受限于微分從屬函數(shù)的有限階哈達(dá)瑪乘積的包含性質(zhì)

都俊杰,　秦　川*,　鄒發(fā)偉,　李小飛,　何先平,　馮建中

(1. 長江大學(xué) 工程技術(shù)學(xué)院, 湖北 荊州 434020;　2. 長江大學(xué) 信息與數(shù)學(xué)學(xué)院, 湖北 荊州 434000)

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受限于微分從屬函數(shù)的有限階哈達(dá)瑪乘積的包含性質(zhì)

都俊杰1,秦川1*,鄒發(fā)偉1,李小飛1,何先平2,馮建中2

(1. 長江大學(xué) 工程技術(shù)學(xué)院, 湖北 荊州 434020;2. 長江大學(xué) 信息與數(shù)學(xué)學(xué)院, 湖北 荊州 434000)

摘要：定義有限階哈達(dá)瑪乘積f*φ1*…*φn,其中f,φi∈A,1≤i≤n,并定義一類在單位圓盤內(nèi)微分從屬于正實(shí)部函數(shù)的解析函數(shù)類C(h,φ1,…,φn,λ),S*(h,φ1,…,φn,λ),K(h,φ1,…,φn,λ),R(h,φ1,…,φn,λ),T(h,φ1,…,φn,λ),利用微分從屬理論和凸函數(shù)理論研究它們的包含性質(zhì).

關(guān)鍵詞：凸函數(shù); 解析函數(shù); 哈達(dá)瑪乘積; 微分從屬; 包含關(guān)系

設(shè)A表示單位圓盤U={z∈C:|z|<1}內(nèi)具有泰勒展開式

(1)

的解析函數(shù)族,并用S、S*(γ)、C(γ)分別表示A中的單葉函數(shù)類、γ階星象函數(shù)類、γ階凸函數(shù)類[1-2],這里0≤γ<1.f(z)、g(z)在U內(nèi)解析,稱f從屬[3]于g,記作fg,若存在U內(nèi)的Schwarz函數(shù)ω(z)(ω(0)=0,|ω(z)|<1),使f(z)=g(ω(z)).特別地,若g在U內(nèi)單葉,上述從屬關(guān)系等價(jià)于f(0)=g(0),f(U)?g(U).設(shè)f(z)由(1)式定義,g(z)由(2)式定義

(2)

f(z)與g(z)的哈達(dá)瑪乘積(或稱卷積)定義為:

設(shè)h(z)為U內(nèi)的凸單葉解析函數(shù),且滿足h(0)=1,具有正實(shí)部,即Reh(z)>0.記所有滿足條件p(0)=1,ph(z∈U)的解析函數(shù)族為P(h).對于正實(shí)部函數(shù)類,目前有很多作者對其包含關(guān)系進(jìn)行研究,其中包括一些泛函分析領(lǐng)域的權(quán)威學(xué)者(詳見文獻(xiàn)[4-7]).對于h(z)的特殊子類,如,被稱為Janowski函數(shù),如取A=1-2α,B=-1,0≤α<1;取A=1,B=-1,成為目前研究熱點(diǎn)(詳見文獻(xiàn)[8]).

對f,φ1,…,φn∈A,(f*φ1*…*φn)(z)≠0,記f1(z)=f(z)*φ1(z)*…*φn(z),且記

(3)

這里0≤λ≤1.文獻(xiàn)[9-18]利用卷積和算子函數(shù)定義了微分從屬函數(shù)類并研究函數(shù)類的系數(shù)性質(zhì)、包含關(guān)系、凸性等.

定義 3對f,φ1,…,φn∈A,F由(3)式給出,定義f(z)∈R(h,φ1,…,φn,λ)當(dāng)且僅當(dāng)(f*φ1*…*φn)′(z)+λz(f*φ1*…*φn)″(z)h(z).定義f(z)∈T(h,φ1,…,φn,λ)當(dāng)且僅當(dāng)zf′(z)∈R(h,φ1,…,φn,λ).

記Sσ(σ≤1)為預(yù)星象函數(shù),即f(z)∈Sσ,則

對于預(yù)星象函數(shù)Sσ,有如下結(jié)論：

1)S0=C為凸函數(shù);

1幾個(gè)引理

引理 1[19]設(shè)f∈Sσ(σ≤1),g為σ階星象函數(shù),H為U內(nèi)的解析函數(shù),則

引理 2[20]設(shè)h為U上的單葉解析凸函數(shù),且h(0)=1,Re[βh(z)+α]>0(β,α∈C).若p為U上的解析函數(shù)且p(0)=h(0),則當(dāng)

時(shí),有p(z)h(z).

引理 3[21]設(shè)β,γ∈C,h(z)為U上的單葉凸函數(shù)且h(0)=1,Re[βh(z)+γ]>0,q∈A,q(z)h(z).若p為U內(nèi)的解析函數(shù)且p(0)=1,Req(z)>0,則當(dāng)

則p(z)h(z).

2主要結(jié)論

定理 1C(h,φ1,…,φn,λ)?S*(h,φ1,…,φn,λ).

定理 2S*(h,φ1,…,φn,λ),C(h,φ1,…,φn,λ),K(h,φ1,…,φn,λ),R(h,φ1,…,φn,λ),T(h,φ1,…,φn,λ)具有凸卷積不變性.

證明以S*(h,φ1,…,φn,λ)為例證明,其他函數(shù)類方法類似.設(shè)ψ∈C,f∈S*(h,φ1,…,φn,λ),下證(ψ*f)∈S*(h,φ1,…,φn,λ).經(jīng)計(jì)算

由于f∈S*(h,φ1,…,φn,λ),所以

因此

在引理1中取σ=0,得

由于p為全體P(U)的閉凸包,因此

由S*(h,φ1,…,φn,λ)的定義,知(ψ*f)∈S*(h,φ1,…,φn,λ).

定理 3對任意λ≥0,都有S*(h,φ1,…,φn,λ)?S*(h,φ1,…,φn,0).

證明當(dāng)λ=0時(shí)上述包含關(guān)系顯然成立.現(xiàn)假設(shè)λ>0,令f∈S*(h,φ1,…,φn,λ),并記

由引理2知,p(z)h(z),即h(z),因此f(z)∈S*(h,φ1,…,φn,0).

定理 4對任意λ≥0,都有K(h,φ1,…,φn,λ)?K(h,φ1,…,φn,0).

證明當(dāng)λ=0時(shí)上述包含關(guān)系顯然成立.當(dāng)λ>0時(shí),假設(shè)f(z)∈K(h,φ1,…,φn,λ),記

由定理3知,g(z)∈S*(h,φ1,…,φn,λ),則g(z)∈S*(h,φ1,…,φn,0),即p0(z)h(z).經(jīng)計(jì)算

由引理3知,p(z)h(z),即

因此f(z)∈K(h,φ1,…,φn,0).

定理 5T(h,φ1,…,φn,λ)?R(h,φ1,…,φn,λ).

證明令f∈T(h,φ1,…,φn,λ),由定義得zf′∈R(h,φ1,…,φn,λ),即

(4)

(4)式左邊變形,得

(5)

令p(z)=(f*φ1*…*φn)′+λz(f*φ1*…*φn)″,則(5)式變形為p(z)+zp′(z)h(z),由引理3得,p(z)h(z),即f(z)∈R(h,φ1,…,φn,λ).

定理 6R(h,φ1,…,φn,λ),T(h,φ1,…,φn,λ)為凸集.

證明以函數(shù)類R(h,φ1,…,φn,λ)為例證明,對函數(shù)類T(h,φ1,…,φn,λ),方法相同.令f1(z),f2(z)∈R(h,φ1,…,φn,λ),即

由于h(U)為凸函數(shù)類,因此

即αf1+(1-α)f2∈R(h,φ1,…,φn,λ).

定理 7R(h,φ1,…,φn,λ1)?R(h,φ1,…,φn,λ2),0≤λ2<λ1.

為了證明定理7的結(jié)論,先證明下面的引理.

引理 4假設(shè)λ≥0,D(z)∈S*(h),若N(z)在U內(nèi)解析,N(0)=D(0)=0,N′(0)=D′(0)=1,h(z)為U內(nèi)的凸單葉具有正實(shí)部即Reh(z)>0的函數(shù),且滿足下面的從屬關(guān)系

定理7的證明若f(z)∈R(h,φ1,…,φn,λ1),則

整理得

由于

這里

由引理4知,(f*φ1*…*φn)′h(z),且h(U)為凸集,因此(1-λ2)(f*φ1*…*φn)′+λ2(z(f*φ1*…*φn)′)′h(z),即f(z)∈R(h,φ1,…,φn,λ2).

同樣的方法,可以得到以下定理8～10.

定理 8對任意0≤λ2≤λ1,都有T(h,φ1,…,φn,λ1)?T(h,φ1,…,φn,λ2).

定理 9對任意λ≥1,都有T(h,φ1,…,φn,λ)?T(h,φ1,…,φn,1).

定理 10對λ≥0,f,φ1,…,φn∈A,設(shè)

致謝長江大學(xué)科研發(fā)展基金(2013CJY01)、長江大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所開放基金(KF1508)和長江大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院科技創(chuàng)新基金(15J0802)對本文給予了資助,謹(jǐn)致謝意.

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2010MSC：30C45

(編輯周俊)

Inclusion Properties of Hadamard Product of Finitely Order Defined by Differential Subordination

DU Junjie1,QIN Chuan1,ZOU Fawei1,LI Xiaofei1,HE Xianping2,FENG Jianzhong2

(1.EngineeringandTechnologyCollegeofYangtzeUniversity,Jingzhou434020,Hubei;2.SchoolofInformationandMathematics,YangtzeUniversity,Jingzhou434000,Hubei)

Abstract：The Hadamard product of finitely order is defined with f*φ1*…*φn,f,φi∈A(1≤i≤n). The classes of analytic functions C(h,φ1,…,φn,λ),S*(h,φ1,…,φn,λ) and K(h,φ1,…,φn,λ),R(h,φ1,…,φn,λ),T(h,φ1,…,φn,λ) are defined in unit disc by differential subordination. Inclusion properties are obtained by using differential subordination and convolution.

Key words：convex function; analytic function; Hadamard product; differential subordination; inclusion properties

doi:10.3969/j.issn.1001-8395.2016.01.012

中圖分類號：O174.51

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1001-8395(2016)01-0071-05

*通信作者簡介：秦川(1985—),女,講師,主要從事復(fù)分析的研究,E-mail:dujunjie0420@163.com

基金項(xiàng)目：湖北省自然科學(xué)基金(2013CFAO053)和湖北省教育廳科研項(xiàng)目(B2013281)

收稿日期:2015-04-28