關(guān)于非阿基米德域上廣義費(fèi)馬型函數(shù)方程

亓金鋒

(山東廣播電視大學(xué)公共基礎(chǔ)教學(xué)部，山東 濟(jì)南 250014)

?

關(guān)于非阿基米德域上廣義費(fèi)馬型函數(shù)方程

亓金鋒

(山東廣播電視大學(xué)公共基礎(chǔ)教學(xué)部，山東 濟(jì)南 250014)

摘要：利用亞純函數(shù)值分布理論的基本概念、方法及研究成果，給出了非阿基米德域上廣義費(fèi)馬型函數(shù)方程存在非常數(shù)亞純解f1,f2,...,fp 的一個(gè)必要條件：，其中， T(r,ai)=o(T(r,fi)),1≤i≤p，r→∞(r?E).該結(jié)論改進(jìn)了Hu和Yang的相關(guān)研究結(jié)果.

關(guān)鍵詞：亞純函數(shù)；非阿基米德域；費(fèi)馬型函數(shù)方程

本文使用 Nevanlinna 理論的基本結(jié)果及其標(biāo)準(zhǔn)記號，參看[1]或[2].我們主要討論具有如下形式的函數(shù)方程：

(1)

其中當(dāng)r→∞(r?E) 時(shí)，

T(r,ai)=o(T(r,fi)),1≤i≤p，是一個(gè)線性測度為有窮的集合，我們稱上述方程為廣義費(fèi)馬型函數(shù)方程.特別地，如果(1)式中所有函數(shù)ai(z)都是1以及所有整數(shù)ni都相等，那么我們稱之為費(fèi)馬型函數(shù)方程.

1969年，Yang[3]在復(fù)數(shù)域上研究了一類特殊函數(shù)方程，證明了如下結(jié)果：

T(r,a)=o(T(r,f)),T(r,b)=o(T(r,g)),

那么函數(shù)方程

a(z)fm(z)+b(z)gn(z)≡1不可能成立，除非m=n=3.如果f與g是整函數(shù)，即使?jié)M足m=n=3，該函數(shù)方程也不成立.

1970年，Toda N[4]考慮了p(p≥2)個(gè)整函數(shù)解的情況，事實(shí)上研究了廣義費(fèi)馬型函數(shù)方程(1)存在整函數(shù)解的必要條件，得到了定理B.

定理B設(shè)f1,f2,…,fp(p≥2)是上的p個(gè)非常數(shù)整函數(shù)，n1,n2,…,np是正整數(shù)，a1,a2,…,ap是上的不恒為零的亞純函數(shù)，且滿足當(dāng)時(shí)，T(r,ai)=o(T(r,fi)),1≤i≤p.如果函數(shù)方程(1.1)成立，則.

一個(gè)自然的問題：函數(shù)方程(1)對于亞純函數(shù)解是否存在類似的結(jié)論？2002年，Yu和Yang[5]將定理B中的整函數(shù)推廣至亞純函數(shù)，證明了定理C.

定理C 設(shè)f1,f2,…,fp(p≥2)是上的p個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)，n1,n2,…,np是正整數(shù)，a1,a2,…,ap是上的不恒為零的亞純函數(shù)，且滿足當(dāng)時(shí)，T(r,ai)=o(T(r,fi)),1≤i≤p.如果函數(shù)方程(1)成立， 則.

近年來，國內(nèi)外許多學(xué)者對在數(shù)論占重要地位的非阿基米德域上的Nevanlinna理論的產(chǎn)生了興趣，并取得了一系列結(jié)果.事實(shí)上在非阿基米德域和復(fù)數(shù)域上的值分布論不是孤立的，而是互相聯(lián)系的，因此把這兩種不同域上的值分布問題放到一起來進(jìn)行研究就很有意義.Hu和Yang[6]在非阿基米德域上研究此類費(fèi)馬型函數(shù)方程解的存在情況，得到了下述定理D和定理E.

定理D ([6], p65,定理2.41) 設(shè)f1,f2,…,fp(p≥3)是k上的p個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)，n1,n2,…,np是正整數(shù)，如果函數(shù)方程

f1n1+ f2n2+ … + fpnp= 1

成立，則

其中

(2)

定理E ([6], p65,定理2.42] 設(shè)f1,f2,…,fp(p≥3)是k上的p個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)，如果

n≥p(p-1+?p)，

其中由(2)式定義，則函數(shù)方程

不存在非常數(shù)亞純解.

本文我們把定理D、定理E中函數(shù)方程的系數(shù)由常數(shù)1推廣為p-adic亞純小函數(shù)，證明了定理1和定理2.

定理1設(shè)f1,f2,…,fp(p≥3)是k上的p個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)，n1,n2,…,np是正整數(shù)，a1,a2,…,ap是k上的不恒為零的亞純函數(shù)，且滿足當(dāng)r→∞(r?E)時(shí)

T(r,ai)=o(T(r,fi)),1≤i≤p.

如果函數(shù)方程(1)成立， 則

定理2設(shè)f1,f2,…,fp(p≥3)是k上的p個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)，n1,n2,…,np是正整數(shù)，a1,a2,…,ap是k上的不恒為零的亞純函數(shù)，且滿足當(dāng)r→∞(r?E)時(shí)

T(r,ai)=o(T(r,fi)),1≤i≤p.

如果

n≥p(2p-3)，

其中由(2)式定義，則函數(shù)方程

不存在非常數(shù)亞純解.

1相關(guān)引理

首先，我們定義的極點(diǎn)的計(jì)數(shù)函數(shù)Np-1(r,f)，其中極點(diǎn)重級至多為p-1時(shí)，按重?cái)?shù)計(jì)算；極點(diǎn)重級大于p-1時(shí)，計(jì)p-1次.由這個(gè)定義出發(fā)，我們可以得到引理1和引理2.

引理2[6]設(shè)(p≥2)是正整數(shù)，f1,f2,…,fp是k上線性無關(guān)的非常數(shù)亞純函數(shù)且滿足

f1+f2+…+fp=1

則對于1≤j≤p，有如下不等式成立

(3)

其中?p由(2)式定義.

由引理1以及引理2中的(3)式子，我們得到引理3.

引理3 在引理2 的條件下，我們有如下不等式

(4)

引理5[6]設(shè)f為k上非常數(shù)亞純函數(shù)，如果滿足T(r,f)-O(logr)(r→∞)，則f是有理函數(shù).

2定理證明

2.1定理1的證明

下面我們將分兩種情形進(jìn)行討論.

情形1F1,F2,…,Fp線性無關(guān).

由第一基本定理得

(5)

和

(6)

對于引理中3的(2)式運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法易得，結(jié)合(5)式、(6)式得

情形2F1,F2,…,Fp線性相關(guān).

2.2定理2的證明

由定理1的逆否命題可得，設(shè)f1,f2,…,fp是k上的p個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)，n1,n2,…,np是正整數(shù)，a1,a2,…,ap是k上的不恒為零的亞純函數(shù)，且滿足當(dāng)r→∞(r?E)時(shí)，

T(r,ai)=o(T(r,fi)),1≤i≤p.

如果

(7)

方程(1)

a1f1n1+ a2f2n2+ … + apfpnp= 1

(8)

不存在亞純解.

這樣就得到了定理2中的函數(shù)方程，從而完成了定理2的證明.

參考文獻(xiàn)：

[1]Hayman W K. Meromorphic Functions [M]. Oxford: Clarendon, 1964.

[2]Yang C C, Yi H X. Uniqueness Theory of Meromorphic Functions [M]. Science Press/ Kluwer Academic Publishers, 2003.

[3]Yang C C. A generalization of a theorem of P Montel on entire functions [J].Proc Amer Math Soc, 1970, (2):332-334.

[5]Yu K W, Yang C C. A note for Waring’s type of problem for the ring of meromorphicfunctions [J]. Indian J Pure Appl Math, 2002,(10):1495-1502.

[6]Hu P C, Yang C C. Meromorphic Functions over Non-Archimedean Fields [M]. The Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 2000.

(責(zé)任編校：晴川)

On Generalized Fermat Type Functional Equations over Non-Archimedean Fields

QI Jinfeng

(Department of Public Basic Teaching, Shandong TV University, Ji’nan Shandong 250014, China)

Abstract：By using some fundamental knowledge, research methods and research results about the theories of value distribution for meromorphic functions, it shows that a necessary condition for the generalized Fermat type functional (z)≡1(p≥2)having non-constant meromorphic solutions f1,f2,…,fp，where T(r,ai)=o(T(r,fi)),1≤i≤p，r→∞(r?E). This improves the study results of Hu and Yang.

Key Words：meromorphic functions; non-Archimedean field; Fermat type functional equations

中圖分類號:O174.5

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1008-4681(2016)02-0001-03

作者簡介：亓金鋒(1984— )，男，山東臨沂人，山東廣播電視大學(xué)公共基礎(chǔ)教學(xué)部講師，碩士.研究方向：復(fù)分析.

基金項(xiàng)目：山東省職業(yè)教育與成人教育科研規(guī)劃課題(批準(zhǔn)號：2014ZCJ008);山東廣播電視大學(xué)青年教師科研項(xiàng)目(批準(zhǔn)號：2014QNYJ06).

收稿日期：2015-12-30