GFC-空間中的GFS-KKM定理及其對極大元的應用

文開庭,　李和睿

(貴州工程應用技術(shù)學院 土木建筑工程學院, 貴州 畢節(jié) 551700)

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GFC-空間中的GFS-KKM定理及其對極大元的應用

文開庭,李和睿

(貴州工程應用技術(shù)學院 土木建筑工程學院, 貴州 畢節(jié) 551700)

摘要：引入GFC-空間中的GFS-KKM映射、G(KS)-映射和G(KS)-優(yōu)化映射,建立GFC-空間的GFS-KKM定理,作為應用,獲得G(KS)-映射和G(KS)-優(yōu)化映射的極大元定理.結(jié)論統(tǒng)一、改進和推廣一些近期文獻的已知結(jié)果.

關(guān)鍵詞：GFC-空間; GFS-KKM映射; G(KS)-映射; G(KS)-優(yōu)化映射; 極大元

1預備知識

2009年,P. Q. Khanh等[1-2]引入了GFC-空間,2010年,P. Q. Khanh等[3]建立了GFC-空間中新的極大元定理、重合定理和相交定理.2011年,K. T. Wen等[4-5]得到了GFC-空間中新的相交定理、變分不等式、不動點定理和帶上下界的廣義平衡問題解的存在定理.文獻[6]獲得了GFC-空間中的KKM定理、Browder不動點定理等,文獻[7-9]研究了GFC-空間中的匹配定理、不動點定理、極大極小不等式、鞍點定理、截口定理、重合定理、乘積GFC-空間中的極大元定理、廣義混合擬平衡問題系統(tǒng)解的存在定理.文獻[10-12]研究了H-度量空間和L-凸空間的KKM定理.文獻[13-14]研究了FC-空間中的不動點.本文的目的是引入GFC-空間中的GFS-KKM映射、GKS-映射和GKS-優(yōu)化映射;建立GFC-空間中GFS-KKM映射的GFS-KKM定理,作為應用,獲得了GKS-映射和GKS-優(yōu)化映射的極大元定理.我們的結(jié)論統(tǒng)一、改進和推廣了一些近期文獻的已知結(jié)果.

本文沿用文獻[1-9]的相關(guān)記號、概念和術(shù)語,并引入如下概念.

定義 1.1設(shè)(X,Y,Φ)為GFC-空間,Z≠?,S:X→Z為單值映射.F:Y→2Z稱為GFS-KKM映射,若對

有

定義 1.2設(shè)(X,Y,Φ)為GFC-空間,Z為拓撲空間,K為Z中的非空緊集,S:X→Z為單值映射.F:Z→2Y稱為GKS-映射,若F有相對于K的弱緊局部交性質(zhì),且對

有

注 1.1定義1.2統(tǒng)一推廣了文獻[15-16]的W-映射、文獻[17]的定義1、文獻[18]的定義1.1.

定義 1.3設(shè)(X,Y,Φ)為GFC-空間,Z為拓撲空間,K為Z中的非空緊集,S:X→Z為單值映射.F:Z→2Y稱為GKS-優(yōu)化映射,若對?z∈Z滿足F(z)≠?,存在Fz:Z→2Y和z在Z中的開鄰域N(z)使得：

2) ?t∈N(z),F(t)?Fz(t);

3) ?N={y0,y1,…,yn}∈〈Y〉,?{yi0,yi1,…,yik}∈〈N〉,

2主要結(jié)果

證明因F為GFS-KKM映射,故對

有

進而

設(shè)

首先,因F是緊閉值的,故對?i∈{0,1,…,n},F(yi)是緊閉集,而S連續(xù),故(S-1F)(yi)是緊閉集.又因φN(△n)緊,故對

為閉集.據(jù)φN的連續(xù)性,對

為閉集.

其次,因φN(△k)?φN(△n)且

故

于是

所以

進而

注 2.1定理2.1統(tǒng)一改進和推廣了文獻[24]的定理2.1、文獻[25]的引理2.6、文獻[26]的定理3.2、文獻[27]的定理1、文獻[28]的定理1.1、文獻[29]的定理2.1,等.

定理 2.2設(shè)(X,Y,Φ)為GFC-空間,Z為拓撲空間,K為Z中的非空緊集,S∈C(X,Z),F:Z→2Y為GKS-映射.若存在M∈〈Y〉使得

有

于是

即

于是

注 2.2定理2.2統(tǒng)一改進和推廣了文獻[15]的定理1、文獻[16]的定理1、文獻[17]的定理1、文獻[18]的定理2.1,等.

證明若結(jié)論不然,即

1) ?z∈K,F(z)≠?.

因F為GKS-優(yōu)化映射,故對?z∈K,存在Fz:Z→2Y和z在Z中的開鄰域N(z)使得

3) ?t∈N(z),F(t)?Fz(t);

4) ?N={y0,y1,…,yn}∈〈Y〉,?{yi0,yi1,…,yik}∈〈N〉,

設(shè)F在K上的限制為FK:K→2Y定義為FK(z)=F(z),?z∈K.對?z∈K,設(shè)Fz在K上的限制為FzK:K→2Y定義為FzK(x)=Fz(x),?x∈K.由于K緊,據(jù)2)得

6) ?t∈N(z),FK(t)?FzK(t).

據(jù)K緊知

據(jù)4)得

7) ?z∈K,?N={y0,y1,…,yn}∈〈Y〉,?{yi0,yi1,…,yik}∈〈N〉,

因Z是Hausdorff拓撲空間,K是Z中的緊子空間,故K是緊Hausdorff拓撲空間,因而,K是正規(guī)拓撲空間.故對?z∈K和z在K中的開鄰域N(z),存在z在K中的開鄰域U(z)使得

據(jù)K的緊性知

8) 存在{z0,z1,…,zm}∈〈K〉使得

對?p∈{0,1,…,m},定義Fp:K→2Y為：

則有

必有

若不然,假設(shè)存在

使得

任取

據(jù)8),存在p0∈{0,1,…,m}使得

注意到

故存在z*在K中的開鄰域O(z*)使得

對

有

故

因此

于是

所以

與7)矛盾.

故

注2.3定理2.3統(tǒng)一改進和推廣了文獻[16]的定理2、文獻[17]的定理2、文獻[18]的定理2.2,等.

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2010 MSC：47H04; 47H10; 52A99

(編輯李德華)

A GFS-KKM Theorem in GFC-Spaces with the Application to Maximal Elements

WEN Kaiting,LI Herui

(SchoolofCivilEngineeringandArchitecture,GuizhouUniversityofEngineeringScience,Bijie551700,Guizhou)

Abstract：In this paper, GFS-KKM mappings, G(KS)-mappings and G(KS)-majorized mappings are introduced, a GFS-KKM theorem is established in GFC-spaces. As applications, maximal element theorems for G(KS)-mappings and G(KS)-majorized mappings are obtained. Our results unify, improve and generalize some known results in recent references.

Key words：GFC-space; GFS-KKM mapping; G(KS)-mapping; G(KS)-majorized mapping; maximal element

doi:10.3969/j.issn.1001-8395.2016.01.016

中圖分類號：O177.91

文獻標志碼：A

文章編號：1001-8395(2016)01-0093-05

作者簡介：文開庭(1962—),男,教授,主要從事非線性分析的研究,E-mail:wenkaiting_2004@sina.com

基金項目：國家自然科學基金(11361003)、貴州省自然科學基金([2011]2093)和貴州省教育廳自然科學重點基金([2012]058)

收稿日期:2014-05-05