繩系衛(wèi)星釋放階段的空間姿態(tài)非線性穩(wěn)定控制

王長(zhǎng)青, 杜崇剛, 李愛軍, Z.H.Zhu

(1.西北工業(yè)大學(xué), 陜西 西安　710072; 2.York University, Toronto M3J 1P3)

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繩系衛(wèi)星釋放階段的空間姿態(tài)非線性穩(wěn)定控制

王長(zhǎng)青1, 杜崇剛1, 李愛軍1, Z.H.Zhu2

(1.西北工業(yè)大學(xué), 陜西 西安710072; 2.York University, Toronto M3J 1P3)

摘要：主要考慮繩系衛(wèi)星釋放階段的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)對(duì)空間系繩系統(tǒng)穩(wěn)定性產(chǎn)生的影響?；跉W拉-牛頓法建立繩系衛(wèi)星的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)與運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，研究了釋放階段系繩與衛(wèi)星之間固定點(diǎn)存在靜態(tài)不對(duì)稱性時(shí),衛(wèi)星姿態(tài)的穩(wěn)定性。為抑制釋放階段衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)對(duì)系繩系統(tǒng)穩(wěn)定性產(chǎn)生的不利影響，設(shè)計(jì)了一種基于Lyapunov函數(shù)方法的非線性姿態(tài)控制器。數(shù)值仿真及分析驗(yàn)證了該控制器可實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星姿態(tài)的穩(wěn)定。

關(guān)鍵詞：繩系衛(wèi)星；釋放；姿態(tài)控制；Lyapunov函數(shù)

空間系繩系統(tǒng)是指利用系繩將2個(gè)或多個(gè)衛(wèi)星相連所形成的系統(tǒng)[1]，可用于清除空間碎片，產(chǎn)生推力，進(jìn)行微重力環(huán)境下的科學(xué)實(shí)驗(yàn)等[2-4]。近50年來，空間系繩系統(tǒng)以其獨(dú)特優(yōu)勢(shì)得到廣泛關(guān)注，許多學(xué)者對(duì)其動(dòng)力學(xué)與控制問題進(jìn)行了廣泛而深入的研究[1,5]。在空間系繩系統(tǒng)整體的動(dòng)力學(xué)與控制的研究領(lǐng)域，一般將繩系衛(wèi)星視為質(zhì)點(diǎn)，忽略其姿態(tài)運(yùn)動(dòng)[6]。但在實(shí)際任務(wù)中，衛(wèi)星的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)可能會(huì)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性產(chǎn)生影響。例如，OEDIPUS-A實(shí)驗(yàn)中，繩系衛(wèi)星在系繩釋放階段出現(xiàn)了不期望產(chǎn)生的空間姿態(tài)運(yùn)動(dòng)[7]。再入角是衛(wèi)星返回地球成功與否的最主要影響因素[8]，系繩釋放階段產(chǎn)生的衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)有可能影響其再入角，使繩系衛(wèi)星不能按預(yù)定軌跡再入，造成任務(wù)失敗。此外，其姿態(tài)運(yùn)動(dòng)也可能導(dǎo)致系繩纏繞衛(wèi)星，使衛(wèi)星之間分離初始階段的安全條件無法保證。因此，有必要研究系繩釋放階段衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)對(duì)繩系衛(wèi)星系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，以及衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定控制。

許多學(xué)者用不同方法對(duì)這一問題進(jìn)行了卓有成效的研究。例如，朱仁璋等[9]建立了考慮衛(wèi)星尺寸的空間系繩系統(tǒng)復(fù)雜動(dòng)力學(xué)模型，研究了狀態(tài)保持階段衛(wèi)星的振蕩與姿態(tài)運(yùn)動(dòng)。王曉宇等[10]建立了計(jì)入衛(wèi)星姿態(tài)的系繩系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型，研究了狀態(tài)保持階段系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。Lemke等[11]提出通過移動(dòng)系繩固定點(diǎn)來實(shí)現(xiàn)系繩系統(tǒng)姿態(tài)穩(wěn)定的方法。文浩等[12]考慮帶可控臂機(jī)械臂的系繩系統(tǒng)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使用非線性最優(yōu)控制理論研究了釋放階段衛(wèi)星姿態(tài)的控制問題。黃靜等[13]研究了旋轉(zhuǎn)二體繩系衛(wèi)星姿態(tài)跟蹤控制問題，提出了一種分布式魯棒最優(yōu)控制方法。Zabolotnov等[14]研究了系繩釋放階段的衛(wèi)星空間姿態(tài)運(yùn)動(dòng)，分析了影響衛(wèi)星姿態(tài)穩(wěn)定的主要擾動(dòng)。本文側(cè)重于研究系繩釋放階段，衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性產(chǎn)生的影響。在衛(wèi)星釋放階段，由于給定系繩張力控制律的作用，易產(chǎn)生較大的衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)，使得系繩完成釋放時(shí)，衛(wèi)星的姿態(tài)較難控制；即使可以控制，也需消耗較多能量。因此，本文基于以上情況提出了一種實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星姿態(tài)穩(wěn)定的控制算法。然后設(shè)計(jì)了一種簡(jiǎn)單、高效，基于Lyapunov函數(shù)方法的繩系衛(wèi)星姿態(tài)穩(wěn)定的控制算法，便于在星上實(shí)現(xiàn)。最后，數(shù)值仿真驗(yàn)證了該控制器的有效性。

1空間系繩系統(tǒng)衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型

考慮如圖1所示的空間系繩系統(tǒng)模型，其由母

星與子星通過系繩相連組成。本文中建模需使用子星本體坐標(biāo)系cxyz與系繩坐標(biāo)系cxtytzt，2種坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系在圖2中表示。子星本體坐標(biāo)系cxyz中，c為子星的質(zhì)心，各軸與中心主慣性軸一致。系繩坐標(biāo)系cxtytzt中，原點(diǎn)c在子星的質(zhì)心處，cxt軸與系繩上張力的方向平行，cxtyt平面與系繩釋放方向和系繩固定點(diǎn)確定的平面平行，zt軸與其他兩軸滿足坐標(biāo)系右手定則。子星相對(duì)于系繩方向的空間位置由歐拉角α、ψ和φ確定。其中，α為子星本體坐標(biāo)系縱軸cx與系繩方向之間的章動(dòng)角；ψ為子星縱軸cx繞系繩方向旋轉(zhuǎn)的進(jìn)動(dòng)角；φ為子星繞縱軸cx的自旋角。

圖1　空間系繩系統(tǒng)模型

圖2　系繩坐標(biāo)系與本體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系

為簡(jiǎn)化分析過程，考慮如下假設(shè)：

1) 母星在圓軌道上運(yùn)行，其質(zhì)量遠(yuǎn)大于子星質(zhì)量，系繩向下釋放；

2) 除系繩上張力產(chǎn)生的張力力矩外，不考慮其他外部干擾力矩；

3) 忽略系繩坐標(biāo)系cxtytzt的空間運(yùn)動(dòng)，假設(shè)子星為動(dòng)力學(xué)對(duì)稱的球形剛體；

4) 由于系繩釋放較長(zhǎng)，忽略母星對(duì)子星空間姿態(tài)的影響；

5) 子星的空間姿態(tài)可控，且控制器只產(chǎn)生控制力矩，不產(chǎn)生力。

子星的空間姿態(tài)運(yùn)動(dòng)指的是其繞自身質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)，根據(jù)前面的假設(shè)，子星為剛體，因此其姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程可直接根據(jù)動(dòng)量矩定理得到，有如下形式

(1)式中:I為子星的主慣性矩;ω為子星的空間轉(zhuǎn)動(dòng)角速度;Mt為子星受到的張力力矩。

由于子星本體坐標(biāo)系cxyz各軸與中心主慣性軸一致,因此可將(1)式在子星本體坐標(biāo)系cxyz各軸上的投影寫出

(2)式中,Ix、Iy和Iz為子星的主慣性矩I在子星本體坐標(biāo)系cxyz各軸上的投影;ωx、ωy和ωz為子星空間轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω在子星本體坐標(biāo)系cxyz各軸上的投影;Mtx、Mty和Mtz為子星受到的張力力矩Mt在子星本體坐標(biāo)系cxyz各軸上的投影。Mt由下式確定

(3)

圖3　系繩固定點(diǎn)不在子星軸cx時(shí)的示意圖

為了描述子星姿態(tài)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,本文采用歐拉——牛頓法建立運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,根據(jù)圖2在系繩坐標(biāo)系cxtytzt下寫出子星姿態(tài)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

(4)由于系繩在釋放階段與子星除固定點(diǎn)外沒有其他接觸,根據(jù)子星幾何形狀,當(dāng)子星為接近球形或者球形時(shí),章動(dòng)角α不可能超過90°。因此本文采用歐拉角表示的子星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程不存在章動(dòng)角奇異的情況。

2空間系繩系統(tǒng)模型及系繩釋放階段控制律

為表示系繩釋放階段空間系繩系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng),本文使用文獻(xiàn)[15]中的系統(tǒng)模型,其動(dòng)力學(xué)方程如(5)式所示。

3Ω2sinθcosθcos2β

(5)

式中,L為系繩釋放長(zhǎng)度,θ為系繩相對(duì)地垂線的面內(nèi)偏角,β為面外偏角,Ω為母星沿圓軌道運(yùn)動(dòng)的角速度,T為系繩張力。

本文對(duì)上述模型采用文獻(xiàn)[15]給出的兩階段張力控制律的改進(jìn)形式控制系繩釋放。第1階段系繩以較低速度釋放,最終釋放一定長(zhǎng)度,實(shí)現(xiàn)母星與子星的安全分離。使用的控制律如下

(6)式中:m為子星質(zhì)量;L0為第1階段釋放的最終長(zhǎng)度;a、b和c為控制律的參數(shù)。

第2階段系繩以較大速度先加速后制動(dòng)釋放到預(yù)定的長(zhǎng)度,最終的釋放速度為零。使用如下的改進(jìn)繼電控制律

(7)

式中:Tmin和Tmax為釋放階段設(shè)定的最小和最大張力值;t1n和t2n為切換時(shí)間;kn和km確定切換的平滑性;t1、t2、T1和Tk為控制參數(shù)。兩階段張力控制律在控制系繩按預(yù)定要求釋放的同時(shí),也在子星上產(chǎn)生張力力矩?cái)_動(dòng)。因此有必要對(duì)子星受到的張力力矩?cái)_動(dòng)進(jìn)行抑制。

3子星姿態(tài)穩(wěn)定控制器的設(shè)計(jì)

系繩釋放階段,子星姿態(tài)穩(wěn)定控制的預(yù)期是使子星在受到擾動(dòng)力矩作用時(shí)仍可實(shí)現(xiàn)自身姿態(tài)的穩(wěn)定。本文中子星受到的擾動(dòng)為系繩張力力矩,為體現(xiàn)控制器在其他擾動(dòng)存在時(shí)的效果,設(shè)計(jì)控制器時(shí)不考慮張力力矩?cái)_動(dòng)。下面給出實(shí)現(xiàn)子星姿態(tài)穩(wěn)定的控制器。

定理1如果使用下列控制器

(8)

那么系統(tǒng)(2)和(4)滿足Lyapunov穩(wěn)定性理論,是穩(wěn)定的。式中,kx、ky和kz是選取的正參數(shù)。

(9)

對(duì)(9)式關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)得:

(10)

將(2)式和(4)式代入(10)式整理之后得:

(11)

將(8)式代入(11)式有:

因此,系統(tǒng)是穩(wěn)定的,定理得證。

本文中,系繩釋放階段需要對(duì)子星進(jìn)行連續(xù)的姿態(tài)穩(wěn)定控制。因此,設(shè)計(jì)出的控制器可以以磁力矩器來實(shí)現(xiàn)。

4數(shù)值仿真分析

4.1仿真條件

給定釋放初始軌道高度為300km,地球引力常數(shù)μ=398 600km3/s2,平均半徑R0=6 371.02km。母星與子星之間的初始距離為0.1m,初始分離速2.5m/s。系繩第1階段最終釋放長(zhǎng)度L0=3km,系繩最終釋放30km。最終系繩相對(duì)地垂線的面內(nèi)偏角為-56°,面內(nèi)角速度為0s-1;面外偏角和角速度都為0。張力控制律中的系數(shù)使用下山單純形法可優(yōu)化求解得到(見表1)。

子星轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,Iy=Iz=0.32km·m2,子星半徑R=0.2m。子星姿態(tài)角的初始擾動(dòng)為α(0)=25°,φ(0)=ψ(0)=0°。子星本體坐標(biāo)系cxyz三軸上的角速度初始擾動(dòng)為ωx(0)=0.01s-1,ωy(0)=ωz(0)=0s-1。取控制器中的正參數(shù)kx=ky=kz=1。

4.2仿真結(jié)果與分析

首先不引入控制器,只考慮系繩釋放階段張力力矩?cái)_動(dòng)下,子星的空間姿態(tài)運(yùn)動(dòng)。當(dāng)Δ=0時(shí),系繩固定點(diǎn)在子星縱軸cx上,子星章動(dòng)角α的變化趨勢(shì)如圖4所示;當(dāng)Δ=0.02 m時(shí),系繩固定點(diǎn)不在子星縱軸cx上,子星章動(dòng)角α的變化趨勢(shì)如圖5所示。

對(duì)比圖4和圖5,系繩釋放階段,子星的姿態(tài)角α隨著靜態(tài)誤差Δ增大(系繩固定點(diǎn)與縱軸cx直接距離的增大),也相應(yīng)增大。因此,系繩釋放階段,Δ是不希望存在的。但在衛(wèi)星實(shí)際制造時(shí),系繩固定點(diǎn)不一定在子星縱軸cx上,難免產(chǎn)生誤差。因此本文對(duì)Δ≠0的情況下,子星的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析和控制研究。

只考慮Δ=0.02 m空間系繩系統(tǒng)系繩釋放階段系繩張力力矩?cái)_動(dòng)作用下,子星的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)。仿真結(jié)果如圖5～圖8所示。

圖4　Δ=0 m時(shí)章動(dòng)角的變化曲線　　　圖5　Δ=0.2 m時(shí)章動(dòng)角的變化曲線　　　圖6　進(jìn)動(dòng)角和自旋角的變化曲線

圖5和圖6給出系繩釋放階段,子星受到張力力矩的擾動(dòng)后,姿態(tài)角的變化曲線。給定章動(dòng)角α初始擾動(dòng)為25°時(shí),隨著系繩的釋放,α在0～50°之間劇烈振蕩,且振蕩最劇烈發(fā)生在系繩快速釋放階段。通過對(duì)比圖5章動(dòng)角α的變化和圖7中的張力T的變化,可發(fā)現(xiàn)章動(dòng)角和張力之間存在反比例對(duì)應(yīng)關(guān)系,張力減小時(shí)章動(dòng)角振蕩幅度增加,張力恒定時(shí)章動(dòng)角振蕩振幅也恒定,張力急劇減弱時(shí)章動(dòng)角振幅急劇增加。給定進(jìn)動(dòng)角ψ和自旋角φ的初始擾動(dòng)為0°時(shí),ψ先減小到-30°,之后一直增加,系繩釋放結(jié)束時(shí)為140°;φ先增加到60°,之后一直減小,系繩釋放結(jié)束時(shí)為-50°;進(jìn)動(dòng)角和自旋角的最小和最大值基本上同時(shí)出現(xiàn)。姿態(tài)角在系繩釋放階段的劇烈振蕩,可能導(dǎo)致系繩纏繞子星,破壞母星與子星分離時(shí)的安全條件。此外,系繩釋放結(jié)束時(shí),較大的姿態(tài)角,會(huì)使子星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)失穩(wěn)。因此,有必要對(duì)系繩釋放階段的子星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行穩(wěn)定控制。

表1　控制律的參數(shù)值

圖7　系繩長(zhǎng)度與張力變化曲線　　　圖8　系繩張力力矩變化曲線　　　圖9　加入控制后章動(dòng)角的變化曲線

圖7給出了系繩釋放長(zhǎng)度與張力變化的趨勢(shì),系繩最終釋放30km,張力的最大值在2N附近,且系繩釋放長(zhǎng)度與張力的變化基本成正比關(guān)系。圖8給出系繩釋放階段,張力力矩隨時(shí)間變化的曲線。張力力矩與圖7中張力成正比。張力增大時(shí),子星本體坐標(biāo)系cxyz 3個(gè)方向上的張力力矩也隨之劇烈振蕩,總的趨勢(shì)也為增大;張力基本不變時(shí),張力力矩振蕩幅度也很小,基本不變。cx軸向的張力力矩在0附近隨著張力變化而振蕩變化;cy和cz方向的張力力矩基本關(guān)于0對(duì)稱,隨著張力增大振蕩變化,最值為0.035N·m附近。

在(2)式中引入基于Lyapunov函數(shù)方法設(shè)計(jì)的姿態(tài)控制器,對(duì)系繩釋放階段子星姿態(tài)進(jìn)行穩(wěn)定控制,數(shù)值仿真結(jié)果如圖9～圖12所示。

引入控制力矩之后,系繩的釋放長(zhǎng)度和張力沒變化。圖9給出了給定章動(dòng)角初始擾動(dòng)25°時(shí),隨著系繩釋放,張力值發(fā)生變化,章動(dòng)角一直下降,最終在15s左右時(shí)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài);圖10給出進(jìn)動(dòng)角和自旋角初始擾動(dòng)0°時(shí),在初始2s一直增加,達(dá)到0.001 5°左右,之后一直振蕩下降,最終在12s左右穩(wěn)定。張力力矩在系繩釋放階段雖然對(duì)子星姿態(tài)一直存在擾動(dòng)作用,但在加入姿態(tài)控制器之后,姿態(tài)角在15s左右都很好的收斂到穩(wěn)定狀態(tài)附近,消除了系繩的劇烈振蕩,避免了系繩纏繞子星,系繩所受應(yīng)力超過強(qiáng)度極限造成斷裂,使系統(tǒng)失效的情況發(fā)生。

圖11給出了加入控制器后張力力矩的變化曲線。與圖8對(duì)比,張力力矩在子星本體坐標(biāo)系cxyz三軸方向劇烈振蕩的情況消失,cy和cz方向上張力力矩變化的趨勢(shì)對(duì)稱。圖12給出控制力矩對(duì)時(shí)間的響應(yīng)曲線,控制力矩主要作用在前20s,最大值大約為0.6N·m。因此,系繩釋放階段對(duì)子星的空間姿態(tài)進(jìn)行控制,可在初始階段快速穩(wěn)定子星姿態(tài),能量消耗很少。系繩釋放階段,子星空間姿態(tài)的穩(wěn)定,為空間系繩系統(tǒng)相關(guān)任務(wù)的成功進(jìn)行提供了保證。

圖10　　　　加入控制后進(jìn)動(dòng)角和　　　圖11　　　　加入控制后張力力矩的圖12　控制力矩的變化曲線　　　自旋角的變化曲線　　　變化曲線

5結(jié)論

本文考慮了空間系繩系統(tǒng)系繩釋放階段，子星的空間姿態(tài)運(yùn)動(dòng)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性產(chǎn)生的影響?；跉W拉-牛頓法建立了繩系衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)方程，研究了系繩與衛(wèi)星之間固定點(diǎn)存在靜態(tài)不對(duì)稱性時(shí)，衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性。為消除釋放階段衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)對(duì)系繩系統(tǒng)穩(wěn)定性產(chǎn)生的不利影響，設(shè)計(jì)了一種基于Lyapunov函數(shù)方法的非線性姿態(tài)控制器。由于對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)方程沒有進(jìn)行線性化與解耦，姿態(tài)控制器的能量消耗很少，因此實(shí)際應(yīng)用中有很大的使用價(jià)值。仿真結(jié)果表明，該控制器可很好地抑制外界擾動(dòng)的影響。

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Nonlinear Stability Control of Tethered Sub-Satellite Attitude in Deployment

Wang Changqing1, Du Chonggang1, Li Aijun1, Z.H.Zhu2

(1．Northwestern Polytechnical University，Xi'an 710072，China 2．York University，Toronto M3J 1P3，Canada)

Abstract:This paper studies the impact of tether deployment on the attitude dynamics of the tethered sub-satellite. The dynamics model of the tethered sub-satellite is derived from the Newton - Euler equation of motion and the stability of tethered sub-satellite′s attitude motion is studied with the consideration of tether attachment offset from the symmetric axis of the satellite. Based on the dynamic analysis, a Lyapunov type nonlinear attitude controller is derived for the attitude motion of the tethered sub-satellite, which is disturbed by the unwanted offset of tether attachment. Simulation results and their analysis demonstrated preliminarily that the newly proposed controller is effective and efficient.

Keywords:tethered sub-satellite, deployment, attitude control, Lyapunov function

中圖分類號(hào)：V11

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào):1000-2758(2016)01-0060-07

作者簡(jiǎn)介：王長(zhǎng)青(1973—),西北工業(yè)大學(xué)副教授、博士，主要從事飛行器控制與仿真、智能控制及空間系繩系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與控制等研究。

基金項(xiàng)目：2011年度國(guó)家國(guó)際科技合作專項(xiàng)資助

收稿日期：2015-09-02