非線性色散系統(tǒng)孤波解的軌道穩(wěn)定性

劉小華,　胡麗金,　余孝軍

(1. 貴州民族大學(xué) 理學(xué)院, 貴州 貴陽 550025;　2. 貴州財(cái)經(jīng)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 貴州 貴陽 550025)

?

非線性色散系統(tǒng)孤波解的軌道穩(wěn)定性

劉小華1,胡麗金1,余孝軍2

(1. 貴州民族大學(xué) 理學(xué)院, 貴州 貴陽 550025;2. 貴州財(cái)經(jīng)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 貴州 貴陽 550025)

摘要：利用變分法考慮非線性色散系統(tǒng)孤波解的存在性.借助軌道穩(wěn)定性抽象理論,構(gòu)造泛函極值問題和哈密爾頓算子,并對(duì)算子進(jìn)行譜分析,證明非線性色散系統(tǒng)孤波解的軌道穩(wěn)定性取決于判別式的符號(hào),并推廣了已有文獻(xiàn)的一些結(jié)論.

關(guān)鍵詞：孤波解; 軌道穩(wěn)定性; 變分法

1引言及預(yù)備知識(shí)

本文將考慮非線性色散系統(tǒng)

(1)

孤波解的軌道穩(wěn)定性,其中,u(x,t)、v(x,t)為是實(shí)函數(shù),p為整數(shù).方程(1)[1-2]描述的是分層流體學(xué)中鄰近的密度躍層二維內(nèi)部重力波的強(qiáng)交互作用,是淺水波KdV型方程的重要耦合形式.E. Alarcon等[1]研究了方程(1)以下幾個(gè)問題:一是利用Kate理論[3]以及Lp-Lq估計(jì)法[4-5],證明了方程(1)初值問題的全局適定性;二是利用文獻(xiàn)[6]的結(jié)論,給出了方程(1)孤波解的存在性;三是利用文獻(xiàn)[7]的抽象軌道穩(wěn)定性理論證明了方程(1)一種特殊孤波解的軌道穩(wěn)定性.當(dāng)p=2,以文獻(xiàn)[8-9]的工作為基礎(chǔ),文獻(xiàn)[10]建立了方程(1)孤波解的穩(wěn)定性.還有許多作者[11-12]討論了非線性方程解的其它特性.

方程(1)是廣義KdV型耦合系統(tǒng)

(2)

的一種特殊情形,其中,f和g為光滑函數(shù).文獻(xiàn)[13]研究了系統(tǒng)(2)的一種特殊情況

ut-6uux+12vvx-uxxx=0,

ut+6uvx+2uxxx=0

的精確解.系統(tǒng)(2)中許多其它特殊情況的研究可以參見文獻(xiàn)[14-16].

本文記號(hào)說明:設(shè)Hs(s≥1)為Sobolev空間,其范數(shù)為

傅里葉變換為

Lq=Lq(R)為通常的Lebesgue空間,其范數(shù)為|f|q(f∈Lq),記Xs=Hs×Hs(s≥1),積空間

是一個(gè)Banach空間,其范數(shù)為

記

f1=(f1,g1)T與f2=(f2,g2)T的內(nèi)積

以及f1f2=(f1f2,g1g2).

2孤波解的存在性

方程(1)可以寫為如下哈密爾頓形式

(3)

其中

(4)

E′為E的Frechet導(dǎo)數(shù).在后面的討論中,需要泛函

(5)

將孤波解φc(ξ)=(φ(ξ),ψ(ξ))T,ξ=x-ct代入方程(1),其中c為波速,并積分一次,那么φ(ξ)和ψ(ξ)滿足方程

(6)

其中“′”為關(guān)于變量ξ的導(dǎo)數(shù).根據(jù)(4)～(6)式,簡單計(jì)算可知E′(φc)+Q′(φc)=0且E和Q守恒,Q′為Q的Frechet導(dǎo)數(shù).在行波解φc處,定義

對(duì)(6)式的2個(gè)方程兩邊同時(shí)對(duì)ξ求導(dǎo)數(shù),容易得知Hcφcx=0.

為討論孤波解的存在性,引入2個(gè)泛函

(8)

(9)

并且構(gòu)造極小值問題

(10)

如果ψ=(ψ1,ψ2)T∈Xs滿足問題(10),那么存在一個(gè)拉格朗日乘子μ使得

(11)

比較方程(6)和(11),并經(jīng)過簡單的計(jì)算可知φc(ξ)=μ-1/2pψ滿足方程(6),因此,為了研究方程(6)孤波解φc(ξ)的存在性,轉(zhuǎn)而討論極小值問題(10)解的存在性.

由于(8)和(9)式以及泛函I和K具有齊次性,可以得知孤波解為如下問題(11)的解

(12)

比較(10)和(12)式有

(13)

更進(jìn)一步由(12)式知孤波解φc(ξ)適合

(14)

用φ乘以方程(6)的第一式兩邊,用ψ乘以方程(6)的第二式兩邊,然后對(duì)x從-∞到+∞積分可以得到

(15)

定理 2.2設(shè)c>0,ψk為極小化序列,則對(duì)于λ>0,存在子序列(仍記為ψk),yk∈R以及ψ∈Xs,使得ψk(·+yk)→ψ(k→∞),其中,ψ滿足極值問題(10).

證明對(duì)于α∈(0,λ),由(13)式經(jīng)簡單計(jì)算得

由I(u)的定義(8)式可知其滿足強(qiáng)制性條件

(16)

有界,因此存在收斂子序列,仍記為ρk,記

更進(jìn)一步,當(dāng)k充分大時(shí),可以假設(shè)

從而I(ψ)=Mλ.

由文獻(xiàn)[1]可知,方程(1)存在以u(píng)(0)=u0為初值的全局解u(t)∈C([0,+∞,Xs),其中,s≥1.

定義 2.3[1]如果對(duì)于任意ε>0,存在δ>0,當(dāng)

時(shí),方程(1)的全局解u(·,t)滿足

其中,u(·,0)=u0,則稱軌道φc(·-y)是穩(wěn)定的,否則稱其不穩(wěn)定.

接下來,將討論孤波解φc的穩(wěn)定性.

3孤波解的軌道穩(wěn)定性

為了后文討論孤波解的軌道穩(wěn)定和不穩(wěn)定性,給出Hc的假設(shè)如下.

此證明見文獻(xiàn)[1].

引理 3.2函數(shù)m在c>0內(nèi)局部Lipschitz連續(xù)且關(guān)于c嚴(yán)格單調(diào)遞增.

證明對(duì)于任意c1和c2,不失一般性設(shè)0

分別為速度c=c1和c=c2的有界態(tài)解,那么

因此,m關(guān)于c嚴(yán)格遞增.另一方面

從而

根據(jù)(16)式知

綜合這兩式可得

這就證明了函數(shù)m在c>0內(nèi)局部Lipschitz連續(xù).

定義函數(shù)d(c)=E(φc)+cQ(φc),根據(jù)泛函E、I、Q、K的定義(4)和(5)以及(8)和(9)式易知

(17)

利用(15)式可得

(18)

在以下的討論中,視d為c的函數(shù),d′、d″分別為關(guān)于變量c的一階、二階導(dǎo)數(shù),設(shè)管域?yàn)?/p>

引理 3.3設(shè)c>0,如果d″(c)>0,則存在ε>0,使得對(duì)于任意u∈Uc,ε有

證明由d′(c)=Q(φc)及Taylor公式有

其中,c1充分接近c(diǎn),ε充分小,對(duì)于u∈Uc,ε可以得到

(19)

根據(jù)(18)式可得

加上φc(u)滿足Mλ,從而

(20)

根據(jù)(19)和(20)式可得

因此,引理3.3成立.

定理 3.4設(shè)c>0,如果d″(c)>0,則方程(1)的孤波解φc是穩(wěn)定的.

但由于un關(guān)于t的連續(xù)性,存在tn使得

(21)

根據(jù)泛函E和Q的連續(xù)性以及守恒性可知

(22)

(23)

利用引理3.3可得

(24)

利用(21)式可知

而且

由(16)式成立

由于K、d的連續(xù)性、c(un(tn))的有界性以及

可得:

(25)

利用(22)、(23)和(25)式容易知道

(26)

因此un(tn)為極小化序列,從而存在收斂子列收斂于φc,與(21)式矛盾.

4孤波解的不穩(wěn)定性

引理 4.1存在ε0>0以及C1映射α:Uc,ε0→R,對(duì)于任意v∈Uc,ε0,r∈R使得:

(i) 〈?xφc(·-y),v〉=0;

(ii)α(v(·-r))=α(v)+r;

證明參見文獻(xiàn)[19]中的定理4.1.在后面的討論中,將用到下面的新算子

(i) 映射Bφ:Uc,ε→Xs有界且具有有界導(dǎo)數(shù);

(ii)Bφ(v(·-r))=Bφ(v)+r;

(iii) 對(duì)于任意v∈Uc,ε有

(iv) 如果〈φc,?xφ)〉=0,則Bφ(φc)=Jφ.

證明(i) 根據(jù)算子Bφ的定義以及引理4.1中的(ii)容易知道(i)和(ii)成立.

由(4)和(5)式得(iii)成立.由于〈φc,?xφ)〉=0以及算子Bφ的定義有

設(shè)L(u)=E(u)+cQ(u)有引理4.3成立.

引理 4.3設(shè)φ如引理4.2所示,

如果d″(c)<0,則φ切M于φc,且

(27)

證明根據(jù)函數(shù)d(c)的定義可知d′(c)=Q(φc).定義

因此

以及

利用隱函數(shù)定理,存在C2映射h=h(σ)且h(0)=c,那么

(28)

又

因此

也就是φ切M于φc,由于L″(φc)=Hc以及

(29)

下面分別來計(jì)算上式右端的每一項(xiàng),即

利用(6)式和分部積分法有

(30)

利用(6)和(18)式及分部積分法有

(31)

對(duì)方程(6)兩邊同時(shí)關(guān)于c求導(dǎo)可得

(32)

因此

也就是

(33)

根據(jù)(28)式可知

即

(34)

綜合(29)、(30)和(32)～(34)式以及d″(c)<0可得

引理 4.4假設(shè)φ如引理4.2所示,則J(φc)=0且

其中

證明參見文獻(xiàn)[17].

引理 4.5初值問題

v(0)=v0

存在C1解R(v0,s)滿足:Q(R(v0,s))與s無關(guān).

證明參見文獻(xiàn)[7,19].

引理 4.6假設(shè)φ如引理4.2所示,則存在ε、σ使得v0∈Uc,ε滿足

其中,s∈(-σ,σ),P(v0)=〈L′(v0),Bφ(v0)〉.

證明假設(shè)

(35)

利用Taylor定理,容易得到

(36)

其中,θ∈(0,1).利用引理4.3和L′(φc)=0易得

因此

(37)

其中,s∈(-σ,σ).根據(jù)引理4.4知

以及

(38)

設(shè)

下面將證明

如果〈J′(φc),φc〉=0,則φ切N于φc,根據(jù)引理4.4有

因此

這結(jié)論與引理4.3矛盾.從而

綜上可知,存在ε、σ,對(duì)于v0∈Uc,ε有函數(shù)s=s(v0)∈(-σ,σ)使得

(39)

利用(38)和(39)式可得

(40)

其中,s∈(-σ,σ).

證明在(40)式中利用R(φc,δ)=v0可得

(41)

其中,s,δ∈(-σ,σ).在上式中令s=-δ有

(42)

其中,δ∈(-σ,σ).

由于

以及(36)式可知映射δ→L(R(φc,δ)在δ=0處取得局部極大值,從而

(43)

由(42)和(43)式易得

(44)

設(shè)

根據(jù)引理4.6有

(45)

由于

(46)

其中,t∈[0,Tj].設(shè)

根據(jù)Cauchy-Schwarz不等式可得

同時(shí)利用引理4.1、4.2和引理4.6有

根據(jù)(46)式可得

因此

從而結(jié)論成立.

根據(jù)定理4.7,很容易得到以下定理.

定理 4.8設(shè)c>0,φc為方程(1)的孤波解,如果d″(c)<0,則φc軌道不穩(wěn)定.

注 4.9文獻(xiàn)[1]中的定理6.10可以直接從定理4.7和定理4.8中推導(dǎo)出來.

參考文獻(xiàn)

[1] ALARCON E, ANGULO J, MOTENEGRO J. Stability and instability of solitary waves for a nonlinear dispersive system[J]. Nonlinear Anal,1999,36:1015-1034.

[2] GEAR J, GRIMSHAW R. Weak and strong interactions between internal solitary waves[J]. Studies Appl Math,1984,70(3):235-258.

[3] KATO T. On the cauchy problem for the generalized Korteweg-de Vries equation[J]. Adv Math Supplementary Studies,1983,8:93-128.

[4] KENING C E, PONCE G, VEGA L. Oscillatory integrals and regularity of dispersive equation[J]. Indiana University Math J,1991,40:33-69.

[5] KENING C E, PONCE G, VEGA L. Well-posedness of the initial value problem for the Korteweg-de Vries equation[J]. J Am Math Society,1991,4:323-347.

[6] LOPES O. Radial symmetry of niminizrs for some translation and rotation invariant functionals[J]. J Diff Eqns,1996,124(2):378-388.

[7] GRILLAKIS M, SHATAH J, STRAUSS W. Stability theory of solitary waves in the presence of symmetry I[J]. J Functional Anal,1987,74:160-197.

[8] WEINSTEIN M. Solitary waves of nonlinear dispersive evolution equations wih critical power nonlinearities[J]. J Diff Eqns,1987,69:192-203.

[9] BONA J, SOUGANIDIS P, STRAUSS W. Stability and instability of solitary waves of Korteweg-de Vries type equation[J]. Proceeding Royal Society London,1987,A411:395-412.

[10] HAKKAEV S, KIRCHEV K. Stability of solitary waves for a nonlinear dispersive system in a critical case[J]. Nonlinear Anal,2007,67:2890-2899.

[11] 張健,朱世輝. 關(guān)于一類非線性Schr?dinger方程最佳爆破準(zhǔn)則[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2014,37(5):754-760.

[12] 馬超,黎定仕. 一類非自治微分積分方程的全局指數(shù)穩(wěn)定性[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2014,37(5):639-642.

[13] HIROTA R, SATSUMA J. Soliton solutions of a coupled Korteweg-de Vries equation[J]. Phy Lett,1981,A85:407-408.

[14] KUPERSHMIDT B A. A Coupled Korteweg-de Vries equation with dispersion[J]. J Phy Math General,1985,18:L571-L573.

[15] ITO M. Symmeries and conservations laws of coupled nonlinear wave equation[J]. Phy Lett,1982,A91:335-338.

[16] GUHA-ROY C, BAGCHI B, SINHA D K. Traveling wave solutions and the coupled Korteweg-de Vries equation[J]. J Math Phy,1986,27:2558-2560.

[17] LEVANDOSKY S, LIU Y. Stability of solitary waves of a generalized Ostrovsky equation[J]. SIAM J Math Anal,2006,38(3):985-1011.

[18] LIONS P L. The concentration-compactness principle in the calculus of vvariations: the locally compact case, part 1 and part 2[J]. Nonlinear Anal,1984,1(109/145):223-283.

[19] ANGULO J, BONA J, LINARES F, et al. Scaling,stability and singularities for nonlinear dispersive wave equations: the crital case[J]. Nonlinearity,2002,15:759-786.

2010 MSC：39A24; 39A30

(編輯李德華)

The Orbital Stability of the Solitary Solutions to the Nonlinear Dispersion System

LIU Xiaohua1,HU Lijin1,YU Xiaojun2

(1.SchoolofScience,GuizhouMinzuUniversity,Guiyang550025,Guizhou;2.SchoolofMathematicalandStatistic,GuizhouUniversityofFinanceandEconomic,Guiyang550025,Guizhou)

Abstract：In this paper, we investigate the existence of solitary wave solutions for the nonlinear dispersion system. By constructing the functional extremum problem and Hamilton operator, using spectral analysis and the orbital stability theory presented by Grillakis et al, we show that the solitary wave solutions of the the nonlinear dispersion system are orbitally stable or unstability as determined by the sign of a discriminant. The conclusions presented by the previous authors, such as Alarcon, Angulo and Motenegro, can be considered as special cases of our results.

Key words：solitary wave solution; orbital stability; variational method

doi:10.3969/j.issn.1001-8395.2016.01.009

中圖分類號(hào)：O175.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-8395(2016)01-0051-08

作者簡介：劉小華(1975—),女,教授,主要從事孤立子理論的研究,E-mail:lxhjkkl@yeah.net

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(71161005)、貴州省科學(xué)技術(shù)基金([2013]2138)、貴州省教育廳優(yōu)秀科技創(chuàng)新人才支撐計(jì)劃(KY[2012]092)和貴州省教育廳“數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用創(chuàng)新人才團(tuán)隊(duì)”基金(黔教科研發(fā)[2013]405 號(hào))

收稿日期:2014-06-27