兩邊空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流-擴(kuò)散方程的一種加權(quán)顯式有限差分方法

馬亮亮,　劉冬兵

(攀枝花學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院, 四川 攀枝花 617000)

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兩邊空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流-擴(kuò)散方程的一種加權(quán)顯式有限差分方法

馬亮亮,劉冬兵

(攀枝花學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院, 四川 攀枝花 617000)

摘要：考慮兩邊空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流-擴(kuò)散方程的初邊值問(wèn)題,基于Grünwald公式和移位Grünwald-Letnikov公式,提出一種加權(quán)顯式有限差分解法.利用傅里葉變換和特征值法,得到差分格式的穩(wěn)定性.然后使用最大模估計(jì)法證明在相同的條件下,所提出的差分格式是收斂的.最后通過(guò)數(shù)值例子說(shuō)明所提出的差分格式是可靠和有效的,并對(duì)方程的數(shù)值解與精確解進(jìn)行比較,驗(yàn)證了文中的理論結(jié)果.

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階對(duì)流-擴(kuò)散方程; 空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù); 加權(quán)差分格式; 收斂性; 穩(wěn)定性; 有限差分法

1預(yù)備知識(shí)

分?jǐn)?shù)階微分方程中含有非整數(shù)階的導(dǎo)數(shù),能夠有效地描述各種各樣物質(zhì)的記憶和遺傳性質(zhì),在工程、物理、金融、水文、地理、材料等領(lǐng)域發(fā)揮了愈來(lái)愈重要的作用[1-14].遺憾的是,大多數(shù)分?jǐn)?shù)階微分方程的解析解都含有復(fù)雜的級(jí)數(shù)或者特殊函數(shù),不利于進(jìn)行近似計(jì)算,于是對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程進(jìn)行數(shù)值求解變得尤為重要.目前,許多學(xué)者致力于其中一類分?jǐn)?shù)階微分方程的-(時(shí)間、空間、空間-時(shí)間)分?jǐn)?shù)階對(duì)流-擴(kuò)散方程的研究[15-23].

本文主要研究下列兩邊空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流-擴(kuò)散方程的數(shù)值解法

(1)

(2)

其中,0≤n-1<α

兩邊空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流-擴(kuò)散方程(1)是一種反常擴(kuò)散方程,在地下水溶質(zhì)運(yùn)移方面,該方程可用來(lái)描述含水層中溶質(zhì)運(yùn)移過(guò)程中的反常擴(kuò)散現(xiàn)象[24].關(guān)于這類問(wèn)題的數(shù)值解法,前人已做了一些研究.蘇麗娟等[24]給出了雙邊空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流-擴(kuò)散方程的一種隱式有限差分解法.M. Meerschaert等[25-26]分別對(duì)單邊和雙邊對(duì)流-擴(kuò)散方程利用改進(jìn)型Grünwald-Letnikov差分方法進(jìn)行了求解,但結(jié)果表明用Grünwald得到的顯式差分格式是不穩(wěn)定的,因此數(shù)值解不會(huì)收斂于方程的精確解.夏源等[27]對(duì)單邊的時(shí)間和空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流-彌散方程給出了類似的算法.F. Liu等[28]用此類算法對(duì)空間分?jǐn)?shù)階?？?普朗克方程進(jìn)行了離散計(jì)算.馬維元等[29]對(duì)空間-時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的初邊值問(wèn)題提出了一種加權(quán)平均差分格式.張紅玉等[30]給出了一類空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流-擴(kuò)散方程的加權(quán)平均有限差分解法.本文在標(biāo)準(zhǔn)Grünwald公式的基礎(chǔ)上,利用移位Grünwald-Letnikov公式,構(gòu)造出一種新的加權(quán)顯式有限差分格式,并對(duì)其穩(wěn)定性和收斂性進(jìn)行理論分析,最后通過(guò)數(shù)值例子驗(yàn)證了該差分格式的有效性和可靠性.

2加權(quán)顯式有限差分法

(5)

(6)

(7)

(9)

(10)

(9)～(10)式在時(shí)間和空間上都只有一階精度,為了提高空間上的精度,對(duì)Grünwald公式和移位Grünwald-Letnikov公式進(jìn)行加權(quán)處理得

于是得到下面的加權(quán)顯式有限差分格式

(11)

其中,i=1,2,…,M-1,n=0,1,…,N-1;ε是權(quán)參數(shù),且0<ε<1.

(12)

(13)

3穩(wěn)定性和收斂性分析

定義 1對(duì)于任意的u∈R,(iu)α=sign(u)|u|αe(iπα)/2.

借助于定義1和2,對(duì)(14)和(15)式做傅里葉變換得

或

因此對(duì)任意的x∈R,|φ(x,h)|≤C3h2.

為半徑的圓盤上,因此要使顯式有限差分格(11)式穩(wěn)定,需|λ-Ai,i|

現(xiàn)要使顯式有限差分格(11)式穩(wěn)定,只需證明Ai,i-ri≥-1即可.而要使

由泰勒展開(kāi)式定理和定理1得

令R=O(τ+h2)(1,1,…,1)T,結(jié)合(2)、(3)和(13)式,(16)式可寫成矩陣形式

所以

進(jìn)而

4數(shù)值實(shí)例

考慮如下兩邊空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流-擴(kuò)散方程

表1給出了當(dāng)t=0.5時(shí)不同時(shí)間和不同空間步長(zhǎng)下數(shù)值解與精確解之間的最大模誤差及其誤差比率,其中誤差比率是由前一行的最大模誤差與該行的最大模誤差相比而得到.

表 1　t=0.5時(shí)的最大模誤差和收斂階

表 2　t=0.5時(shí)方程數(shù)值解與精確解的比較

5結(jié)語(yǔ)

本文考慮了兩邊空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流-擴(kuò)散方程的數(shù)值逼近問(wèn)題,首先采用Grünwald公式和移位Grünwald-Letnikov公式近似空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),得到一種加權(quán)顯式有限差分解法;然后利用傅里葉變換和特征值法給出差分格式的穩(wěn)定性分析,借助于最大模估計(jì)方法驗(yàn)證差分格式的收斂性,最后通過(guò)數(shù)值實(shí)例驗(yàn)證了文中方法的精確性、可靠性和實(shí)用性.

致謝攀枝花學(xué)院校級(jí)培育項(xiàng)目(2012PY08)、攀枝花學(xué)院校級(jí)科研項(xiàng)目(2013YB05和2012YB21)、攀枝花學(xué)院院級(jí)科研創(chuàng)新項(xiàng)目(Y2013-04)和攀枝花學(xué)院教育教學(xué)研究與改革青年項(xiàng)目(JJ1376)對(duì)本文給予了資助,謹(jǐn)致謝意.

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2010 MSC：35R11; 39A99

(編輯鄭月蓉)

A Weighted Explicit Finite Difference Method for Two-Sided Space Fractional Advection Diffusion Equation

MA Liangliang,LIU Dongbing

(CollegeofMathematicsandComputer,PanzhihuaUniversity,Panzhihua617000,Sichuan)

Abstract：Based on Grünwald formula and the shifted Grünwald-Letnikov formula, a weighted explicit finite difference method is proposed to solve initial boundary value problems of two-sided space fractional advection diffusion equation. Their stability is analyzed by means of Fourier transform and eigenvalue analysis. Using the technique of maximum norm analysis, it is proved that the scheme convergent under the same condition. Illustrative example is included to demonstrate the validity and applicability of the scheme, and a comparison between the exact analytical and the numerical prediction is made to demonstrate the theoretical results.

Key words：fractional advection diffusion equation; space fractional derivative; weighted difference scheme; convergence; stability; finite difference method

doi:10.3969/j.issn.1001-8395.2016.01.013

中圖分類號(hào)：O241.82

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-8395(2016)01-0076-07

作者簡(jiǎn)介：馬亮亮(1986—),男,講師,主要從事模型優(yōu)化和微分方程的研究,E-mail:mllpzh@126.com

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(10671132和60673192)、四川省科技廳項(xiàng)目(2013JY0125)和攀枝花市市級(jí)應(yīng)用技術(shù)研究與開(kāi)發(fā)資金項(xiàng)目

收稿日期:2014-05-14

(2014CY-G-22)