt代表毛細(xì)管通道的彎曲程度,當(dāng)Dt=1時(shí),毛細(xì)管通道是直的;1

圖9 滲透率K與孔隙度分維數(shù)D2的關(guān)系曲線 圖10 迂曲度分維數(shù)Dt

4 結(jié) 論

(1) MCMC方法建立數(shù)字巖心計(jì)算速度快,過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單,重建的頁(yè)巖數(shù)字巖心能夠較好地體現(xiàn)原圖孔隙小而分散的性質(zhì)。

(2) 頁(yè)巖原始圖像和重建圖像孔隙分布均具有相似的多重分形的特征,進(jìn)一步說(shuō)明MCMC方法的正確性和準(zhǔn)確性。

(3) 頁(yè)巖滲透率與最大孔隙半徑和拐點(diǎn)半徑呈明顯的正相關(guān)性,與孔隙半徑分維數(shù)D1和迂曲度分維數(shù)呈明顯的負(fù)相關(guān)性,孔隙半徑分維數(shù)D2對(duì)頁(yè)巖滲透率影響較小。

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