一類帶一般記憶核的Cahn-Hilliard方程解的能量衰減估計

涂馨予,　蒲志林

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

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一類帶一般記憶核的Cahn-Hilliard方程解的能量衰減估計

涂馨予,蒲志林*

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

摘要：采用推廣的帶參數(shù)的Gronwall不等式,研究了一類帶一般記憶核的Cahn-Hilliard方程解的能量衰減估計,證明方程的解是呈指數(shù)衰減的,衰減率可被精確地算出.

關(guān)鍵詞：動態(tài)邊界條件; 記憶核; 過去歷史變量; 能量估計

Cahn-Hilliard方程是由J. W. Cahn和J. E. Hilliard[1]引入,用來描述二元合金在分解時的分離物隨溫度的變化情況,它在材料科學(xué)中有著重要意義.為了描述所謂的二元混合物的旋節(jié)分解(如金屬合金的冷卻),取Ω是R3中的有界集,并帶有充分光滑的邊界Γ,考慮粘性Cahn-Hilliard方程[1]

(1)

其中,u是混合物的相對濃度差,μ是帶有粘性的化學(xué)勢,α≥0,非線性項f(u)是一勢函數(shù)的導(dǎo)數(shù),常數(shù)α=0時,方程(1)是Cahn-Hilliard方程.對這類方程在標(biāo)準(zhǔn)邊界條件下(Neumann邊界條件、狄利克雷邊界條件、周期邊界條件)的柯西問題的討論已經(jīng)很充分[2-5].

為了描述特殊材料(如玻璃)的相分離現(xiàn)象,對方程(1)取μ滿足Neumann邊界條件,即

將通常u的Neumann邊界條件換成非線性的動態(tài)邊界條件,即u滿足

其中,β是正常數(shù),ΔΓ是邊界上的Laplace-Beltrami算子,非線性項g(u)是一充分光滑的邊界勢函數(shù)的導(dǎo)數(shù).許多作者對這類問題進(jìn)行了討論[6-13].

為了加速某些材料的旋節(jié)分離(如玻璃),考慮修改的Cahn-Hilliard方程

其中κ(s)是記憶核函數(shù),它是呈指數(shù)衰減的,即滿足條件κ′(s)+δκ(s)≤0,δ>0,這類Cahn-Hilliard方程已有大量研究[14-22].如在標(biāo)準(zhǔn)邊界條件及光滑勢條件下,3維空間上非恒溫非粘彈條件下的弱解的存在[14]、解的適定性和正則性的結(jié)果[15]已得到.在2維空間上,取α=0已經(jīng)證得了能量解在短的松弛時間的全局吸引子的存在[16].但這類問題在非線性動態(tài)邊界條件下的研究還很少.

這里考慮一類在非線性動態(tài)邊界條件下帶記憶核的Cahn-Hilliard方程[23]:

其中,Ω?R3是具有光滑邊界Γ的有界區(qū)域,α,β是正常數(shù).未知量u=u(x,t):Ω×[0,∞)→R,u是混合物的相對濃度差,u|Γ=ψ(t),u滿足非線性的動態(tài)邊界條件,μ滿足Neumann邊界條件.ΔΓ是邊界上的Laplace-Beltrami算子,η=ηt(x,s):Ω×R+×[0,∞)→R是過去歷史變量,且對任意的s>0和t>0,有ηt(s)=∫0s-Δμ(t-y)dy,顯然ηt(x,s)滿足邊界條件:ηt(x,0)=0,Ω×(0,∞).

對方程(3)給定初值條件如下:

(4)

ν(s)是方程的記憶核,它滿足以下假設(shè)[23]:

(H1)ν(s)∈C1(R+)∩L1(R+),?s∈R+;

(H2) ν(s)≥0,ν′(s)≤0,?s∈R+;

(H5) ν′(s)+ρ(s)ν(s)≤0,?s∈R+;ρ(s)>0,ρ′(s)≤0,?s∈R+;

注滿足假設(shè)(H1)～(H6)的記憶核ν(s)是存在的,如取ν(s)=e-λs,?λ>ρ0.

非線性項f、g滿足如下條件:

(K1) f,g∈C1(L2(Ω));

(K2) f,g∈C2(L2(Ω));

(K3) |f′(y)|≤cf(1+|y|2),|g′(y)|≤cg(1+|y|q),?y∈L2(Ω);

由(K5)可得[23]:

(5)

在文獻(xiàn)[23]中,取非線性記憶核ν(s)滿足ν′(s)+δν(s)≤0,δ>0是正常數(shù),證得了變分解的存在;當(dāng)α>0時,全局吸引子和指數(shù)吸引子的存在;以及α=0時,軌道吸引子的存在.受文獻(xiàn)[4]的啟發(fā),本文考慮非線性動態(tài)邊界條件下,滿足更一般條件的非線性記憶核ν(s),它滿足以下微分不等式[24]:

當(dāng)取ρ(s)=δ時,即為文獻(xiàn)[23]的情況,本文的記憶核更具一般性.再采用推廣的帶參數(shù)的Gronwall不等式,研究了帶這類記憶核的Cahn-Hilliard方程解的能量衰減性,證明當(dāng)t→∞時,方程的解的能量是指數(shù)衰減到0的,并精確地算出了衰減率.

本文在預(yù)備知識中介紹了一些定義、記號、不等式及定理；后面通過構(gòu)建泛函L,對某個正常數(shù)C滿足

1預(yù)備知識

Ω?R3是具有光滑邊界Γ的有界區(qū)域,分別記(·,·),‖·‖;(·,·)Γ,‖·‖Γ為L2(Ω)和L2(Γ)的內(nèi)積和范數(shù),定義算子A:=-Δ,A是L2(Ω)上的非負(fù)自共軛的線性算子,取A的分?jǐn)?shù)力Ar,則可定義一族插值空間如下:

當(dāng)r=0時,V0=L2(Ω),在Vr上定義范數(shù):

定義〈·〉為Ω上的空間平均,即

所以有

定義跡算子TrD為

引入空間

取Hilbert空間

M-1上的內(nèi)積定義如下

定義T=-?s是M-1上的線性算子

方程(3)的解滿足以下質(zhì)量守恒[23]:

(6)

最后,引入乘積Hilbert空間H=V1×M-1.下面介紹一些重要的不等式及引理:

2) Poincaré-Wirtinger不等式:‖u-〈u〉‖p≤C7‖u‖p.

3)W1,2(Ω)上的等價范數(shù)為:‖u‖W1,2(Ω)=‖u‖+‖u‖.

那么

注意:取?a∈(0,1),使得a=m?a-?a+1-l=(m-1)?a+1-l>0,b=1-?a-γ?a>0,定義

則

2一致能量估計

關(guān)于方程(3)在t時刻的能量E(t)為

(7)

有如下的結(jié)果:

定理 2.1假設(shè)(H1)～(H5)和(K1)～(K5)成立,則存在正常數(shù)J,ω,2

即方程的解的能量是呈指數(shù)衰減的,且衰減率為ω,其中:

證明在方程(3)的第一項的兩端同乘以μ,在Ω上積分,可以得到

利用方程(3)的第3項有

利用格林公式可得

由方程(3)的第2項可得

即

(8)

又由方程(3)的第4項及(6)式可得

將以上所求的項帶入到方程(8)可以得到

由(H2)和(K4)可得

(9)

故

(10)

構(gòu)建泛函:

利用方程(3)的第1項,在兩端同時乘以A-1ut,再在區(qū)域Ω上積分可得

由(6)式可得〈ut〉=0,所以有

又由(H3)、(6)式以及H?lder不等式可得

即

所以

(11)

利用方程(3)的第4、3、2項以及格林公式得

由上式及(11)式有

所以

(12)

構(gòu)建泛函

所以有

即

其中C0是與α相關(guān)的正常數(shù).

由(9)、(12)式可得

又由Φ(t)的構(gòu)造可得

所以

所以

有

其中Cf″、Cf?、C2為正常數(shù).又由(5)式可得

所以

故一定存在只依賴于C1、C2、α的常數(shù)C(C充分大)使得

(14)

在(14)式兩端同時乘以e,再在s∈(0,t)上積分得:

所以有

由(13)式可得

由引理1.1,取m=n,l=2,q(s)=q=C,h=0,R=E(0)(1+C0n)可得

(15)

取?a∈(0,1),使得

由(13)及(15)式有

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2010 MSC：35B30; 35B99

(編輯周俊)

The Energy Decay Estimates for Cahn-Hilliard Equation with General Memory Kernel

TU Xinyu,PU Zhilin

(CollegeofMathematicsandSoftwareScience,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,Sichuan)

Abstract：In this paper the energy decay estimates for Cahn-Hilliard equation with general memory kernel are studied by a generalized Gronwall-type lemma with . It is proved that the solution of such an equation decays exponentially, and the decay rate can be explicitly calculated.

Key words：dynamic boundary conditions; memory kernel; the past history variable; energy decay estimates

doi:10.3969/j.issn.1001-8395.2016.01.001

中圖分類號：O213.2; O226

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1001-8395(2016)01-0001-07

*通信作者簡介：蒲志林(1963—)，男，教授，主要從事偏微分方程的研究，E-mail：puzhilin908@sina.com

基金項目：國家自然科學(xué)基金(11401409)

收稿日期:2015-03-11